변분 극한·안정성·대칭 깨짐

정지점은 평형의 답이 아니라 후보다

바닥에 두 개의 움푹한 곳과 그 사이의 능선이 있다고 상상하자. 공은 어느 쪽 웅덩이에서도 머물 수 있지만, 전체 높이가 가장 낮은 곳은 더 깊은 웅덩이다. 바닥을 조금 기울이면 그림으로는 거의 같아 보여도 어느 쪽이 더 깊은지가 먼저 달라진다. 자유에너지의 전역 최소, 국소 최소, 그 사이의 극대도 이런 구별이 필요하다. 다만 공의 움직임은 지형을 이해하는 비유다. 굴러가는 시간까지 열역학이 정해준다는 뜻은 아니다.

앞 단원은 완전 연결된 유한 스핀계의 확률분포를 계산했다. 이번에는 그 계의 변분 극한을 유도하고 모든 정지 가지를 구한다. 대칭 때문에 두 최소가 같은 값을 가지면 둘 다 남긴다. 해 찾기 알고리즘이 불안정한 근 하나에 수렴했다고 해서 그것을 유일한 평형으로 받아들이지 않는다.

이항 다중도, 분배함수, 미분, 테일러 전개를 알고 있으면 좋다. 계산 준비는 무차원 결합 K가 0부터 8, 무차원 장 b가 −4부터 4까지다. 이 범위는 계산기의 지원 범위다. 유도 자체는 유한한 K≥0과 유한한 b를 다룬다. 두 입력만으로 켈빈 단위의 온도나 공간 격자의 차원이 지정되지는 않는다.

자화를 고정하고 엔트로피를 세자

전체 스핀을 N으로 나눈 값을 m이라 하자. m을 고정하면 위쪽 스핀의 비율은 (1+m)/2, 아래쪽은 (1−m)/2다. 이 비율이 만드는 스핀당 이진 엔트로피가 s(m)이며 단위는 nat이다. 끝점에서는 0 ln 0을 연속적인 극한값 0으로 정의한다. 자화를 고정한 무차원 자유에너지를 ψ라고 쓰자.

음의 이차항은 정렬을 유리하게 만들고, 장의 항은 정렬의 부호를 선택한다. 음의 엔트로피 항은 배치 수가 많은 혼합 상태를 유리하게 만든다. m=0의 엔트로피는 ln 2이고 완전 정렬된 양 끝에서는 0이다. 최종 곡선 하나만 보기 전에 세 기여를 따로 그려보면 경쟁의 원인이 분명해진다.

물리적 해밀토니안은 E=−JM²/(2N)−hM이다. K=J/(kBT), b=h/(kBT)이므로 ψ는 줄 단위 에너지가 아니라 자유에너지를 NkBT로 나눈 값이다. J와 h가 고정되어 있을 때 영이 아닌 무차원 계수는 온도에 반비례하며, h=0이면 온도를 바꾸어도 b는 계속 0이다.

$$s(m)=-\frac{1+m}{2}\ln\frac{1+m}{2}-\frac{1-m}{2}\ln\frac{1-m}{2},\qquad \psi_{K,b}(m)=-\frac K2m^2-bm-s(m).$$

유한한 배치 세기가 이 지형으로 수렴하는 이유

가능한 자화 m=2k/N−1마다 이름이 붙은 스핀 배치의 수는 이항계수다. 아래의 배치 수 경계는 끝점을 포함하여 모든 k에 적용된다. 허용된 자화 격자에서 −ψ의 최댓값을 A_N이라고 하자. 분배함수의 모든 항을 위에서 제한하고 가장 큰 항 하나를 아래에서 남기면, 유한계의 압력은 A_N에서 ln(N+1)/N 이내에 놓인다.

하한은 성공 확률을 k/N으로 둔 이항분포로 이해할 수 있다. 이 분포에서 성공 횟수 k는 최빈값이므로 그 확률은 적어도 1/(N+1)이다. 이를 정리하면 다중도의 하한이 된다. 같은 확률이 1을 넘지 않는다는 사실은 상한을 준다. 끝점에서는 실제 배치 수 1과 일치한다.

