제안 비대칭과 Hastings 보정

제안이 곧 목표를 보존하는 전이는 아니다

세 상태를 도는 샘플러가 반시계 방향보다 시계 방향 이동을 더 자주 제안한다고 합시다. 목표 가중치가 큰 목적지는 매력적으로 보이지만, 그곳에서 역방향 이동을 얼마나 자주 제안하는지는 목적지의 매력만으로 설명되지 않습니다. 두 번째 비대칭을 무시하면 샘플러가 실제로 보존하는 분포가 바뀔 수 있습니다.

앞 단원에서는 정상분포와 상세평형, 수렴을 구별했습니다. 이번에는 지정한 비균일 목표를 보존하는 전이를 구성합니다. 제안 확률, 그 제안을 받았다는 조건 아래의 수락률, 거부까지 포함한 최종 전이 확률을 따로 살펴보겠습니다. 수락률이 높아 보인다는 사실만으로 이 세 대상을 올바르게 조합했다고 판단할 수는 없습니다.

일반적인 제안 비율 구성은 Hastings (1970)의 2.2절, 특히 검사 비율과 통신 가능성을 별도로 확인하는 조건에서 볼 수 있습니다. Levin–Peres 교재의 3.2.2절도 참고할 수 있습니다. 아래에서는 선택한 규칙을 대칭적인 쌍별 흐름으로 직접 유도하고, 이 단원을 위해 정한 유한 예를 계산합니다. 유한 확률, 행벡터 전이와 앞 단원의 흐름 장부를 알고 있으면 됩니다.

목표 분포와 제안 분포를 독립적으로 정하자

상태에는 0, 1, 2라는 이름을 붙입니다. 양의 정수 목표 가중치 w0,w1,w2를 줍니다. 이와 별도로 시계 방향, 반시계 방향, 자기 자신 제안에 음이 아닌 가중치 f,b,s를 정합니다. 모든 가중치는 1,000,000 이하이고 목표 가중치는 1 이상이며, 제안 가중치의 합은 양수여야 합니다.

$$W=w_0+w_1+w_2,\qquad \pi_i=\frac{w_i}{W},\qquad D=f+b+s,\qquad Q=\frac1D\begin{pmatrix}s&f&b\\b&s&f\\f&b&s\end{pmatrix}.$$

Qij는 현재 i에 있을 때 j를 제안할 확률입니다. 아직 다음에 기록되는 상태가 j일 확률은 아닙니다. 목표는 각 상태에 확률을 배분하고, Q는 출발 상태를 조건으로 가능한 목적지에 제안 확률을 배분합니다. 하나를 정규화했다고 해서 다른 하나가 정규화되거나 보정되는 것은 아닙니다.

대상	답하는 질문	여기서의 조건
πi	상태 i에 목표 확률이 얼마나 주어지는가?	양수이며 합이 1
Qij	i에서 j를 얼마나 자주 제안하는가?	음이 아니며 출발 행의 합이 1
αij	그 제안이 주어졌을 때 얼마나 자주 수락하는가?	0 이상 1 이하이며 없는 제안에는 조건부 값을 부여하지 않음
Pij	수락·거부를 거친 다음 상태는 어디인가?	음이 아니며 각 행의 합이 1

목표의 지지집합이 전체 상태라는 조건이 중요합니다. 목표 확률이 0인 상태는 없습니다. 연속 밀도, 목표가 0인 영역, 적응형 신경망 제안을 어떻게 다룰지까지 암묵적으로 정한 것이 아닙니다. 이 실습은 고정된 유한 커널을 분석하며 표본 경로를 생성하는 실험은 아닙니다.

