빛의 원뿔과 인과 순서

1. 신호가 도착할 수 있는지 묻기

평탄한 시공간에서 사건 $A$가 보낸 신호가 빛 이하의 속력으로 사건 $B$에 닿을 수 있는 조건은 다음과 같습니다.

등호는 빛의 원뿔 경계입니다. 시간차가 더 크면 빛보다 느린 직선 경로가 가능합니다. 이 조건은 속력 제한 아래 영향이 전달될 수 있는지를 나타냅니다. 실제 전달에는 송신기, 수신기와 물리적 채널도 필요합니다. Tong, The Einstein Equations §4.2

2. 좌표 시간의 순서와 인과 순서 구분하기

한 공간 차원에서 부스트는 $\Delta ct'=\gamma(\Delta ct-\beta\Delta x)$를 줍니다. 미래 인과 변위에서는 $\Delta ct>0$과 $|\Delta x|\leq\Delta ct$이므로 모든 $|\beta|<1$에서 시간차가 양수입니다. 공간꼴 변위에서는 $\beta=\Delta ct/\Delta x$인 계에서 두 사건이 동시에 일어납니다. 이 속도 양쪽의 계는 사건 순서를 서로 다르게 기록할 수 있습니다. 허용된 신호가 이 간격을 건널 수는 없습니다.

3. 인과 경로의 구간을 이어 붙이기

$1+1$차원에서 미래 인과 변위는 $u=ct+x$와 $w=ct-x$가 모두 감소하지 않는 변위입니다. 시간 방향을 보존하는 부스트는 두 차이에 서로 역수인 양수를 곱합니다. 미래 변위 두 개를 더하면 두 성분 차이도 각각 더해집니다. 따라서 도달 가능성은 추이적이며 미래 방향 구간을 실제로 따라간 뒤 출발 사건으로 되돌아올 수 없습니다.

4. 미래 원뿔과 과거 원뿔 교차시키기

$c=1$인 $(ct,x)$ 좌표에서 송신 사건 $A=(0,0)$과 도착 기한 $B=(6,b)$를 고정합니다. 좌표 시각 $t$의 중계기는 $A$에서 도달할 수 있고 $B$에도 신호를 보낼 수 있어야 합니다. 중계 위치의 범위는 다음과 같습니다.

첫 구간은 $A$의 미래 원뿔에서, 둘째 구간은 $B$의 과거 원뿔에서 나옵니다. 교집합의 끝점이 서로 다르면 그 사이의 모든 위치에서 기한을 지킬 수 있습니다. 끝점이 같으면 위치 하나만 가능하고, 교집합이 비면 두 제약을 함께 만족할 수 없습니다.

5. 세 가지 도착 위치 비교하기

중계 시각 $t=3$에서 $b=2$이면 $[-1,3]$, $b=6$이면 $\{3\}$, $b=7$이면 빈집합입니다. 첫 경우는 중계 위치를 고를 수 있습니다. 둘째 경우는 빛의 속력으로 6시간 단위를 모두 사용합니다. 셋째 경우는 도착 사건이 송신기의 미래 원뿔 밖에 놓입니다. 중계 시각을 앞뒤로 옮겨 허용 범위가 어떻게 달라지는지 살펴보세요.

def relay_positions(t, b):
    lo = max(-t, b-(6-t))
    hi = min(t, b+(6-t))
    return (lo,hi) if lo <= hi else None

assert relay_positions(3,2) == (-1,3)
assert relay_positions(3,6) == (3,3)
assert relay_positions(3,7) is None
for t in range(7):
    assert relay_positions(t,6) == (t,t)
    assert relay_positions(t,7) is None
print([relay_positions(3,b) for b in (2,6,7)])

6. 사건 자료에도 같은 검사 적용하기

• 좌표 시각으로 원인 후보를 정렬하기 전에 두 원뿔을 그려 보세요.
• 간격과 함께 $\Delta ct$의 부호를 쓰세요. 제곱 간격만으로 미래 방향을 판별할 수 없습니다.
• 중계 경로에서는 두 구간을 모두 검사하세요. 한 원뿔 안에 들어가는 것만으로는 부족합니다.
• 시뮬레이션에서도 인과 제약을 만족할 가능성과 실제 통신 기록을 구분하세요.