닫힌 구간에서 ψ는 연속이고 자화 격자는 점점 촘촘해진다. 따라서 A_N은 연속적인 최댓값으로 수렴한다. 이는 단순히 합을 적분으로 바꾸는 그림보다 명확한 극한의 근거다. 그러나 임계점에서 모든 미분량까지 같은 오차로 제어했다는 뜻은 아니다. 자기 상호작용의 상수항을 빼면 ln Z는 K/2만큼 바뀌지만 스핀당 압력 차이는 K/(2N)이므로 극한에서는 사라진다.

$$\frac{e^{Ns(m)}}{N+1}\leq\binom Nk\leq e^{Ns(m)},\qquad A_N-\frac{\ln(N+1)}{N}\leq\frac{\ln Z_N}{N}\leq A_N+\frac{\ln(N+1)}{N}.$$ $$p(K,b)=\lim_{N\to\infty}\frac{\ln Z_N(K,b)}N=\max_{-1\leq m\leq1}\left[\frac K2m^2+bm+s(m)\right]=-\min_m\psi_{K,b}(m).$$

한 번 미분한 뒤 근의 개수를 묻자

구간 내부에서 s의 미분은 −atanh(m)이다. 따라서 정지점은 f(m)=0을 만족하며, 이는 익숙한 자기일관 방정식과 같다. 평균 스핀은 자신이 만드는 유효장 Km+b에 대한 반응과 일치해야 한다는 직관을 준다. 하지만 이 식 하나가 모든 근을 찾아주는 절차는 아니다.

유한한 K와 b에서 ψ의 미분은 왼쪽 끝으로 갈 때 음의 무한대, 오른쪽 끝으로 갈 때 양의 무한대로 간다. 따라서 양 끝점은 최소가 아니며 전역 최소는 반드시 내부의 정지점이다. 수치 탐색의 경계도 끝점에 닿을 필요가 없다. 지원 범위에서는 r=1−2^−64에 대해 atanh(r)>32 ln 2>16이고 K+|b|≤12이므로 모든 근이 (−r,r)에 들어간다.

m을 tanh(Km+b)로 반복 갱신하면 한 최소에만 수렴할 수 있고, 밀어내는 가지에 놓인 근은 찾지 못할 수 있다. 반복이 수렴했다는 사실만으로 전체 근을 찾았다고 주장할 수 없다. 먼저 단조 구간을 분류한 다음, 끝점의 부호가 근의 존재를 보장하는 각 구간에서 하나씩 분리해야 한다.

$$f(m)=\psi_{K,b}^{\prime}(m)=\operatorname{atanh}m-Km-b,\qquad f(m)=0\ \Longleftrightarrow\ m=\tanh(Km+b).$$

전환점·스피노달과 공존은 서로 다르다

K≤1이면 f는 증가한다. K=1,m=0에서는 도함수가 0이지만 그 점 때문에 증가성이 사라지지는 않는다. 양 끝의 부호와 함께 보면 근은 정확히 하나다. K>1에서는 s=sqrt(1−1/K)로 두었을 때 곡률이 ±s에서 0이 된다. f는 바깥 두 구간에서 증가하고 가운데 구간에서는 감소한다. 아래 식으로 양의 임계 장 B_sp를 정의하자.

|b|<B_sp이면 서로 다른 근이 세 개, |b|>B_sp이면 하나다. 정확히 |b|=B_sp에서는 국소 최소와 가운데 극대가 합쳐져 이중 정지근이 되고 별도의 전역 최소가 남는다. 이 스피노달은 국소 안정성을 잃는 경계다. 반면 b=0,K>1에서는 두 최소의 깊이가 같아질 뿐 두 최소가 합쳐지지 않는다. 이것이 공존이다.

atanh(m)−Km의 그래프 위로 높이 b의 수평선을 움직이는 모습을 생각하면 쉽다. 전환점에 접할 때 교점 수가 세 개에서 하나로 바뀐다. 두 골짜기의 깊이가 같은지는 교점의 수가 아니라 도함수의 적분을 비교해야 알 수 있다. 정밀도 상한에서 임계 장과 입력의 대소가 해결되지 않으면, 이중근이라고 추측하는 대신 미해결이라고 보고해야 한다.

