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확률측도·푸시포워드와 기대값

결과 공간의 적분과 분포에 대한 적분이 같은 값을 주는 이유를 확인합니다.

98 / MEASURE THEORY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·함수·적분·극한·기대값
σ-대수·측도와 가측성 →단순함수와 Lebesgue 적분 →기댓값·분산과 불확실성 →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

결과 공간의 적분과 분포에 대한 적분이 같은 값을 주는 이유를 확인합니다.

Pushforward of P=(0.1,0.2,0.3,0.4) by X=(0,0,1,2); probabilities on equal outputs are added

020.420
가로: X의 출력 값 · 세로: 푸시포워드 확률질량
ωP({ω})X(ω)P_X({X(ω)})
00.100.3
10.200.3
20.310.3
30.420.4

support values = (0, 1, 2)

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

가측사상

같은 출력으로 가는 원소를 묶습니다.

X=(0,0,1,2)

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

확률은 정규화된 측도

확률측도는 전체 공간의 측도가 1인 측도입니다. 기대값은 확률측도에 대한 Lebesgue 적분입니다. 유한 공간에서는 가중합이지만 연속 공간에서는 같은 정의가 밀도나 다른 측도를 통해 구현됩니다. 실습의 기초 확률은 (0.1,0.2,0.3,0.4)이고 X는 각 결과를 (0,0,1,2)로 보냅니다. 확률값과 X의 출력값은 서로 다른 역할입니다.

EP[X]=∫ΩX(ω) P(dω).E_P[X]=\int_\Omega X(\omega)\,P(d\omega).

분포는 역상을 통해 옮긴 측도

X의 분포 P_X는 출력 집합 B의 역상이 가질 확률로 정의합니다. 기준에서 X=0으로 가는 결과는 두 개라 그 질량을 합해 0.3입니다. 출력 1의 질량은 0.3, 출력 2는 0.4입니다. 같은 출력으로 갈 때 질량을 복제하거나 평균내지 않고 더합니다. 가측성이 필요한 이유는 역상이 원래 공간에서 확률을 물을 수 있는 사건이어야 하기 때문입니다.

PX(B)=P(X−1(B)),PX({0})=0.1+0.2=0.3.P_X(B)=P(X^{-1}(B)),\qquad P_X(\{0\})=0.1+0.2=0.3.

두 공간에서 기대값 계산하기

원래 공간에서는 0·0.1+0·0.2+1·0.3+2·0.4=1.1입니다. 출력 공간에서는 0·0.3+1·0.3+2·0.4로 같은 값을 얻습니다. 일반 비음수 가측함수 h에 대해서도 지시함수부터 확인하고 단순함수와 단조수렴으로 확장하면 같은 식이 성립합니다. 적분가능한 부호 함수도 양·음 부분으로 확장할 수 있습니다. 이 공식은 확률변수 X의 역함수가 없어도 됩니다.

EP[h(X)]=∫Rh(x) PX(dx).E_P[h(X)]=\int_{\mathbb R}h(x)\,P_X(dx).

분산·부호·붕괴를 읽는 법

기준 이차 모멘트는 1.9이고 분산은 1.9−1.1²=0.69입니다. 부호 함수 모드에서는 출력 −1과 1의 질량을 합해 기대값 0.2를 얻습니다. 배율을 0으로 하면 출력 공간은 원점 질량 1로 붕괴합니다. 기대값이 존재하는지 판단할 때 일반적으로 E|X|<∞를 확인합니다. 현재 유한 예제는 항상 적분가능하지만, 표본평균을 몇 개 계산했다는 사실만으로 일반 분포의 기대값 존재가 보장되지는 않습니다.

Var⁡(X)=E[X2]−(E[X])2,E∣X∣<∞ ensures a finite expectation.\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2,\qquad E|X|<\infty\text{ ensures a finite expectation}.

확인 문제와 해설

  1. 같은 출력의 질량은 더하나요? 예. 서로소 역상 사건의 합입니다.
  2. 푸시포워드가 Jacobian 공식을 항상 필요로 하나요? 아니요. 역상 정의가 더 일반적입니다.
  3. 확률 0인 출력점을 값의 목록에 넣으면 지지가 되나요? 아니요. 양의 질량을 갖는 출력과 구분합니다.

추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.

CHECK YOUR UNDERSTANDING

설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 푸시포워드의 사건 확률은?
2. 기대값이 유한하려면 일반적으로 확인할 것은?

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