감쇠 진동자의 일·일률·소산 열

진동이 줄어들어도 에너지 수지는 남는다

용수철에 연결한 수레를 놓으면 점성 저항 때문에 진폭이 점점 줄어듭니다. 역학적 에너지가 감소하는 것은 계산의 실패가 아닙니다. 이 모형은 그 에너지를 소산된 열이라는 양으로 옮깁니다. 외부 구동이 함께 작용하면 그 일이 양인지 음인지까지 포함해야 합니다.

이 단원은 에너지 수준만 그리지 않고 실제 시간 초기값 문제를 풉니다. 질량과 용수철 상수는 양수, 감쇠 계수는 음수가 아니며 구동은 일정합니다. 저장 역학적 에너지, 구동 일, 적분한 열을 구분합니다. 온도·열용량·열저장고·주기 구동은 이 모형에 들어 있지 않습니다.

저장과 전달을 담당하는 힘을 구분한다

x는 용수철의 자연 길이 위치에서 잰 변위이고 v는 속도입니다.

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F,\qquad x(0)=x_0,\quad \dot x(0)=v_0.$$

용수철 퍼텐셜은 V=kx²/2, 운동에너지는 K=mv²/2입니다. 일정 구동은 저장 에너지 바깥에 두어 외부 일이 명시적으로 나타나게 합니다. 다른 규약에서는 −Fx를 퍼텐셜에 넣을 수도 있지만 그때는 같은 구동 일을 다시 더하지 않아야 합니다.

점성 힘은 −cv이며 계수의 단위는 kg/s로 용수철 상수 N/m와 다릅니다. 점성 힘의 일률은 −cv²이므로 속도의 방향과 관계없이 0 이하입니다. 수레가 왼쪽으로 움직여도 저항은 속도의 반대 방향입니다.

평형 위치로 좌표를 옮겨 운동을 푼다

정적 평형은 xe=F/k입니다. y=x−xe, y0=x0−xe, α=c/(2m)로 두면 다음을 얻습니다.

$$\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2y=0,\qquad \omega_0^2=k/m.$$

c²−4mk의 부호가 감쇠 영역을 결정합니다. 일정 구동은 평형 위치를 옮기지만 구동 주파수를 만들지 않습니다. 따라서 이 실습을 주기 공명 실험이라고 부르면 안 됩니다. 물리적 초기 위치를 고정하고 구동을 바꾸면 y0도 바뀌므로 좌표와 초기 조건을 함께 변환해야 합니다.

부족 감쇠에서는 진동이 남는다

c²<4mk일 때 ω=√(ω0²−α²)로 두면 다음 초기값 해를 얻습니다.

$$y(t)=e^{-\alpha t}\left[y_0\cos(\omega t)+\frac{v_0+\alpha y_0}{\omega}\sin(\omega t)\right],$$ $$v(t)=e^{-\alpha t}\left[v_0\cos(\omega t)-\frac{\alpha v_0+\omega_0^2y_0}{\omega}\sin(\omega t)\right].$$

c>0이면 포락선이 줄어듭니다. c=0이면 같은 식이 무감쇠 조화 운동으로 환원되고 열은 정확히 0입니다. 실습은 이 극한을 별도로 표시합니다. 감쇠가 없어도 일정 구동이 일을 할 수 있으므로 현재 규약의 역학적 에너지는 바뀔 수 있습니다.

임계 감쇠에는 중근 해가 필요하다

c²=4mk이면 두 특성근이 같습니다. 서로 다른 두 근의 차이로 나누는 식을 분모가 0인 채 사용할 수 없습니다.

$$y(t)=e^{-\alpha t}[y_0+(v_0+\alpha y_0)t],$$ $$v(t)=e^{-\alpha t}[v_0-\alpha(v_0+\alpha y_0)t].$$

지수함수에 곱해지는 t 항이 반드시 필요합니다. 위치와 속도의 두 초기 조건을 모두 유지하세요. 임계라는 말은 근의 구조를 뜻하며 모든 초기 조건과 모든 응답 지표에서 가장 빠르다는 일반적인 보장은 아닙니다.

과감쇠에는 서로 다른 두 감쇠율이 있다

c²>4mk에서 느린 근과 빠른 근을 정의합니다. 수치 계산에서는 비슷한 양수끼리 빼는 상쇄를 피하도록 느린 근을 다음과 같이 계산합니다.

$$r_{\mathrm{fast}}=-\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2},\qquad r_{\mathrm{slow}}=-\frac{\omega_0^2}{\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}.$$

이때 y=Cs exp(rslow t)+Cf exp(rfast t)입니다. 계수는 Cs+Cf=y0, rslow Cs+rfast Cf=v0를 풀어 구하고 속도는 미분합니다. 양의 질량·강성·감쇠에서는 두 근이 음수입니다. 초기 조건에 따라 지수 항의 합이 특정 위치를 지나거나 방향을 바꿀 수 있으므로 과감쇠라는 이름만으로 모든 궤적 모양을 단정하지 않습니다.

