SO3·SE3와 강체 변환 합성

강체 Pose는 방향과 위치를 묶습니다

SO3는 RᵀR=I, detR=1인 3차원 proper 회전 군입니다. 직교성은 길이와 각도를 보존하고 행렬식 1은 반사를 제외합니다. 아홉 행렬 성분 안의 굽은 3차원 다양체이므로 성분을 모두 독립적인 무제약 변수로 학습하면 회전 조건을 잃을 수 있습니다.

SE3는 병진을 추가합니다. 점 p에 Rp+t로 작용하며 homogeneous 행렬로 표현합니다.

방향 벡터는 마지막 성분이 0이므로 병진 영향을 받지 않습니다. 그림의 기준·변환 벡터는 각 frame 원점에서 시작하며 주황 원점도 병진과 함께 옮깁니다.

이동을 무조건 더하지 말고 합성 유도하기

T₂ 다음 T₁을 적용하면 다음과 같습니다.

따라서 곱은 (R₁R₂,R₁t₂+t₁)이고 오른쪽 변환부터 작용합니다. 두 번째 병진을 첫 회전으로 표현해야 하므로 t₁+t₂만 더하면 frame을 잘못 섞을 수 있습니다. 역은 p'=Rp+t를 풀어 (Rᵀ,−Rᵀt)입니다.

실험은 A=(Rz(α),t), B=(Rx(β),0)을 사용해 순서 효과를 쉽게 보입니다. 다음 단원에서는 임의 회전벡터 생성자도 씁니다. 여기서도 행렬 곱과 점 작용은 실제 3차원입니다.

Quarter-turn 손계산

α=β=π/2, t=(1,0,0), p=(1,0,0)으로 둡니다. AB에서는 Rx가 p를 유지하고 Rz가 (0,1,0)으로 보낸 뒤 병진해 (1,1,0)입니다. BA에서는 A가 (1,1,0)을 만든 뒤 Rx가 (1,0,1)로 보냅니다. 차이는 √2이며 수치 정밀도 문제가 아닙니다.

아래 그림은 선택한 변환점의 xy·xz 투영이며 두 세로 좌표 의미가 다릅니다. 전체 xyz·행렬 행·determinant·직교 오차는 표에서 읽으세요. 위 비등각 그림의 각도와 길이는 실제 값이 아닙니다.

직접 풀기와 풀이

두 각을 0, t=(1,2,−1)로 두면 기준점은 (2,2,−1)입니다. B가 항등이라 순서도 같습니다. 비영 각으로 돌아가 y 병진을 바꾸면 역순에서 병진도 회전하는지 확인하세요. 마지막으로 계산한 역을 적용해 기준점으로 돌아오는지 검산하세요.

Embodied AI와의 연결

로봇 pose·카메라 extrinsic·공간 신경 특징에는 active/passive와 frame 관례가 필요합니다. 올바른 회전 행렬만으로 world→camera인지 반대인지는 알 수 없습니다. 예측을 합성하거나 pose 오차를 비교하기 전에 출발·도착 frame, 곱 순서, 점인지 방향인지부터 표시하세요.

추가 읽기: Lynch and Park, Modern Robotics, Chapter 3.