닫힌 중심력 두 입자계의 세 보존 법칙

세 전체량이 보존되어도 운동은 복잡할 수 있다

상호작용하는 두 입자는 가속하고 운동량을 교환하며 운동에너지와 퍼텐셜을 주고받을 수 있습니다. 그러면서 전체 운동량·각운동량·에너지는 모두 일정할 수 있습니다. 보존 법칙은 전체량을 제약하며 개별 성분을 고정하거나 운동의 현재 위상을 정하지 않습니다.

두 입자 모두를 계로 선택합니다. 질량은 일정한 양수, 외력은 없고 선언한 중심 조화 상호작용이 작용합니다. 실제 평면 운동을 풀어 서로 다른 세 보존 원리를 검사합니다. 입자는 수학적 점이며 경로가 교차했다고 접촉이나 충돌 규칙을 자동으로 적용하지 않습니다.

계를 정하고 상호작용을 한 번만 센다

z=q1−q2, k>0에서 힘과 퍼텐셜은 다음과 같습니다.

$$F_1=-kz,\qquad F_2=+kz,\qquad V=\frac{k}{2}|z|^2.$$

퍼텐셜은 입자 쌍에 속하므로 각 입자마다 두 번 세지 않습니다. 최소 위치는 두 입자가 겹치는 구성입니다. 이는 평형 분리 거리가 0인 선언한 모형이며 실제 고체 사이의 막대나 유한 자연 길이 용수철은 아닙니다.

입자1만 계로 고르면 입자2는 경계 밖에 있어 F1은 그 부분계의 외력이 됩니다. 아래의 닫힌 계 보존은 두 입자 전체에 대한 것이고 개별 운동량은 보통 변합니다.

힘의 합 상쇄가 전체 운동량을 보존한다

두 뉴턴 방정식을 더합니다.

$$P=m_1v_1+m_2v_2,\qquad \dot P=F_1+F_2=0.$$

힘이 같은 크기와 반대 방향이라는 조건으로 전체 힘이 상쇄됩니다. 각각의 힘이 0일 필요는 없습니다. 초기 P가 비영이면 그대로 유지되고 P=0이어도 반대 방향의 운동량 교환이 가능합니다.

운동량 그림은 전체 x 성분과 두 개별 x 성분을 비교합니다. y 성분 수지도 수치 표시에서 별도로 검사합니다. 전체 곡선이 일정하고 개별 곡선이 변하는 것은 모순이 아닙니다.

중심 방향이 내부 토크도 상쇄한다

고정된 실험실 원점에 대해 다음을 계산합니다.

$$L=q_1\times m_1v_1+q_2\times m_2v_2,$$ $$\dot L=q_1\times F_1+q_2\times F_2 =(q_1-q_2)\times F_1=z\times(-kz)=0.$$

평면 외적은 부호 있는 z 성분입니다. 힘이 반대라는 조건만 사용하면 z×F1이 남습니다. 이 값이 0인 데에는 힘이 두 입자 사이의 중심 방향이라는 조건도 필요합니다. 토크 상쇄는 힘 상쇄와 별도로 확인해야 합니다.

보존되는 각운동량은 0이 아닐 수 있습니다. 이미 주어진 내부 회전의 각운동량을 유지하려고 외부 토크가 계속 필요한 것은 아닙니다. 내부 힘은 개별 속도를 바꾸면서 전체량을 보존합니다.

퍼텐셜과 일의 관계가 전체 에너지를 보존한다

두 입자의 운동에너지를 합하면 전체 운동에너지 변화율은 다음과 같습니다.

$$\dot K=F_1\cdot v_1+F_2\cdot v_2=-kz\cdot(v_1-v_2),$$ $$\dot V=kz\cdot\dot z=kz\cdot(v_1-v_2).$$

따라서 E=K+V가 일정합니다. 두 입자의 이동이 달라 내부 힘의 전체 일이 0이 아닐 수 있습니다. 벡터 힘 합이 0이라고 일이 자동 상쇄되지는 않습니다.

중심 방향만으로 모든 상호작용의 에너지 보존이 증명되는 것도 아닙니다. 여기서는 올바른 힘의 미분을 주는 시간에 무관한 퍼텐셜을 추가로 선언했습니다. 속도 의존 소산 중심력에는 다른 에너지 수지가 필요합니다.

질량중심과 상대 운동을 분리한다

M=m1+m2, 환산 질량 μ=m1m2/M에서 다음을 얻습니다.

$$R=\frac{m_1q_1+m_2q_2}{M},\qquad \ddot R=0,\qquad \mu\ddot z=-kz.$$

질량중심은 속도 P/M으로 등속 운동합니다. 상대 진동의 주파수는 ω=√(k/μ)입니다. 입자별 초기 조건에서 R0,z0,w0=v10−v20을 구하면 다음 해가 나옵니다.

$$R(t)=R_0+\frac{P}{M}t,\qquad z(t)=z_0\cos(\omega t)+\frac{w_0}{\omega}\sin(\omega t).$$

q1=R+(m2/M)z, q2=R−(m1/M)z로 입자 위치를 복원하고 미분하여 속도를 얻습니다. 이 실습은 양의 강성을 가정하므로 주파수가 0인 식으로 나누지 않습니다.

