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분포를 작은 함수의 곱으로 표현하기
세 이진 변수 A,B,C의 완전한 표에는 8개 할당이 있습니다. 그래프 모형은 이 큰 표를 작은 국소 함수로 표현합니다. 방향 그래프 A→B→C의 Bayes network는 p(a)p(b|a)p(c|b)로 분해합니다. 각 조건부 표의 행은 합이 1이고, 뒤 변수부터 합하면 전체 곱의 합도 1입니다.
실제 숫자를 곱해 보기
P(A=1)=.3이고 각 간선에서 부모와 같은 값일 확률 r=.8이라고 합시다. 111의 확률은 .3×.8×.8=.192입니다. 000은 .7×.8×.8=.448입니다. C=1인 네 행을 합하면 .428입니다. 두 번의 반전이 서로 상쇄되는 경우까지 포함한 결과입니다.
같은 분포를 무방향 인자로 쓰기
무방향 표현은 unary φA(a)와 pair ψAB(a,b),ψBC(b,c)의 곱을 전체 합 Z로 나눕니다. 이 예제는 φA=p(a), 간선 인자를 s배한 일치/불일치 값으로 둡니다. 두 간선에 배율 s를 넣었으므로 원시 가중치와 Z는 s²배지만 확률은 같습니다.
s=2이면 Z=4, s=4이면 Z=16입니다. 원시 인자값을 확률이라고 읽으면 1보다 큰 숫자 때문에 혼란이 생깁니다. 그래프 방향을 바꾸는 일반 문제가 언제나 이렇게 단순하다는 뜻도 아닙니다. 여기서는 같은 chain 분포를 표현하도록 인자를 직접 설계했습니다.
독립·양의성·인과를 구분하기
이 chain에서는 A와 C가 B를 주었을 때 조건부 독립입니다. 양의 분포의 무방향 Markov 성질과 clique 인수분해 사이의 동치 정리를 쓰려면 그 양의성 가정을 확인해야 합니다. 화면은 끝점에서 영 인자를 허용하므로 일반 양의성 정리를 무조건 적용하지 않습니다.
DAG의 화살표 자체가 인과 효과나 개입 분포를 증명하지 않습니다. 여기에 표시한 것은 관측 분포의 인수분해입니다. 인과 해석은 자료 수집·방향·교란과 별도의 가정이 필요합니다.
실습과 확인 문제
표현 방식을 바꿔 결합 질량 막대가 같고 Z만 바뀌는지 확인하세요. r=.5에서는 B,C가 앞 변수에 대한 정보를 잃습니다. r=1에서는 A=B=C여서 000과 111만 가능합니다.
- MRF 인자가 합이 1이어야 하나요? 아니요. 전체 곱을 Z로 정규화합니다.
- 배율 4에서 111의 확률도 16배인가요? 아니요. 분모에서도 상쇄됩니다.
- 그림의 간선 길이는 의존 강도인가요? 아니요. 구조를 배치한 길이일 뿐입니다.
설명할 수 있나요?
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