$$\psi^{\prime\prime}(m)=\frac{1}{1-m^2}-K,\qquad s=\sqrt{1-\frac1K},\qquad B_{\mathrm{sp}}=Ks-\operatorname{atanh}s\quad(K>1).$$

국소 안정성과 전역 선택을 따로 표시하자

곡률이 양수이면 엄밀한 국소 최소이고 음수이면 극대다. 근이 세 개일 때 바깥의 둘은 최소, 가운데는 극대다. 양의 장은 양의 바깥 최소를, 음의 장은 음의 바깥 최소를 전역적으로 선택한다. 남은 바깥 최소는 준안정 상태다. 영장에서는 두 바깥 최소가 모두 전역 최소다.

이를 대칭으로 증명할 수 있다. 장을 제외한 부분은 짝함수이므로 b>0에서 양의 m은 반사된 음의 m보다 항상 낮은 자유에너지를 가진다. 양의 반구간에서 내부 최소는 양의 바깥 근 하나뿐이다. 따라서 화면에 표시된 두 자유에너지 소수가 같아도 전역 최소를 선택할 수 있다.

근의 준비	국소 모양	전역적 지위
K<1, b=0, m=0	양의 곡률	유일한 최소
K=1, b=0, m=0	곡률 0, 양의 사차항	유일한 임계 최소
K>1, b=0의 바깥 두 근	양의 곡률	둘 다 전역 최소
K>1, b≠0의 세 근	두 최소와 한 극대	장과 정렬한 최소가 전역 최소

극대도 정지 방정식의 올바른 해다. 하지만 평형 상태는 아니다. 준안정 최소는 국소적으로 안정하지만 평형 자유에너지를 최소화하지는 않는다. 이 두 구분을 함께 표기해야 해를 오해하지 않는다.

임계점에서는 이차항 검사만으로 부족하다

영점 근처에서 정확한 엔트로피를 전개하면 |m|<1에서 아래 급수를 얻는다. K=1,b=0에서는 이차항이 없어지지만 양의 사차항이 엄밀한 최소를 만든다. 정지 방정식의 영점은 삼차다. 일반적인 목적함수에서 헤시안이 0이라는 사실만으로 최소인지, 몇 중근인지 알 수는 없다.

영장에서 K가 1보다 조금 크면 이차항과 사차항의 균형으로 m_*²≈3(K−1)을 얻는다. K=1에서 작은 장을 주면 주도 방정식은 m³/3≈b다. 자화의 부호는 장을 따르고 크기는 |b|의 세제곱근으로 변한다. 이는 작은 매개변수가 지정된 점근식이며 전체 입력 범위에서 정확한 방정식을 대신하지 않는다.

이 지수는 완전 연결 모형의 평균장 임계 거동을 설명한다. 모든 최근접 이웃 자석이 같은 지수를 가진다는 근거는 아니다. 공간 상관과 차원은 별도의 이론이 필요하다. 뒤의 Landau 단원에서는 다항식 계수를 의도적으로 바꾸어 다른 안정성 및 공존 구조도 살펴본다.

$$\psi_{K,b}(m)=-\ln2+\frac{1-K}{2}m^2+\frac{m^4}{12}+\frac{m^6}{30}+\cdots-bm.$$ $$m_*(K,0)^2\sim3(K-1)\quad(K\downarrow1),\qquad m_*(1,b)\sim\operatorname{sgn}(b)(3|b|)^{1/3}\quad(b\to0).$$

가지의 미분이 언제나 평형 감수율은 아니다

매끄러운 정지 가지를 따라 f(m,b)=0을 미분하면 곡률이 0이 아닌 곳에서 아래 반응식을 얻는다. 최소에서는 양수이고 가운데 극대에서는 음수다. 음수 값은 불안정한 수학적 가지를 따라간 미분이다. 평형 분산이 음수라는 뜻으로 읽으면 안 된다.

K<1의 영장 반응은 1/(1−K)다. 정확한 임계점의 극한 반응은 양의 무한대이며, 곡률 0의 역수를 유한한 값처럼 표시해서는 안 된다. K>1,b=0에서는 각 정렬 가지의 국소 미분은 유한하지만 평형 압력은 b에 대해 뾰족점을 가지고 일차 미분이 −m_에서 +m_로 뛴다.

