조화진동자 작용과 caustic 좌표계

매끄러운 운동도 생성함수 좌표계를 벗어날 수 있다

카메라가 움직이는 물체를 놓쳤다고 물체가 사라진 것은 아니다. 생성함수도 선택한 독립 변수로 매끄러운 Hamilton 흐름을 더는 표현하지 못할 수 있다. 이 단원은 정확히 풀리는 조화진동자로 그 차이를 보여 준다. 식의 분모가 0이 되는 상황을 곧바로 힘의 발산이나 실제 운동의 불안정으로 해석하지 않는다.

세 가지 사영을 비교한다. 초기 위치를 고정한 끝점 문제, 초기 운동량을 고정한 혼합 생성함수, 초기 운동량 장 전체를 진화시킨 문제다. 각 사영에서 정보를 잃는 조건은 서로 다르다. 하나의 생성함수가 실패한 사실로 나머지 두 문제까지 실패했다고 결론 내리지 않는다.

조회점의 사인·코사인은 정확한 유리수로 계산한다. 정의되지 않는 함수는 미정으로 표시하면서 실제 위상 흐름과 에너지는 계속 제공한다. 숫자 오차와 정확한 좌표계 실패를 분리하는 실험이다.

정확한 조화진동자 흐름에서 출발한다

질량 $m>0$과 각진동수 $\omega>0$는 일정하며 단위는 kg와 s⁻¹이다. Hamiltonian은

$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}{2}$$

다. $\theta=\omega T$, $C=\cos\theta$, $s=\sin\theta$라 쓰면 초기 위치와 운동량에서 최종 상태로 가는 식은

$$\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C&s/(m\omega)\\-m\omega s&C\end{pmatrix} \begin{pmatrix}q_0\\p_0\end{pmatrix}$$

이다. 행렬식은 $C^2+s^2=1$이므로 모든 시간에서 가역이다. 비대각 성분의 단위는 서로 역수이며 위치와 운동량을 같은 단위의 Euclidean 좌표처럼 취급하지 않는다.

시간 미분하면 $\dot q=p/m$, $\dot p=-m\omega^2q$이고 에너지는 초기 값 그대로다. 이후 어떤 생성함수의 분모가 0이 되어도 이 물리적 항등식들은 유지된다. 실제로 실패하는 것이 무엇인지 판정할 기준을 먼저 확보한 셈이다.

초기값 문제와 끝점 문제를 구분한다

초기값 문제는 $q_0,p_0$를 함께 주므로 위상 상태가 유일하게 정해진다. 끝점 문제는 $q_0$, 목표 최종 위치 $x$, 걸린 시간 $T$를 주고 필요한 초기 운동량을 역으로 구한다. 같은 문제를 표기만 바꾼 것이 아니라 제공한 정보의 종류가 다르다.

$s\ne0$이면

$$p_0^{\mathrm{required}}=m\omega\frac{x-Cq_0}{s},\qquad p_f=m\omega\frac{Cx-q_0}{s}$$

다. 이 필요한 운동량은 실습에서 선택한 원래 $p_0$와 다를 수 있다. 목표 위치를 바꾸는 제어는 요구하는 경계값 문제를 바꾸며 선택한 위상 궤적 자체를 교체하지 않는다.

따라서 임의의 목표에서 읽은 끝점 작용을 이미 선택해 둔 궤적의 작용이라고 부르면 안 된다. 두 값이 같은 경로를 뜻하는지 목표 도달 여부를 먼저 확인한다. 초기 데이터와 조회 데이터를 따로 기록하는 습관은 역문제의 검증에서도 중요하다.

끝점 주작용을 유도하고 미분한다

$s\ne0$에서는 유일한 끝점 경로의 Lagrangian 적분이

$$A(x,q_0,T)=\frac{m\omega}{2s} \left[C(x^2+q_0^2)-2xq_0\right]$$

다. 이 함수의 미분은

$$A_x=p_f,\qquad A_{q_0}=-p_0^{\mathrm{required}},\qquad A_T+H(x,A_x)=0$$

을 만족한다. 초기 위치에 대한 미분에는 음수가 붙는다. 작용을 변분했을 때 마지막 경계 기여에서 처음 경계 기여를 빼기 때문이다. 처음과 끝에 같은 부호를 쓰면 복원한 초기 운동량을 잘못 읽는다.

혼합 Hessian은 $A_{xq_0}=-m\omega/s$이고 단위는 kg/s다. 이 식은 선언한 $s\ne0$ 좌표계에서 사용한다. 정확히 0인 사인을 작은 양수로 대신 넣어 큰 값을 얻는 방식은 좌표계의 정의역을 복구하지 않는다.