대칭적인 왕복 흐름 예산에서 시작하자

상세평형은 목표 확률을 곱한 최종 통행량이 양방향에서 같아야 한다는 조건입니다. 서로 다른 두 상태에 대해서는 가능한 두 방향의 목표 가중 제안 흐름 중 작은 것을 수락하는 구성을 사용할 수 있습니다.

$$\pi_iP_{ij}=\min\!\left(\pi_iQ_{ij},\pi_jQ_{ji}\right),\qquad i\ne j.$$

이 값은 어느 방향에서 제안한 통행량도 넘지 않습니다. 따라서 유효한 수락 확률을 만들 여지가 있습니다. i와 j를 바꾸어도 최솟값이 같으므로 수락 후 비대각 흐름은 구성상 대칭입니다. 먼저 왕복할 수 있는 공통 통행량을 정한 뒤 각 방향의 제안에서 그만큼만 남기는 것입니다.

이는 대칭적인 흐름 예산을 정하는 한 가지 방법입니다. 목표를 보존하는 모든 전이가 이 규칙을 사용해야 한다는 주장은 아닙니다. 앞 단원에서 보았듯이 비가역 커널도 목표를 보존할 수 있습니다. 여기서는 목표 불변성을 직접 확인할 수 있는 증명을 준다는 점에서 대칭 구성이 유용합니다.

조건부 수락률을 유도하고 없는 제안은 구별하자

실제로 제안할 수 있는 사건에 대해서만, 수락 후 흐름을 제안 흐름으로 나눕니다.

$$\alpha_{ij}=\min\!\left(1,\frac{\pi_jQ_{ji}}{\pi_iQ_{ij}}\right)\qquad\text{when }Q_{ij}>0.$$

입력 계약상 목표 확률인 분모는 양수입니다. 제안 확률인 분모는 이 분기에서만 양수입니다. 이렇게 얻은 수락 후 흐름은 다음과 같습니다.

$$\pi_iQ_{ij}\alpha_{ij}=\min\!\left(\pi_iQ_{ij},\pi_jQ_{ji}\right)\qquad(i\ne j).$$

Qij가 0이면 그 제안은 일어나지 않습니다. 따라서 조건부 수락률을 제공하지 않으며, 무조건부 기여는 정확히 0입니다. Qij는 양수인데 Qji가 0이면 제안은 일어나지만 항상 거부합니다. 두 경우 모두 최종 비대각 전이에 0을 기여하지만 의미는 다릅니다. 조건부 확률이 정의되지 않는 것과 정의된 확률이 0인 것을 같은 숫자로 덮어서는 안 됩니다.

제안 상황	조건부 수락률	최종 비대각 기여
Qij=0	없는 사건이므로 미제공	0
Qij>0,Qji=0	정확히 0	0
Qii>0	자기 자신 제안은 관례상 수락	i에 머무름

자기 자신을 제안할 수 있으면 비율은 1입니다. 이를 수락해도 상태는 이동하지 않습니다. 작은 가짜 역제안 확률을 더하면 제안 모형을 바꾸게 됩니다. 없는 조건부 사건을 정의하는 수치적 보정으로 이해해서는 안 됩니다.

거부한 질량은 출발 상태의 대각으로 돌려놓자

서로 다른 상태에서는 Pij=Qijαij입니다. 제안을 거부하면 현재 상태에 남습니다. 따라서 출발 대각에는 자기 자신 제안과 모든 거부를 함께 포함해야 합니다.

$$P_{ij}=\begin{cases}Q_{ij}\alpha_{ij},&i\ne j,\\1-\sum_{k\ne i}Q_{ik}\alpha_{ik},&i=j.\end{cases}$$

제안·결정의 기본 사건을 수락과 거부로 나누어 장부를 만들면 도움이 됩니다.

$$A_{ij}=Q_{ij}\alpha_{ij},\qquad B_{ij}=Q_{ij}-A_{ij},\qquad h_i=\sum_jB_{ij},\qquad P_{ii}=Q_{ii}+h_i.$$

없는 제안에서는 α가 미제공이어도 A와 B는 모두 0입니다. 있는 자기 자신 제안에서는 Bii=0입니다. 이 장부를 합하면 최종 각 행의 합은 1입니다. 원래 제안에 자기 고리가 없어도 최종 대각 확률은 커질 수 있습니다. 머무름은 제안의 대각에서만 생기는 것이 아닙니다.