모든 유한 N에서 평형 반응은 N Var(m)이므로 음수가 될 수 없다. 대칭인 두 봉우리 혼합에서는 평균이 0이고 분산은 m_*²에 가까워져 반응이 N과 함께 증가한다. 한 순수상 내부의 반응이 유한하다는 사실과 모순되지 않는다. 유한계의 평형에서는 두 집단의 상대적인 확률도 장에 따라 바뀌기 때문이다.

$$\left.\frac{dm}{db}\right|_{\text{branch}}=\frac1{\psi^{\prime\prime}(m)}=\frac{1-m^2}{1-K(1-m^2)},\qquad \frac{d\langle m\rangle_N}{db}=N\operatorname{Var}_N(m)\geq0.$$

극한을 취하는 순서가 실험을 지정한다

K>1을 고정하자. b=0에서 스핀 반전 대칭 때문에 유한계의 평균은 모든 N에 대해 정확히 0이다. 이를 극한으로 보내도 0이다. 반대로 양의 장을 유지하며 먼저 N을 무한대로 보내고 나중에 장을 0으로 줄이면 양의 정렬 최소가 선택된다. 음의 장에서는 음의 최소가 선택된다.

이들은 서로 다른 준비에 대한 답이다. 자발 자화는 대칭을 깨는 준비로 정의하며, 대칭적인 유한 평균이 사실 한 봉우리와 같다고 주장해서 얻는 것이 아니다. 영장에서 압력의 극한값은 같아도 그 미분과 선택된 상태는 다를 수 있다.

유한계의 부호 있는 평균, 절댓값 평균, 극한의 전역 최소, 선택된 가지의 미분을 나란히 비교해보자. K=2,b=0에서 극한의 최소는 약 ±0.957504에 있지만 유한계의 부호 있는 평균은 여전히 0이다. N을 키우면 구분이 더 뚜렷해진다. 평균을 최빈값으로 바꾸어도 된다는 허가가 되는 것은 아니다.

$$\lim_{N\to\infty}\langle m\rangle_{N,K,0}=0,\qquad \lim_{b\downarrow0}\lim_{N\to\infty}\langle m\rangle_{N,K,b}=m_*(K)>0\quad(K>1).$$

정지점 밖에서 다른 자유에너지로 바꾸지 말자

자주 등장하는 또 다른 식으로 아래의 log-cosh 퍼텐셜 φ가 있다. K>0에서 그 정지 방정식도 같은 자기일관 조건을 준다. 정지점에서는 엔트로피 항등식 때문에 φ와 ψ의 값이 일치한다. 그곳의 곡률은 양의 인자만큼 다르다. 따라서 해당 조건에서 같은 안정 가지를 찾는 이유를 설명할 수 있다.

하지만 정지점 밖에서는 서로 다른 함수다. 자화를 고정한 확률의 지형을 결정하는 것은 ψ이므로 그 지형의 그림에는 ψ를 사용해야 한다. K=0에서 차이가 선명하다. φ는 m에 무관하지만 ψ는 m=tanh b에서 유일한 최소를 가진다. K=0에서 φ만 미분한 해 찾기는 모든 m이 정지점이라는 잘못된 답을 준다.

이 점은 다른 연구에도 유용하다. 두 목적함수가 최적값이나 일부 정지해를 공유한다고 해서 함수 전체를 바꾸어 써도 되는 것은 아니다. 정의역, 도함수, 최적이 아닌 지점의 값이 무엇을 뜻하는지 먼저 확인해야 한다.

$$\phi_{K,b}(m)=\frac K2m^2-\ln\!\left[2\cosh(Km+b)\right],\qquad \phi^{\prime}(m)=K\left[m-\tanh(Km+b)\right].$$ $$\phi(m_*)=\psi(m_*),\qquad \phi^{\prime\prime}(m_*)=K(1-m_*^2)\psi^{\prime\prime}(m_*)\quad\text{at a stationary point, }K>0.$$

장벽은 극값의 차이이며 전환 시간 자체는 아니다

근이 세 개이면 가운데 극대의 ψ에서 각 최소의 ψ를 빼면 스핀당 제약 장벽을 얻는다. 합쳐지는 경계 밖에서는 둘 다 양수다. 스피노달에서는 준안정 장벽이 사라지지만 전역 최소는 다른 곳에 남는다. 공존에서는 대칭 때문에 두 장벽이 같다.