순간 일률 수지를 유도한다

원래 운동 방정식에 속도를 곱합니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\frac12mv^2+\frac12kx^2\right)=Fv-cv^2.$$

역학적 에너지 E=K+V, 구동 일률 Pdrive=Fv, 감쇠 일률 Pdamp=−cv²입니다. 두 일률의 합은 저장 역학적 에너지의 변화율입니다. 구동 일률은 양수도 음수도 될 수 있습니다. 감쇠 일률은 양수가 될 수 없고 대응하는 열 발생률은 +cv²입니다.

힘만으로 일률을 정할 수 없으며 현재 속도도 필요합니다. 순간 정지에서는 힘과 가속도가 0이 아니어도 일률은 0입니다. 이후에는 가속도로 속도가 변하여 일이 다시 쌓일 수 있습니다.

구동 일과 열을 별도로 적분한다

일정 구동의 일은 F[x(t)−x0]입니다. 열은 다음 독립 적분으로 계산합니다.

$$Q(t)=\int_0^t c\,v(s)^2ds\ge0, \qquad E(t)-E(0)+Q(t)=W_{\mathrm{drive}}(t).$$

구현은 잔차를 0으로 만드는 나머지 양을 열이라고 정의하지 않습니다. 해석적으로 구한 속도의 제곱을 직접 적분합니다. 진동 영역에서는 지수와 삼각함수의 적분, 중근에서는 지수에 이차 다항식을 곱한 적분, 실근 영역에서는 세 지수 항의 적분을 사용합니다.

짧은 시간의 지수 적률은 거의 같은 수의 뺄셈을 피하도록 수렴 급수를 사용합니다. 초월함수는 부동소수점으로 평가하므로 잔차는 수치 진단이고 정확한 유리수 증명은 아닙니다. 운동 방정식과 열 발생률을 별도로 수치 적분한 기준값으로 운동과 열을 함께 검사합니다.

위치·에너지·일률 그림 읽기

가로 축은 모두 시간 s입니다. 첫 그림은 해석적 시간 운동의 위치 m입니다. 에너지 그림은 E, Q, E0+Wdrive를 J로 비교하며 E+Q가 마지막 양과 같아야 합니다. 일률 그림은 구동, 음의 감쇠, 합계 일률을 W로 표시합니다.

고정된 10초 범위는 같은 초기값 해를 보여 줍니다. 조회 시각은 현재 수치를 바꾸고 시간 범위는 유지합니다. 무감쇠, 임계 감쇠, 강한 과감쇠, 이미 평형에 놓인 상태, 초기 속도의 반대 방향 구동을 비교하세요. 이 가정에서는 구동 일이 음수가 될 수 있지만 소산 열은 음수가 될 수 없습니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 무감쇠 극한. m=k=1,c=0,F=0,x0=1,v0=0이면? 풀이: x=cos t, v=−sin t이며 모든 시간에 E=1/2J, Q=Wdrive=0입니다. 위치가 바뀌어도 역학적 에너지는 보존됩니다.
2. 연습: 근 분류. m=k=1에서 c=1,2,3을 비교하세요. 풀이: 판별식은 −3,0,5로 부족·임계·과감쇠입니다. 임계에서는 중근 해를 사용합니다.
3. 연습: 임계 일정 구동. m=k=1,c=2,F=1,x0=v0=0에서 1초 상태는? 풀이: x=1−2/e, v=1/e입니다. 구동 일은 약 0.264241J이고 저장 에너지는 약 0.102579J입니다.
4. 연습: 열 직접 적분. 앞 예제의 열을 구하세요. 풀이: v=t exp(−t)이므로 Q(1)=2∫0¹t²exp(−2t)dt=(1−5exp(−2))/2≈0.161662J입니다. 저장 에너지에 더하면 구동 일과 같습니다.
5. 연습: 이미 평형인 상태. F=k=1,x0=1,v0=0이고 감쇠는 임의이면? 풀이: y0=v0=0이어서 x=1로 유지됩니다. 용수철 에너지 1/2J는 존재하지만 구동 일·열·일률은 0입니다. 비영 구동이 항상 에너지를 계속 넣는 것은 아닙니다.
6. 연습: 제동하는 입력. m=k=c=1,F=−1,x0=0,v0=2에서 0.1초를 보세요. 풀이: 아직 속도가 양수여서 구동 일률과 누적 일은 음수입니다. cv²는 양수라 열은 증가합니다. 역학적 에너지는 구동이 제거한 에너지와 생성된 열의 합만큼 줄어듭니다.

에너지 검사로 인증할 수 있는 범위

학습 모형이 관측되지 않은 소산 항을 잔차로 정의하면 궤적 오류를 숨길 수 있습니다. 선언한 음이 아닌 열 발생률을 독립 적분하는 편이 더 강한 검사입니다. 그래도 수지가 맞는다는 사실만으로 마찰이나 구동 법칙을 식별할 수는 없습니다. 가정을 기록한 뒤 관측 궤적, 힘, 에너지 예산을 함께 비교하세요. 실제 열 모형에는 누적 Q 외에도 상태 변수와 구성 관계가 필요합니다.

배경과 범위

특성근에 따른 해의 배경은 MIT OCW의 감쇠 조화 진동자를 참고하세요. 일정 구동의 평형 이동, 부호 있는 일, 별도 열 적분은 선언한 모형에서 유도했습니다. 주기 공명과 통계적 열저장고는 별도 주제로 다룹니다.