거부 질량을 삭제하고 남은 비대각 행을 정규화한 뒤 같은 체인이라고 생각하지 마세요. 그러면 관측의 시계를 바꿉니다. 뒤에서 상태가 바뀐 순간만 기록하는 별도의 체인을 계산하겠습니다.

비균일 세 상태 예를 끝까지 계산하자

목표 가중치 (1,2,4)와 제안 가중치 (2,1,1)을 사용합니다. 목표와 제안 행렬은 다음과 같습니다.

$$\pi=\left(\frac17,\frac27,\frac47\right),\qquad Q=\begin{pmatrix}1/4&1/2&1/4\\1/4&1/4&1/2\\1/2&1/4&1/4\end{pmatrix}.$$

0에서 1로 가는 양방향 목표 가중 제안 흐름은 (1/7)(1/2)=(2/7)(1/4)로 같습니다. 따라서 이 제안은 확률 1로 수락합니다. 2에서 0으로 가는 경우에는 다른 보정이 필요합니다.

$$\alpha_{20}=\min\!\left(1,\frac{(1/7)(1/4)}{(4/7)(1/2)}\right)=\frac18,\qquad P_{20}=\frac12\frac18=\frac1{16}.$$

목표 비율만 사용하면 1/4을 얻어서 역방향/정방향 제안 비율 1/2을 빠뜨립니다. 반면 2에서 1로 가는 올바른 수락률은 1이고, 목표 비율만 사용한 값은 1/2입니다. 방향에 따라 서로 반대의 수정이 필요할 수 있습니다. 모든 방향의 수락률을 일괄적으로 낮추는 규칙이 아닙니다.

보정 후 최종 전이 행렬은 다음과 같습니다.

$$P=\begin{pmatrix}1/4&1/2&1/4\\1/4&1/4&1/2\\1/16&1/4&11/16\end{pmatrix}.$$

상태 2의 큰 최종 대각은 임의의 조정이 아닙니다. 2→0 제안의 거부 기여가 (1/2)(7/8)=7/16입니다. 여기에 자기 자신 제안 확률 1/4을 더하면 11/16입니다.

출발 상태	자기 자신 제안	총 거부	최종 머무름	실제 이동
0	1/4	0	1/4	3/4
1	1/4	0	1/4	3/4
2	1/4	7/16	11/16	5/16

예를 들어 0↔2의 목표 가중 통행량은 양방향 모두 1/28입니다. 모든 쌍에서 같은 확인을 할 수 있습니다. 이 쌍별 등식들을 합하면 πP=π가 됩니다.

목표 비율만 쓰는 비교 규칙의 오류를 계산하자

제안 비율을 빠뜨린 비교 규칙을 명시적으로 정의해봅시다. 이는 일반적으로 올바른 보정 규칙이 아닙니다.

$$\widetilde\alpha_{ij}=\min(1,\pi_j/\pi_i),\qquad \widetilde P=\begin{pmatrix}1/4&1/2&1/4\\1/8&3/8&1/2\\1/8&1/8&3/4\end{pmatrix}.$$

각 행은 유효한 확률분포입니다. 그러나 행이 유효하다는 사실만으로 의도한 목표를 증명할 수는 없습니다. 정확한 곱셈과 별도의 정상 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

$$\pi\widetilde P-\pi=\left(0,-\frac1{28},\frac1{28}\right),\qquad \rho=\left(\frac17,\frac5{21},\frac{13}{21}\right),\qquad \rho\widetilde P=\rho.$$

목표에서 한 단계 전이하면 상태 1의 확률을 잃고 상태 2의 확률을 얻습니다. 비교 규칙의 실제 정상분포 ρ는 π와 총변동 1/21만큼 다릅니다. 샘플러가 안정적이고 정규화된 분포에 도달했어도 잘못된 목표를 표본추출할 수 있습니다. 이 차이를 초기 소각 구간의 문제라고 부르더라도 불변분포 자체의 오류는 고쳐지지 않습니다.