큰 N의 제약 지형에서 해석하는 무차원 전체 장벽은 이 차이에 N을 곱한 값이다. 전환율을 구하려면 확률적 동역학, 잡음의 정의, 앞에 곱하는 계수까지 지정해야 한다. 정적인 차이만으로 초 단위 시간이나 혼합 시간 경계, 실제 이력 곡선을 계산하지 않는다.

극도로 작은 비영 장에서는 거의 같은 두 자유에너지를 직접 빼면 차이를 잃을 수 있다. 정확한 경계로 이를 피할 수 있다. b>0에서 준안정 근을 −u, 전역 근을 v라고 쓰면 0<u<v다. 반사와 전역 최소의 성질이 하한을 주고, 음의 바깥 가지에서의 단조성이 상한을 준다. 두 에너지의 표시값이 같아도 양의 분할을 보존하는 근거다.

$$\Delta_i=\psi(m_{\mathrm{max}})-\psi(m_i)>0,\qquad \psi(-u)-\psi(u)=2bu.$$ $$2bu\leq\psi(-u)-\psi(v)\leq2bv\qquad(b>0,\ 0<u<v,\ \text{three roots}).$$

수치 검증은 작은 차이를 보존해야 한다

계산기는 K와 b를 실제 입력된 binary64 유리수로 해석한다. 예를 들어 Math.log(3)은 정확한 실수 ln 3과 다르다. 이상적인 상수를 가정한 손계산은 유용하지만, 입력의 정답을 검산할 때는 실제로 전달된 수를 계산해야 한다.

영점 부근에서 atanh(m)−m을 직접 빼면 주도적인 삼차 신호를 잃을 수 있다. 구현은 삼차 인자를 밖으로 꺼내고 양의 급수와 방향성 나머지 경계를 계산한다. ψ(m)−ψ(0)도 사차 인자를 따로 꺼낸다. t=m²≤1/64에서는 아래 A와 B를 쓰며, j=0부터 L−1까지 더한 뒤의 나머지를 기하급수로 제한한다. 작은 m 영역 밖에서는 원래 식의 방향성 로그를 계산한다. 경계에서 바뀌는 것은 수치 방법이며 모형은 같다.

근은 단조성이 증명된 구간에서 분리한다. 근의 구간이 충분히 좁아지고 파생 관측량도 상대 구간 폭 기준을 만족해야 계산을 해결했다고 판정한다. 부호를 결정하지 못하면 산술 정밀도를 높인다. 상한에 도달하면 미해결로 반환하며 0을 만들어내거나 근을 합치지 않는다. 표시 가능한 범위 밖의 비영 값은 숫자 표시를 null로 두되 부호와 경계를 유지한다. 정확한 임계점의 무한대는 별도로 증명된 수학적 극한이다.

독립 Python 참조는 고정밀 Decimal 로그를 직접 계산하고 더 높은 정밀도에서 다시 대조한다. TypeScript의 인수분해 급수를 복사하지 않는 이유다. 곡률이 작은 곳에서 잔차 하나가 작다는 사실만으로 근이 정확하다고 판단할 수 없다. 해가 포함된 구간과 가지 분류도 필요하다.

$$A(t)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^j}{2j+3},\qquad B(t)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^j}{(2j+4)(2j+3)},\qquad t=m^2.$$ $$f(m)=(1-K)m-b+m^3A(m^2),\qquad \psi(m)-\psi(0)=\frac{1-K}{2}m^2-bm+m^4B(m^2).$$ $$0\leq R_A\leq\frac{t^L}{(2L+3)(1-t)},\qquad 0\leq R_B\leq\frac{t^L}{(2L+4)(2L+3)(1-t)}\quad(0\leq t<1).$$

정지 가지를 실제 실험과 연결하기

실험에서는 자유에너지와 도함수 그림을 선택하고 모든 정지근의 표를 읽을 수 있습니다. 같은 준비에서 두 그림을 바꾸어보세요. ψ의 골짜기는 f가 위로 통과하는 영점이고 가운데 극대는 아래로 통과하는 영점입니다. 근의 인증된 역할은 worker의 계산에서 가져오며 표본 곡선이 판정하지 않습니다.

