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단순함수와 Lebesgue 적분

함수값의 층으로 집합을 나누고 각 층의 크기를 가중합합니다.

94 / MEASURE THEORY LAB
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

함수값의 층으로 집합을 나누고 각 층의 크기를 가중합합니다.

Lebesgue measure on [0,1]; f(x)=x²; s_m=2⁻ᵐ⌊2ᵐf⌋; m=2

011.050
가로: x · 파랑: 아래 단순 근사 · 주황 점선: x² · 끝점의 열린/닫힌 원을 구분하세요.
level kvalue k/Mlevel-set measureintegral contribution
000.50
10.250.2070.052
20.50.1590.079
30.750.1340.1

f(query) = 0.36

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

함수

면적 대신 측도와 함수값을 분리해 읽습니다.

f(x)=x² on [0,1]

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

가로 구간 대신 값의 층 보기

단순함수는 유한 개 값을 갖는 가측함수입니다. 서로소 가측집합 위에서 일정한 값들을 갖도록 쓰면 적분은 값과 집합 측도의 곱을 더한 것입니다. Riemann 적분의 직사각형 직관과 연결되지만 집합이 꼭 구간일 필요는 없습니다. 실습은 [0,1]의 Lebesgue 측도와 f(x)=x²를 사용하며 함수값을 아래쪽 이산 층으로 반올림합니다.

s=∑k=1Kak1Ak,∫s dμ=∑k=1Kakμ(Ak)(ak≥0).s=\sum_{k=1}^K a_k\mathbf1_{A_k},\qquad\int s\,d\mu=\sum_{k=1}^K a_k\mu(A_k)\quad(a_k\ge0).

실제 층의 크기를 계산하기

m=2이면 간격은 1/4입니다. s_m=2의 −m제곱 곱하기 floor(2의 m제곱 f)로 정합니다. k번째 층의 x 구간은 √(k/2^m)부터 √((k+1)/2^m)까지입니다. 폭이 일정한 x 격자가 아니라 값의 층으로 나눈 것이므로 구간 폭이 서로 다릅니다. x=0.6이면 f=0.36이고 근사는 0.25입니다.

sm(x)=2−m⌊2mx2⌋,μ(Ak)=k+12m−k2m.s_m(x)=2^{-m}\lfloor2^m x^2\rfloor,\quad\mu(A_k)=\sqrt{\frac{k+1}{2^m}}-\sqrt{\frac{k}{2^m}}.

비음수 Lebesgue 적분의 정의

일반 비음수 가측함수의 적분은 그 함수 아래에 있는 비음수 단순함수 적분들의 상한으로 정의합니다. 적분값은 무한일 수도 있습니다. 현재 예제는 s_m이 단조 증가하여 x²에 접근합니다. 단조수렴정리로 적분도 1/3에 접근합니다. 유한 슬라이더 단계만으로 정리를 증명하는 것이 아니라, 명시적인 근사식과 오차 상계로 그 과정을 검산합니다.

∫f dμ=sup⁡0≤s≤f, s simple∫s dμ,0≤∫01x2dx−∫01smdx≤2−m.\int f\,d\mu=\sup_{0\le s\le f,\ s\text{ simple}}\int s\,d\mu,\qquad0\le\int_0^1x^2dx-\int_0^1s_mdx\le2^{-m}.

끝점과 부호 함수의 주의점

x=1에서는 모든 s_m의 값이 1이지만, m=0의 함수는 그 한 점을 제외하면 0입니다. 따라서 적분은 0입니다. 그림의 채운 원과 빈 원은 이런 끝점 규약을 구분하며, 표의 층에 추가되는 끝점 한 점의 기여는 0입니다. 부호 함수는 양의 부분과 음의 부분을 나누어 적분합니다. 둘 다 무한이면 ∞−∞이므로 정의할 수 없습니다. 유한 기대값을 원하면 절댓값 적분가능성을 확인해야 합니다.

f=f+−f−,∣f∣=f++f−,∫∣f∣ dμ<∞  ⟹  ∫f dμ∈R.f=f^+-f^-,\quad |f|=f^++f^-,\qquad\int|f|\,d\mu<\infty\implies\int f\,d\mu\in\mathbb R.

확인 문제와 해설

  1. m=0,x=1의 값과 적분은? 값은 1, 적분은 0입니다.
  2. 층을 세밀하게 하면 아래 근사가 줄어드나요? 아니요. 단조 증가합니다.
  3. 적분은 표본점 개수의 평균인가요? 아니요. 선택한 측도에 대한 가중입니다.

추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 단순함수 적분의 가중치는?
2. 일반 부호 함수의 적분에서 주의할 것은?

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