목표 준비 장부와 정상 장부의 이름을 구별하자

비교 커널에서 π가 불변이 아니면 π를 곱한 통행량은 목표 분포에서 준비한 한 단계 장부이지 정상 통행량이 아닙니다. 실제 정상 장부에는 별도로 구한 ρ를 사용합니다.

$$F^{\pi}_{ij}=\pi_i\widetilde P_{ij},\qquad F^{\rho}_{ij}=\rho_i\widetilde P_{ij},\qquad \sum_j(F^{\pi}_{ij}-F^{\pi}_{ji})=\pi_i-(\pi\widetilde P)_i.$$

지금 비교 예에서 목표 준비의 시계 방향 순전류는 0→1,1→2,2→0을 따라 각각 1/28,1/14,1/28입니다. 값들이 달라 앞에서 계산한 비영 발산이 생깁니다. 실제 정상분포에서의 시계 방향 순전류는 세 모서리 모두 1/24이고 정점의 발산은 0입니다.

두 장부는 모두 정보를 주지만, 어느 분포에서 준비했는지 반드시 표시해야 합니다. 알고리즘에 다른 정상분포가 있다는 이유만으로 목표 확률을 곱한 화살표를 정상 전류 그림이라고 부를 수는 없습니다. 보정된 기약 커널에서는 ρ=π여서 두 준비가 같아지고 상세평형 순전류는 0입니다.

보정을 생략해도 우연히 목표를 보존하는 경우를 이해하자

제안이 대칭이면 역방향/정방향 비율이 1이므로 두 수락 규칙이 같습니다. 이 순환 제안에서 목표가 균일한 경우에도 보정하지 않은 규칙이 목표를 보존합니다. 모든 제안을 수락해서 행과 열의 합이 모두 1인 Q를 그대로 쓰기 때문입니다. 그러나 시계·반시계 통행량이 비대칭이면 상세평형은 여전히 깨집니다.

덜 분명한 비균일 예도 있습니다. 목표 가중치를 (1,1,4)로 바꾸고 제안 가중치는 (2,1,1)로 유지합시다. 보정하지 않은 규칙은 목표를 보존하지만 시계 방향 순전류가 모서리마다 1/24입니다. 그렇다고 일반적으로 제안 비율을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

이 우연은 시계 방향 모서리에서 보정하지 않은 목표 준비 순전류를 계산하면 설명됩니다.

$$\widetilde J^{\pi}_{i,i+1}=\frac{f-b}{DW}\min(w_i,w_{i+1}).$$

세 상태에서 정상성을 만족하려면 세 시계 방향 순전류가 같아야 합니다. f≠b일 때는 세 쌍의 최솟값이 모두 같아야 하며, 이는 최소 목표 가중치가 두 번 이상 나타나는 것과 동치입니다. 서로 다른 가중치 (1,2,4)는 이 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 대칭 제안, 균일 목표, 최솟값이 반복되는 목표만 시험하면 잘못된 일반 구현이 숨어 있을 수 있습니다.

준비	보정하지 않아도 목표 불변인가?	보정하지 않아도 상세평형인가?
대칭 제안과 허용된 임의의 목표	그렇다	그렇다
비대칭 제안과 균일 목표	그렇다	아니다
비대칭 제안과 목표 (1,1,4)	그렇다	아니다
제안 (2,1,1)과 목표 (1,2,4)	아니다	아니다

이 표는 허용한 세 상태 순환 가족에 대한 설명입니다. 모든 상태 공간의 모든 제안을 분류한 것은 아닙니다.

