함수 공간의 쌍대와 점 평가

함수를 숫자로 읽는 연속 측정

선형 범함수는 벡터나 함수를 숫자로 보냅니다. 연속 쌍대 X*는 그중 bounded인 것들의 공간이며 노름은 단위 입력에서 출력 절댓값의 supremum입니다. 모든 대수적 선형 사상을 무조건 연속 쌍대에 넣지는 않습니다.

Hilbert 공간의 Riesz 대표

실수 Hilbert 공간에서 모든 연속 선형 범함수는 유일한 g에 대해 ℓ(f)=⟨f,g⟩로 표현됩니다. L2[0,1]에서는 ℓg(f)=∫gf입니다. Cauchy–Schwarz가 |ℓg(f)|≤‖g‖₂‖f‖₂를 주고, g≠0이면 f=g/‖g‖₂를 선택해 상한을 달성하므로 쌍대 노름은 ‖g‖₂입니다.

g=1+a t, f=1+b t이면 내적은 1+(a+b)/2+ab/3입니다. a=b=1에서는 값과 Cauchy–Schwarz 상한이 모두 7/3이며 쌍대 노름은 √(7/3)입니다. 값과 범함수의 노름은 서로 다른 양입니다.

점 평가가 실패하는 두 이유

일반 L2는 영집합 차이를 무시한 동치류이므로 f(0)는 잘 정의되지 않습니다. 연속 대표로 제한해 이 문제를 피하더라도, L2 노름에 대한 점 평가의 bounded 성질은 여전히 실패합니다.

실습의 주황 삼각형은 폭이 좁아져도 높이가 1입니다. m=4에서 L2 노름은 약 .289, m=16에서는 약 .144입니다. 점 값/노름 비는 √(3m)로 끝없이 커져 하나의 상수 C로 |f(0)|≤C‖f‖₂를 보장할 수 없습니다.

RKHS와 센서 모델로 연결하기

어떤 함수 공간에서 점 평가를 연속으로 만들려면 다른 노름이나 추가 정칙성이 필요합니다. RKHS는 점 평가가 bounded인 Hilbert 공간이며 대표 kₓ를 사용해 f(x)=⟨f,kₓ⟩로 씁니다. 일반 L2가 자동으로 RKHS인 것은 아닙니다. Sobolev 공간의 점 평가 역시 차원과 미분 차수에 따른 embedding 조건을 확인해야 합니다.

AI의 관측을 점 샘플로 표현할 때 입력 공간의 노름과 관측 안정성을 함께 정해야 합니다. 반대로 유한 폭 센서의 가중 적분은 그 가중치가 L2라면 현재 Riesz 예제처럼 연속 관측이 됩니다.

확인 문제와 해설

1. g=1인 범함수의 노름은? 1입니다. 길이 1인 구간에서 ‖1‖₂=1입니다.
2. g=f=1+t의 내적이 노름과 같은가요? 내적은 노름의 제곱입니다. 7/3과 √(7/3)을 구분하세요.
3. m=16의 결과만으로 비유계성을 증명했나요? 아니요. 유한 그림은 직관이고 m→∞의 정확한 비율이 증명입니다.

추가 읽기: MIT 18.102, Functional Analysis.