σ-대수·측도와 가측성

측도 이전에 사건을 정하기

표본공간만 주었다고 모든 부분집합의 확률이 정해지는 것은 아닙니다. σ-대수 F는 확률을 묻도록 허용한 사건의 모음입니다. 전체 공간을 포함하고 여집합과 가산 합집합에 닫혀 있어야 합니다. 유한한 Ω={0,1,2,3}에서 {0,1}과 {2,3}을 구분하지만 각 쌍 내부는 구분하지 않는 정보를 생각해봅시다. 허용 사건은 두 원자의 합집합인 네 집합뿐입니다.

원자와 정보 해상도

유한 공간의 σ-대수는 구분할 수 없는 최소 묶음인 원자들로 설명할 수 있습니다. k개 원자가 있으면 각 원자의 포함 여부를 선택하므로 사건 수는 2의 k제곱입니다. 모든 정보를 선택하면 원자는 한 점씩 네 개가 되어 16개 사건을 얻습니다. 아무 정보도 없는 분할에서는 원자가 Ω 하나이고 사건은 공집합과 Ω뿐입니다. 일반 무한 공간이 언제나 이런 유한 원자 구조를 갖는 것은 아닙니다.

측도는 허용 사건에만 배정한다

측도 μ는 F 위의 비음수 가산가법 함수이며 μ(∅)=0입니다. 전체 공간의 측도가 1이면 확률측도 P입니다. 실습의 기초 가중치 (0.1,0.2,0.3,0.4)를 원자별로 합하면 0.3과 0.7입니다. 이는 거친 σ-대수 위 측도를 지정합니다. 표의 기초 가중치는 더 세밀한 공간에서 가져온 구성 자료입니다. 거친 정보에서 {0}의 확률을 묻는 것은 허용 사건 밖의 질문이므로 —로 표시합니다.

가측함수는 어떤 질문을 허용하는가

실수값 함수 X가 가측이라는 것은 모든 Borel 집합 B에 대해 X의 역상 X⁻¹(B)가 허용 사건이라는 뜻입니다. 유한 원자 안에서는 X가 일정해야 합니다. 같은 원자 안에서 다른 값을 내면 두 값을 분리하는 실수 구간의 역상이 원자를 쪼개기 때문입니다. AI에서 정보나 표현을 압축할 때 무엇이 관측 가능한지 먼저 정해야 조건부 예측을 정확히 정의할 수 있습니다.

확인 문제와 해설

1. 두 원자의 합집합은 가측인가요? 예. Ω이고 확률은 1입니다.
2. 거친 정보에서 {0}이 비가측인 것은 확률이 0이라는 뜻인가요? 아니요. 측도의 정의역 밖이라는 뜻입니다.
3. 전체 정보의 사건 수는? 16개입니다.

추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.