반주기의 집중을 실제 특이성과 구분한다

$s=0$이면 최종 위치는 $q=Cq_0$여서 초기 운동량에 무관하다. 목표가 이 위치와 다르면 도달하는 초기 운동량이 없다. 목표가 같으면 끝점 두 위치만으로 초기 운동량이 결정되지 않는다. 앞의 유일성 공식이 단지 큰 오차를 갖게 된 것이 아니라 역문제의 성질이 바뀐 것이다.

반주기에서는 $C=-1$이다. 같은 초기 위치에서 출발한 모든 운동이 반대 위치에 모여도 최종 운동량은 서로 다르다. 전체 위상 사상은 $-I$이며 랭크가 0이 아니다. 위치로 투영하면서 잃은 정보를 위상 공간은 계속 갖고 있다.

시간 0에도 같은 대수식으로 초기 운동량이 미정이지만, 서로 다른 양의 시간 위치 이력들이 있다는 뜻으로 확대하지 않는다. 실습은 0 시간 경계를 별도로 표시한다. 한 주기에는 위상 사상이 $I$로 돌아오며 호환되는 끝점 위치만으로는 다시 초기 운동량을 정하지 못한다.

보완적인 혼합 완전적분을 쓴다

최종 위치 $x$와 초기 운동량 $\alpha$를 독립 변수로 두자. $C\ne0$에서 흐름을 초기 위치에 대해 풀고 최종 운동량을 $x$로 적분하면

$$S_2(x,\alpha,T)=\frac{1}{C}\left[ x\alpha-\frac{m\omega s}{2}x^2 -\frac{s}{2m\omega}\alpha^2\right]$$

를 얻는다. 두 미분은

$$S_{2,x}=\frac{\alpha-m\omega sx}{C}=p_f,\qquad S_{2,\alpha}=\frac{x-s\alpha/(m\omega)}{C}=q_0$$

다. 이 함수도 $S_{2,T}+H(x,S_{2,x})=0$을 만족하며 혼합 Hessian은 $1/C$다. 반주기에는 끝점 작용 좌표계가 실패해도 이 혼합 좌표계는 정칙하다.

독립 변수를 교체한 효과를 식으로 확인하자. 한 식에서 분모가 0인 시점에도 다른 변수 쌍으로는 같은 위상 변환을 표현할 수 있다. 단순히 미정 값을 0으로 채우는 것과 좌표계를 바꾸는 것은 전혀 다른 연산이다.

사분 주기에서 좌표계를 바꾼다

사분 주기에는 $C=0$, $s=1$이다. 최종 위치가 이미 $\alpha/(m\omega)$로 정해져 $(x,\alpha)$에서 $q_0$를 복원할 수 없다. 따라서 혼합 함수는 실패하지만 $s\ne0$인 끝점 작용은 정칙하다.

$m=\omega=1$, $q_0=p_0=1$, 목표 $x=1$을 선택하자. 최종 상태는 각 SI 단위로 $(1,-1)$이고 에너지는 1 J, 끝점 작용은 $-1$ Js다. 혼합 생성함수가 미정이라는 표시가 실제 위치나 운동량의 발산을 뜻하지 않는다.

사인과 코사인이 동시에 0일 수는 없다. 따라서 이 조화진동자에서는 두 생성함수 중 적어도 하나가 각 시간의 정확한 위상 변환을 표현한다. 이 선형 예제의 좌표계 묶음을 임의의 비선형 계에서도 두 전역 좌표계면 충분하다는 정리로 확대하지 않는다.

좌표계 분모 없이 실제 작용을 계산한다

물리적 조화진동자 궤적에서는

$$\frac d{dt}(qp)=\frac{p^2}{m}-m\omega^2q^2=2L$$

다. 따라서 실제 누적 작용은

$$I(T)=\frac{q(T)p(T)-q_0p_0}{2}$$

이며 어느 생성함수 좌표계가 실패해도 유한하게 계산된다. 선택 궤적이 목표에 도달하고 끝점 좌표계가 정칙하면 $A=I$다. 정칙한 혼합 좌표계를 선택 궤적 위에서 평가하면

$$S_2(q(T),p_0,T)-q_0p_0=I(T)$$

다. 마지막 생성함수 값에서 처음 값을 빼야 한다. 반주기에는 어떤 선택 상태라도 $I=0$이지만 에너지는 양수일 수 있다. 0 작용은 0 에너지나 정지를 뜻하지 않으며 임의의 경계값 문제가 잘 정의된다는 인증도 아니다.