비교할 준비	바꾸기 전에 예측	결과에서 읽을 것
b=0에서 K=0.5 →1 →2	곡률이0이어도 엄밀한 최소일 수 있을까요?	하나의 최소, 사차 임계 최소, 가운데 극대와 두 전역 최소를 비교하세요.
접힘 바로 아래 → 반올림된 임계 장	반올림한 장에서도 근이 세 개일까요?	인증한 근 개수를 읽고 근 확대와 도함수를 확인하세요. 그림 정밀도 미해결이 인증된 근 쌍을 없애지는 않습니다.
양의 장 → 음의 장 → 최소 비영 장	표시 에너지가 같으면 공존일까요?	전역 역할과 양의 자유에너지 차이를 보세요. 표시 범위 아래에서도 장의 부호가 최소를 선택할 수 있습니다.

근 상세로 곡률, 엔트로피, ψ(m)−ψ(0), 가지의 미분을 비교하세요. 상세 행 선택과 그림 확대는 별개의 조작입니다. 극대 가지의 음의 미분은 음의 평형 분산이 아닙니다. K,b를 입력하고 Enter 또는 다른 칸으로 이동하여 적용하세요. 정밀도 상한을 바꾸어 미해결 비교를 살펴보아도 물리적 준비는 같습니다. 초기화는 첫 예제로 돌아갑니다. 유한 E[m]과 극한 최소를 비교하려면 앞 유한계 단원을 열어 K,b를 명시적으로 맞추세요. 이 읽기 화면은 유한 분포와 극한 지형을 한 패널에 합치지는 않습니다.

그림을 믿기 전에 해볼 풀이

1. 상호작용이 없는 극한 풀기

K=0,b=0.2에서 정지근, 압력, 가지의 미분을 구하자.

해설. 방정식은 atanh(m)=b이므로 m=tanh(0.2)≈0.197375다. 이진 엔트로피 항등식을 대입하면 p=ln(2 cosh 0.2)≈0.713015이고 미분은 sech²(0.2)≈0.961043이다. ψ의 곡률이 항상 양수이므로 최소는 하나다. 한 그림에 수를 맞춘 것이 아니라 해석적으로 풀리는 함수족 전체의 검산이다.

2. 정확한 상수에서 정렬근 확인하기

정확한 실수 연산에서 K=ln 3,b=0을 가정하자. m=1/2가 안정한 근인지 보이고 영점 대비 자유에너지를 구하자.

해설. atanh(1/2)=ln 3/2이므로 f(1/2)=0이다. 곡률은 4/3−ln 3>0이다. s(1/2)=2 ln 2−3 ln 3/4를 쓰면 ψ(1/2)−ψ(0)=5 ln 3/8−ln 2<0이다. 반사된 근도 같은 값을 가지며 둘 다 전역 최소다. binary64의 로그를 입력하면 근은 가까운 값일 뿐 정확히 1/2일 필요는 없다. 정확한 유리근을 요구하면 다른 입력을 검사하는 셈이다.

3. 그림의 격자를 탐색하지 않고 스피노달 찾기

K=9/8에서 s와 B_sp를 구하고 b=0과 b=B_sp를 구별하자.

해설. s=1/3이고 atanh(1/3)=ln 2/2다. 따라서 B_sp=3/8−ln 2/2≈0.02842640972002735다. b=0에서는 두 최소가 공존하고 가운데 근은 불안정하다. 정확한 양의 임계 장에서는 음의 최소와 극대가 −1/3에서 합쳐진다. 양의 최소는 별도로 남는다. 반올림된 임계 장 주위의 인접 binary64 값은 정확한 임계 장과 비교해야 한다. 모두를 허용오차 안의 접점으로 합치면 안 된다.

4. 곡률이 0인 점 분류하기

K=1,b=0에서 ψ″(0)=0이면 영점이 불안정한가? 작은 양의 장을 주면 어떻게 되는가?

