이 단원 목차
벡터를 담는 공간과 생성
실벡터공간은 벡터 덧셈과 실수배에 닫혀 있고 영벡터·역원·분배법칙 등 벡터공간 공리를 만족하는 집합입니다. R²는 표준 예제이지만 함수나 행렬의 집합도 연산과 조건을 정하면 벡터공간이 될 수 있습니다. 반대로 양의 성분만 가진 벡터들의 집합은 영벡터를 포함하지 않고 음의 실수배에 닫혀 있지 않아 벡터공간이 아닙니다.
벡터 v₁,…,vₖ의 모든 선형결합의 집합을 span이라 합니다.
이 집합은 덧셈·실수배에 닫힌 부분공간입니다. 빈 집합의 span은 {0}으로 정합니다. 영 부분공간은 원소가 하나 있지만 차원은 0입니다. 원소 수와 차원은 다릅니다.
선형독립과 기저
Σᵢαᵢvᵢ=0이 모든 계수 0인 경우에만 성립하면 선형독립입니다. 어떤 생성 집합이 선형독립이면 그 공간의 기저입니다. 기저 벡터 수가 차원이며 유한차원 공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 가집니다.
독립성 덕분에 기저 좌표는 유일합니다. 같은 벡터에 두 좌표 표현이 있다면 빼서 영벡터의 선형결합을 만들 수 있고, 독립성이 모든 계수 차이를 0으로 강제합니다.
기준 행렬 A=[[1,2],[2,4]]의 열은 (1,2),(2,4)입니다. 두 번째가 첫 번째의 두 배이므로 독립이 아닙니다. 첫 열 하나가 열공간의 기저이며 열공간 차원은 1입니다.
선형사상의 상과 영공간
행렬 A:Rⁿ→Rᵐ의 상은 열공간이고 그 차원이 랭크입니다. 영공간은 0으로 보내지는 입력들의 집합입니다.
기준 예제에서 A(−2,1)ᵀ=0이므로 영공간은 span((−2,1))입니다. (−4,2)도 같은 방향의 생성 벡터입니다. 기저는 일반적으로 유일하지 않으며, 화면이 선택한 생성 벡터를 유일한 정답으로 해석하지 마세요.
랭크–영차원 정리의 이유
영공간 기저 k₁,…,kᵣ를 입력 공간의 기저 k₁,…,kᵣ,u₁,…,uₛ로 확장합니다. 모든 입력의 A상은 Auⱼ들의 선형결합이므로 이들이 상을 생성합니다. ΣβⱼAuⱼ=0이면 Σβⱼuⱼ가 영공간에 속하고 입력 기저의 독립성 때문에 모든 βⱼ=0입니다. 따라서 Auⱼ들은 상의 기저입니다.
이 정리는 입력 차원 n을 두 역할로 나누며 출력 차원 m을 합에 넣지 않습니다. 예제는 2×2이므로 합이 2입니다. 직사각형 행렬에서도 오른쪽은 열 개수 n입니다.
그림과 특수한 경우
그림은 출력 공간의 두 열벡터입니다. 입력 공간의 영공간 벡터와 같은 좌표계의 대상이라고 혼동하지 마세요. 여기서는 두 공간이 R²이지만 역할이 다릅니다. 두 축의 단위 길이는 같고 겹친 화살표는 독립 방향 수를 늘리지 않습니다.
항등행렬은 랭크 2이고 영공간 {0}의 차원은 0입니다. 영행렬은 랭크 0이며 영공간 R²의 차원은 2입니다. 이 두 경우에는 하나의 “영공간 생성 벡터”가 적절하지 않아 해당 항목을 —로 표시하고 차원을 별도로 보여 줍니다.
실습은 작은 정수 원소의 행렬식과 영 여부로 랭크를 정확히 계산합니다. 실제 부동소수점 데이터에서는 수치 랭크가 허용오차와 특이값 척도에 의존할 수 있습니다. 아주 작은 비영 특이값과 정확한 영을 구분하세요.
AI 연결과 확인 문제
선형층의 영공간 방향은 출력에서 구별되지 않습니다. 랭크 제한은 표현 가능한 출력의 차원을 제한하지만 비선형층을 포함한 전체 신경망의 표현력을 이 한 층의 랭크만으로 판정할 수는 없습니다.
- 영공간 차원이 2인 R⁵ 입력 사상의 랭크는? 3입니다.
- 영벡터를 생성 목록에 추가하면 span이 바뀌나요? 아니요.
- (1,2),(2,4)는 다른 벡터이므로 독립인가요? 아니요. 비례합니다.
추가 읽기: MIT Linear Algebra. 예제와 차원 논증은 독립 구성입니다.
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