초기 작용의 운동량 그래프 전체를 진화시킨다

이제 하나의 초기 상태 대신 다음 가족을 함께 생각한다.

$$p_0=\sigma\xi,\qquad S_{\mathrm{initial}}(\xi)=\frac\sigma2\xi^2, \qquad [\sigma]=\mathrm{kg/s}.$$

$\xi$는 초기 위치다. 이 직선을 정확한 위상 흐름으로 옮기면

$$q=a\xi,\qquad p=b\xi,\qquad a=C+\frac{\sigma s}{m\omega},\quad b=-m\omega s+\sigma C$$

다. 선택한 궤적이 이 가족에 속하려면 그 초기 운동량이 $\sigma q_0$와 같아야 한다. 그래프 기울기를 바꾸었다고 선택한 실제 초기 상태까지 몰래 교체하지 않는다. 실습의 소속 판정을 함께 읽어야 하는 이유다.

이동한 직선은 위상 공간에서 여전히 매끄러운 1차원 대상이다. 하지만 위치를 독립 변수로 한 단일값 운동량 그래프로 남는다는 보장은 없다. 매끄러운 위상 곡선과 위치 위의 그래프라는 추가 조건을 따로 본다.

Caustic 이전의 초기값 작용을 유도한다

$a\ne0$이면 위치 $x$에 도착하는 초기 이름표는 $\xi=x/a$다. 운동량 장과 이동한 작용은

$$p(x,T)=\kappa(T)x,\qquad S_g(x,T)=\frac{\kappa(T)}2x^2,\qquad \kappa=b/a$$

다. 이 작용에는 초기 작용과 각 특성곡선에서 쌓은 실제 작용이 모두 포함된다. 끝점 작용처럼 초기 위치 하나를 고정한 함수가 아니다. $a,b$를 미분하면

$$\dot a=b/m,\qquad \dot b=-m\omega^2a,\qquad \dot\kappa=-m\omega^2-\kappa^2/m$$

이며 여기서 $S_{g,T}+H(x,S_{g,x})=0$이 바로 나온다. 초기 운동량 장을 주었을 때의 초기값 해라는 점을 확인할 수 있다.

$\kappa$나 작용 Hessian이 커져도 진화한 직선의 각 위상 점은 유한할 수 있다. 그래프를 위치로 사영하는 과정이 실패하는 것이므로 힘이나 에너지의 발산과 같은 진단을 쓰지 않는다. 이후 그래프가 다시 정칙해져도 전역적인 단일 고전 해가 계속 존재했다고 소급해 말하지 않는다.

두 생성함수가 놓치지 않는 별도의 그래프 caustic을 찾는다

그래프 caustic은 $a=0$일 때 생긴다. 모든 초기 이름표가 $q=0$에 도착하지만 $b\xi$는 서로 다르다. 위상 흐름이 가역이므로 $a,b$가 동시에 0일 수 없다. 서로 다른 초기 상태가 같은 위상 상태로 합쳐진 것이 아니다.

사분 주기가 아닌 구체적 예로 $m=\omega=1$, $C=3/5$, $s=4/5$, $\sigma=-3/4$ kg/s를 고르자. 그러면 $a=0$, $b=-5/4$ kg/s다. 사인과 코사인은 모두 0이 아니므로 앞의 두 생성함수 좌표계는 둘 다 정칙하다. 초기 그래프의 사영 실패가 각 끝점 좌표계의 실패와 다른 사건임을 확인한다.

가족의 $\xi=2$ m, $p_0=-3/2$ kg m/s를 선택하면 최종 상태는 $q=0$, $p=-5/2$ kg m/s다. 에너지는 $25/8$ J, 실제 작용은 $3/2$ Js이고 초기 그래프 작용은 $-3/2$ Js다. 합이 0이어도 같은 위치에서 최종 운동량은 이름표별로 다르다. 집중점의 작용 값 하나가 그 주변의 단일 미분 가능한 운동량 장을 정의하는 것은 아니다.

유리수 시계와 그림의 의미를 확인한다

제어는 사분면 $k\in\{0,1,2,3\}$와 $u\in[0,1]$을 고른다. 먼저

$$C_0=\frac{1-u^2}{1+u^2},\qquad s_0=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \theta=k\pi/2+2\arctan u$$

를 만들고 선택한 사분면만큼 $(C_0,s_0)$를 회전한다. 조회 사인·코사인, 랭크, 좌표계 판정, 작용 값은 정확한 유리수다. 실제 시간 $T=\theta/\omega$의 표시만 수치 평가한다. 이것은 정확한 흐름의 매개화이지 시간 보폭을 $2u/\omega$로 둔 Cayley 수치 적분법이 아니다.

시간 그림은 실제 한 주기를 다룬다. 미정 표본과 분모 부호가 바뀌는 곳에서는 작용·Hessian 선을 끊어 극점을 가로질러 연결하지 않는다. 위상 그림은 위치 m와 운동량 kg m/s를 각각 표시한다. 그래프 사영 $a$는 무차원이지만 끝점 감도 $s/(m\omega)$는 s/kg다. 두 값을 동일한 물리 단위로 합치지 않는다.