보정한 뒤의 통신 가능성을 확인하자

제안 그래프가 강하게 연결되어도 보정 후 그래프는 그렇지 않을 수 있습니다. 제안이 시계 방향으로만 이동하면 모든 비대각 제안에 역제안이 없습니다. 올바른 수락률은 각각 0입니다. 제안에 자기 고리가 있든 없든 최종 커널은 항등행렬이 됩니다.

목표는 보존되지만 다른 모든 분포도 보존됩니다. 유일한 정상분포나 탐색은 없습니다. 없는 역제안 사건에 조건부 수락률을 만들어 넣지 않으며, 선택한 목표를 유일하게 계산한 평형인 것처럼 반환하지도 않습니다. 올바른 구성은 오히려 부적절한 제안 설계를 드러낼 수 있습니다.

두 방향 제안 가중치가 모두 양수이면 목표 가중치도 모두 양수이므로 모든 서로 다른 상태 쌍의 보정 후 전이 확률이 양수입니다. 이 삼각형에서는 두 단계와 세 단계 귀환이 가능해서 자기 자신 제안이 없어도 주기가 1입니다. 이 연결된 가족은 모든 초기화에서 유일한 목표로 수렴합니다. 그러나 삼각형의 논증이 Hastings 보정 일반의 비주기성을 증명하지는 않습니다. 다음 두 상태 단원에서 주기적인 가역 체인을 확인합니다.

수락률, 이동률과 평균을 취한 준비를 구별하자

제안한 목적지를 조건으로 하는 수락률과 평균 수락률은 다릅니다. 목표 분포에서 준비한 한 단계의 평균 수락률은 자기 자신 제안을 포함하고, 이동률은 이를 제외합니다.

$$a_{\pi}=\sum_i\pi_i\sum_jA_{ij},\qquad h_{\pi}=\sum_i\pi_ih_i,\qquad m_{\pi}=\sum_i\pi_i\sum_{j\ne i}P_{ij},\qquad a_{\pi}+h_{\pi}=1.$$

보정한 계산 예에서 aπ=3/4,hπ=1/4,mπ=1/2입니다. 수락과 이동의 차이는 자기 자신 제안 확률 1/4입니다. 현재 상태만 제안한다면 평균 수락률은 1이고 이동률은 0입니다. 거의 자기 자신만 제안하는 규칙도 아무 일도 하지 않으면서 수락률이 1에 가까울 수 있습니다.

보정하지 않은 예의 목표 준비 이동률은 3/7입니다. 실제 정상분포 ρ에서 평균한 이동률은 23/56으로 다릅니다. 어느 준비에서 평균했는지 구별해야 합니다. 수락 통계나 한 단계 이동 통계만으로 Monte Carlo 효율을 인증할 수는 없습니다. 불변분포의 오차, 통신 가능성, 의도한 관측량의 의존성과 실제 계산 비용을 함께 비교하세요.

모든 머무름을 삭제해서 시계를 몰래 바꾸지 말자

거부로 반복된 상태와 수락한 자기 자신 제안을 모두 삭제하고 상태 변화만 기록한다고 합시다. 상태 i를 떠날 확률을 ci=1−Pii로 둡니다. 모든 ci가 양수일 때 상태 변화 전이 행렬은 다음과 같습니다.

$$T_{ij}=\frac{P_{ij}}{c_i}\quad(i\ne j),\qquad T_{ii}=0,\qquad c_i=1-P_{ii}.$$

ρ가 P의 정상분포라면 이 점프 체인의 정상분포는 다음과 같습니다.

$$\nu_i=\frac{\rho_i c_i}{\sum_k\rho_kc_k},\qquad (\nu T)_j=\frac{\sum_{i\ne j}\rho_iP_{ij}}{\sum_k\rho_kc_k}=\frac{\rho_jc_j}{\sum_k\rho_kc_k}=\nu_j.$$