해설. 상수가 아닌 주도항은 m⁴/12이며 영점 양쪽에서 양수다. 따라서 영점은 엄밀한 임계 최소다. 작은 양의 장에서는 m≈(3b)^(1/3)이다. 장이 0으로 갈 때 자화는 0으로 가지만 반응은 발산한다. 가장 작은 양의 binary64 장에서는 근이 약 2.4564×10^−108이다. 음의 자유에너지 변화는 비영 binary64로 표시하기에 너무 작다. 작다고 해서 정확히 0인 반응으로 바꾸면 안 된다.

5. 혼합의 반응과 가지의 반응 비교하기

K=2,b=0에서 정렬 가지의 미분과 유한 대칭 평형의 반응을 비교하자.

해설. 양의 근은 약 0.957504이므로 곡률은 약 10.02125, 가지 미분은 약 0.09979다. 유한 대칭 평균은 정확히 0이다. N이 증가하면 분산은 m_*²에 가까워지므로 N Var(m)은 대략 0.9168 N으로 증가한다. 앞의 값은 한 가지 내부의 이동이고 뒤의 값에는 두 집단의 확률 재분배가 포함된다. 가운데 극대에서 얻은 음의 미분은 안정한 평형 반응에 해당하지 않는다.

6. 반올림 에너지에서 보이지 않는 편향 보존하기

K=2에 가장 작은 양의 binary64 b를 주자. 두 자유에너지의 표시값이 같으면 어느 최소가 전역 최소인가?

해설. 장의 부호 때문에 양의 근이 전역 최소이고 음의 근은 준안정하다. 차이는 양의 두 근 크기에 각각 2b를 곱한 값 사이에 있으며 대략 1.915008 b다. 표시된 에너지를 빼면 0이 나오더라도 실제 차이의 부호는 양수다. K가 1보다 바로 큰 경우에는 더 작은 양의 차이가 숫자 표시 범위를 벗어나지만 부호가 있는 구간은 여전히 의미가 있다.

유도를 실험과 연구 질문으로 연결하기

인터랙티브 화면은 m에 대한 ψ 또는 f를 선택하는 그림을 모든 근의 표와 곡률·역할·압력 상세에 연결한다. K=0,b=0에서 시작해 K를 1 너머로 올리고 작은 양의 장을 주어보자. 합쳐지는 근 쌍은 넓은 그림과 국소 확대를 함께 보여야 한다. 거친 고정 격자는 두 근을 숨길 수 있다. 정확한 임계점, 미해결 비교, 숫자 표시 범위 밖 값을 각각 명시해야 한다.

두 번째 비교에서는 유한 자화분포와 극한의 최소를 나란히 놓는다. N과 유한·극한 관측량의 선택을 계속 표시한다. 부호 있는 평균과 절댓값 평균을 먼저 예측하고 결과를 확인하도록 한다. 유한·극한을 한 화면에 합치는 비교는 앞으로 구현할 교수 설계다. 현재 등록된 읽기 화면은 극한 지형과 근 표를 제공하며 유한 분포는 앞 단원에서 볼 수 있다. 독립 수치 검사만으로 worker 취소나 시각화의 정확성까지 입증한 것은 아니다.

AI 연구에는 에너지 기반 목적함수, 대칭 깨짐, 여러 고정점, 암시적 미분, 국소 수렴과 전역 선택의 차이가 연결된다. 정지 방정식만으로 샘플러가 평형에 도달한다고 증명할 수 없다. 곡률이 작으면 잔차가 작아도 암시적 기울기가 신뢰할 만하다는 보장이 없다. 실제 학습되거나 표집되는 계에서 어떤 가정이 지형의 해석을 정당화하는지 물어야 한다.

David Tong의 통계장론 강의는 제약 자유에너지와 평균장 접근, 공간계에 적용할 때의 주의점을 더 넓게 설명한다. 여기의 배치 수 경계와 계산 계약은 완전 연결 준비에 대한 것이다. 다음 육차 Landau 가족에서는 계수를 바꾸어 연속 전이, 일차 공존, 스피노달 안정성을 분리한다. 그 가족도 별도의 유도와 검증이 필요하다.