AI와 역문제에 가져갈 진단을 구분한다

학습한 스칼라 작용이 국소 가지를 잘 맞추어도 다른 영역에서 그 사영이 실패할 수 있다. 어떤 독립 변수로 가지를 정의했는지, 혼합 Hessian이 어느 역변환을 검사하는지, 요구한 끝점이나 초기 그래프가 데이터와 호환되는지를 먼저 물어야 한다.

도함수 운동량, Hamilton-Jacobi 잔차, 실제 위상 궤적, 독립적으로 적분한 작용을 함께 비교한다. 선택 상태의 가족 소속도 확인한다. 좌표계 실패, 끝점 비유일성, 그래프 caustic, 실제 위상 운동의 불안정은 같은 결과 이름으로 저장하지 않는다.

이 예는 점성해를 계산하거나 여러 작용 가지 중 최소를 선택하지 않는다. 양자 위상도 추가하지 않으며 학습한 작용의 전역 일반화를 증명하지 않는다. 그런 확장은 각각 정의와 별도 근거가 필요하다. 정확한 조화진동자는 그 연구 질문과 검증기를 이해하기 쉽게 마련하는 출발점이다.

해설과 함께 여섯 가지를 확인한다

문제 1

사분 주기 예제의 최종 상태를 계산하고 혼합 함수가 미정이어도 위상 흐름이 정상인 이유를 설명하라.

해설: $C=0$, $s=1$, $q_0=p_0=m=\omega=1$이면 $q=1$, $p=-1$이다. 위상 행렬식은 여전히 1이다. $(x,\alpha)$에서 초기 위치를 구하려는 연산만 0으로 나눈다. 끝점 작용은 정칙하고 $-1$ Js다.

문제 2

반주기에 $q_0=1$ m일 때 목표 $x=-1$ m와 $x=1$ m를 비교하라.

해설: 최종 위치는 초기 운동량과 무관하게 $-1$ m다. 첫 목표는 운동량을 결정하지 못하고 둘째 목표는 그 시간에 도달할 수 없다. 두 경우 모두 위상 사상 $-I$가 특이해지는 것은 아니다.

문제 3

끝점 주작용에서 초기 운동량을 읽을 때 왜 음수가 붙는가?

해설: 작용 적분의 경계 변분은 마지막 항에서 처음 항을 뺀다. 초기 시간을 고정하면 $\delta A=p_f\delta x-p_0\delta q_0-H_f\delta T$다. 따라서 $p_0=-A_{q_0}$이며 처음·끝에 같은 부호를 붙이면 틀린다.

문제 4

일반 각도의 그래프 caustic 예에서 $a,b$를 구하고 정의되지 않는 대상을 말하라.

해설: $a=3/5-(3/4)(4/5)=0$, $b=-4/5-(3/4)(3/5)=-5/4$ kg/s다. 직선이 위치 위에서 수직이 되어 단일값 $p(x)$와 국소 그래프 작용 좌표계가 실패한다. 끝점·혼합 생성함수는 모두 정칙이다.

문제 5

$q_0,p_0$를 고정한 채 $\sigma$를 바꾸면 선택한 물리적 궤적도 바뀌는가?

해설: 아니다. 초기 가족과 그 사영을 바꾸는 제어이며 선택 초기 상태는 그대로다. 가족 소속 판정이 달라질 수 있다. 이를 보지 않으면 가족에 속하지도 않는 궤적에 그 가족의 caustic을 잘못 귀속할 수 있다.

문제 6

한 주기 후의 상태·실제 작용·끝점 좌표계 상태를 각각 설명하라.

해설: 상태는 $(q_0,p_0)$로 돌아오고 실제 작용은 0이며 에너지는 초기 값이다. $s=0$이라 끝점 주작용 좌표계는 미정이다. 호환되는 위치만으로 초기 운동량을 정하지 못하지만 $C=1$인 혼합 좌표계는 정칙하다.

읽을거리와 이 예제의 범위

생성함수의 틀은 Tong의 Classical Dynamics 4.4.3·4.7절과 Sussman·Wisdom의 Canonical Evolution 6.1절을 참고한다. 이 단원의 조화진동자 좌표계, 유리수 시계, 초기 그래프 수송과 경계 분류는 직접 유도한다. 독립 기호 검증은 유리수 시계 값을 넣기 전에 실제 Lagrangian을 적분하고 작용을 미분한다. 논의는 고전역학이며 양자 전파함수나 양자 위상 관습을 가져오지 않는다.