운동에너지와 각운동량도 분해한다

대입 후 교차 항을 상쇄하면 다음을 얻습니다.

$$K=\frac{|P|^2}{2M}+\frac{\mu}{2}|\dot z|^2,$$ $$L=R\times P+\mu z\times\dot z.$$

첫 항은 질량중심, 둘째는 상대 운동의 기여입니다. 전체 운동량이 0이면 질량중심 운동에너지만 사라지고 내부 운동에너지는 남습니다. 질량중심 정지는 입자 정지를 뜻하지 않습니다.

현재 닫힌 계에서 R은 P와 평행하게 변하므로 질량중심 각운동량도 일정합니다. 상대 힘이 중심력이어서 상대 각운동량도 일정합니다. 실습은 전체량뿐 아니라 이 분해도 검사하여 잘못된 질량 가중치를 찾을 수 있게 합니다.

계는 그대로 두고 고정 기준점만 바꾼다

다른 고정점 D=d에 대해 다음이 성립합니다.

$$L_D=L-d\times P.$$

L과 P가 일정해서 LD도 일정하지만 값은 다를 수 있습니다. P=0이면 모든 평행 이동한 고정점에서 전체 L 값도 같습니다. 이것은 한 입자만 새 부분계로 선택해 외력의 분류를 바꾸는 것과 다른 조작입니다.

비교점 입력은 각운동량의 보고만 바꾸며 실제 궤도와 힘, 저장 에너지는 바꾸지 않습니다.

단위가 다른 네 그림 읽기

공간 그림은 10초의 두 입자와 질량중심 궤도를 m로 보여 줍니다. 조회 점은 해당 궤도의 색과 같습니다. 운동량은 kg m/s, 각운동량은 kg m²/s, 에너지는 J의 별도 축입니다. 서로 다른 단위를 같은 수치 축에 겹치지 않습니다.

초기 P,L,E는 정수 입력 코드로 정확한 유리수 계산을 합니다. 삼각함수 궤적과 조회 잔차는 해석식의 부동소수점 평가입니다. 독립 수치 적분으로 입자 운동과 누적 내부 일을 검사하며 잔차를 맞추기 위해 보이지 않는 일을 임의로 만들지 않습니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 내부 왕복 운동. 질량은 각각 1kg, 위치는 (−1,0),(1,0), 초기 정지, k=1이면? 풀이: ω=√2, q1x=−cos(√2t),q2x=cos(√2t)입니다. 전체 P=L=0이어도 입자는 움직입니다. K=2sin²(√2t),V=2cos²(√2t)로 E=2J입니다.
2. 연습: 중복 계산 피하기. 앞 예제의 초기 퍼텐셜은? 풀이: 분리 거리 제곱이 4라 V=4/2=2J입니다. 같은 쌍을 두 번 세면 틀린 4J가 나옵니다.
3. 연습: 내부 회전. 입자1에 (0,−1), 입자2에 (0,1)의 속도를 주세요. 풀이: 초기 각운동량은 각각 1이므로 전체 L=2입니다. K=1J,V=2J로 E=3J이고 상대 운동은 타원입니다. 외부 토크가 필요하지 않습니다.
4. 연습: 이동하는 불균형 질량. m1=1,m2=2, 같은 초기 위치, v1=(1,1),v2=(1,−1/2)이면? 풀이: P=(3,0),R=(1/3+t,0),L=−2,E=17/4J입니다. 질량중심 운동에너지는 3/2J이고 남은 11/4J가 내부 운동에너지와 퍼텐셜입니다.
5. 연습: 각운동량 기준점 이동. 앞 예제에서 D=(0,1)이면? 풀이: d×P=−3이므로 LD=−2−(−3)=1입니다. 값은 달라도 둘 다 보존되고 입자 궤도는 같습니다.
6. 연습: 입력 밖의 사고 실험. k를 시간에 따라 외부에서 바꾸면 세 전체량이 모두 보존되나요? 풀이: 같은 크기와 반대 방향의 중심력이라 힘과 토크 합은 여전히 0입니다. 하지만 dE/dt=(dk/dt)|z|²/2로 에너지는 일반적으로 바뀝니다. 현재 실습의 k는 일정합니다.

물리 학습 모형과 연결하기

보존 조건만으로 힘 법칙이나 궤적 위상은 정해지지 않습니다. 전체 P를 맞추면서 내부 진동을 틀리거나, 에너지를 보존하면서 질량 가중치를 틀릴 수 있습니다. 궤적·힘 방향·분해·독립 일 적분을 함께 비교하세요. 대수 계산은 선언한 모형의 항등식을 증명하며 실제 장치에 맞는지는 측정으로 확인해야 합니다.

배경과 범위

계 수준의 보존 가정은 MIT OCW의 입자계 보존 법칙을 참고하세요. 조화 쌍과 예제 값은 위에서 유도했습니다. 분포한 장, 강체 자전, 접촉, 소산에는 다른 상태나 상호작용이 필요합니다.