확률분포와 표본

가능한 결과의 모형

분류기가 확률을 출력해도 다음 라벨은 하나의 결과입니다. 확률은 가능한 결과들 사이의 불확실성을, 표본은 실제로 일어난 결과를 나타냅니다. 이 둘을 구분해야 신뢰도·평가·가능도를 올바르게 해석할 수 있습니다.

독립인 이진 시행부터 시작합니다. ‘성공’은 세려는 사건의 이름이며 좋은 결과라는 뜻은 아닙니다. 각 시행의 성공 확률이 $p$이면 지표는 Bernoulli 변수입니다. 같은 $p$를 가진 독립 시행의 합일 때 성공 횟수가 이항분포를 따릅니다.

결과·사건과 정규화

확률은 음수가 아니고 전체 합은 1입니다. 서로 겹치지 않는 대안은 확률을 더합니다. 독립성은 결합 확률이 곱으로 분해된다는 가정입니다. 주변 성공 확률이 같다고 자동으로 독립인 것은 아닙니다.

경우의 수를 먼저 세기

$n=4$에서 순서 1100 하나의 확률은 $p^2(1-p)^2$입니다. 성공 두 개를 네 자리에 놓는 방법은 여섯 가지이므로

입니다. 조합 계수를 빼면 특정 순서 하나의 확률과 같은 횟수를 만드는 사건의 확률을 혼동합니다.

$p=1/2$이면 $k=0,1,2,3,4$의 확률은 $(1,4,6,4,1)/16$입니다. 합은 1이고 가장 가능성 높은 횟수는 2입니다. 그래도 0이나 4가 나올 수 있습니다. 확률 0.375가 유한 표본마다 정확히 그 빈도를 보장하지는 않습니다.

지표로 평균과 분산 구하기

$E[X_i]=p$이므로 선형성에 의해 $E[K]=np$입니다. 독립성은 서로 다른 시행의 공분산을 0으로 만들어

를 줍니다. 공정한 네 번 시행은 평균 2, 분산 1입니다. $p=0.2$에서는 평균 0.8, 분산 0.64입니다. 관측 횟수는 정수여도 평균은 정수가 아닐 수 있습니다.

$p=0$ 또는 1이면 결과가 확정되고 분산은 0입니다. 실험은 경계를 그대로 계산하며 숨긴 작은 확률로 대체하지 않습니다. 시행이 종속되거나 조건이 바뀌거나 여러 집단이 섞이면 이항 모형이 적절하지 않을 수 있습니다.

조건부 확률은 다른 질문이다

$P(B)>0$이면 $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$입니다. 기준 집단이 달라집니다. 보통 $P(B|A)$와 다르며 조건화 자체가 인과관계를 뜻하지 않습니다.

공정한 두 번 시행에서 $B$를 ‘적어도 한 번 성공’이라고 합시다. 가능한 순서는 01, 10, 11이며 동일 확률입니다. 따라서 $P(K=2|B)=1/3$이지만 무조건 확률은 $1/4$입니다. 데이터의 확률을 읽기 전에 어떤 조건으로 대상을 선택했는지 확인하세요.

확률질량과 밀도 구분하기

막대는 정확한 모형 확률이며 무작위 표본의 빈도가 아닙니다. 연속 모형의 확률은 구간에서 밀도를 적분한 값입니다. 밀도 높이는 1보다 클 수 있고 일반적인 연속분포의 한 점 확률은 0입니다. 히스토그램 높이를 그대로 점 확률이라고 부르면 다른 대상을 섞게 됩니다.

확률 합 표시는 정규화 검산입니다. $n,p$를 바꾸고 양 끝 확률부터 손으로 계산하세요. 축은 자동 조절되므로 서로 다른 설정의 화면 면적보다 수치 높이를 비교하세요.

AI 연결과 한계

이진 라벨은 Bernoulli 가능도, 독립 성공 횟수는 이항 모형으로 연결됩니다. 실제 평가 표본은 같은 사용자·장소·시간을 공유할 수 있어 독립성을 확인해야 합니다. 물체 하나를 네 번 측정했다고 독립 물체 네 개가 되지는 않습니다.

연구 연습으로 관측 횟수의 경험적 분산을 $np(1-p)$와 비교해보세요. 변동이 크면 의존성이나 성공 확률 변화가 원인일 수 있지만, 이 관찰 하나로 원인을 식별할 수는 없습니다. 표집 단위를 명시해야 합니다.

연습과 근거

1. $n=3,p=1/2$의 횟수 확률을 적으세요. 답: $(1,3,3,1)/8$입니다.
2. $n=4,p=0.2$에서 $P(K=0)$은? 답: $0.8^4=0.4096$입니다.
3. 성공 확률이 같아도 독립은 아닐 수 있는 예를 드세요.
4. 이항 모형이 부적절한 데이터 수집 방식을 설명하세요.

기초 배경은 MIT Introduction to Probability를 참고하세요. 실험의 분포는 직접 계산한 유한 모형이며 실제 데이터나 경험 연구 결과가 아닙니다.