떠날 확률이 큰 상태는 원래의 단계 시계에 비해 이동 기록에서 더 자주 나타납니다. 보정한 계산 예에서는 의도한 목표가 P의 정상분포이지만, 점프 기록에는 다음 분포가 나타납니다.

$$\nu=\left(\frac3{14},\frac37,\frac5{14}\right),\qquad \|\nu-\pi\|_{\mathrm{TV}}=\frac3{14}.$$

따라서 그림을 깔끔하게 보이게 하려고 바뀐 상태만 남기면 표본의 법칙도 바뀝니다. 일반적인 단계 기준 MCMC 추정에서는 거부 뒤 반복된 상태도 유지합니다. 점프 기록을 사용한다면 생략한 머무름 시간을 적절한 추정량에 반영해야 하며, 가중하지 않은 상태 빈도는 π를 따르지 않을 수 있습니다. 수락한 자기 자신 제안은 남기고 거부만 삭제하는 일도 또 다른 시계이며, 여기서 정의한 점프 체인과 같지 않습니다.

항등 커널에는 떠나는 사건이 없습니다. 점프 전이와 그 정상분포를 제공하지 않습니다. 없는 대상을 0이나 선택한 목표로 바꾸면 실제로 일어나지 않는 관측 과정을 만들어내게 됩니다.

정확한 비율, 영 확률과 표시된 잔차를 구별하자

목표의 정규화 상수는 비율에서 약분되지만 제안의 비대칭은 남습니다.

$$\frac{\pi_jQ_{ji}}{\pi_iQ_{ij}}=\frac{w_jQ_{ji}}{w_iQ_{ij}}\qquad(Q_{ij}>0).$$

따라서 허용 범위 안에서 목표 가중치나 제안 가중치 전체의 공통 양의 척도를 바꾸어도 커널은 변하지 않습니다. 이 약분이 정규화할 수 없는 목표를 유효한 확률분포로 만들어주는 것은 아닙니다. 여기서는 양의 유한 목표 가중치 세 개가 비율을 사용하기 전부터 정규화 가능성을 보장합니다.

유한 모형의 모든 계산은 정확한 유리수로 진행합니다. 조건으로 삼은 제안의 확률이 양수일 때만 조건부 수락률을 계산합니다. 없는 제안을 작은 분모 상수로 고치지 않습니다. 거부는 정확하게 유지하고, 판정에는 반올림한 막대의 모양이 아니라 정확한 부호와 잔차를 사용합니다.

예를 들어 L=1,000,000,D=3L−1에서 목표와 제안 가중치를 모두 (L,L−1,L)로 둡시다. 보정하지 않은 한 단계의 변화는 다음과 같습니다.

$$\pi\widetilde P-\pi=\frac1{D^2}(1,0,-1).$$

소수점 여섯 자리의 주변분포 표시에서는 약 10^−13인 이 차이가 보이지 않지만 정확한 불변성은 아닙니다. 각 유리수 관측은 정확한 경계와 부호를 유지합니다. Number와 크기의 로그는 표시 투영이지 등식의 별도 증명이 아닙니다. 보정 후 잔차가 정확히 0인 이유는 작은 오차를 허용했기 때문이 아니라 대수적 구성 때문입니다.

목표와 제안을 명시한 채 AI에 연결하자

학습한 제안도 실제 조건부 확률과 역방향 확률을 평가할 수 있고 보정 후 지지집합이 적절하면 유용할 수 있습니다. 목적지의 순위를 정하는 점수를 확률 대신 넣어서 이 비율을 얻는 것은 아닙니다. 유한 상태 증명만으로 근사 신경망 우도, 잘린 디코딩 분포, 계속 바뀌는 제안이 필요한 확률 법칙을 갖는다고 주장할 수는 없습니다.

제안이 훈련 이력에 따라 바뀌면 고정 커널의 논증에 추가 분석이 필요합니다. 연속 상태 공간에서는 적절한 기준 측도에 대한 밀도와 지지집합 조건을 확인해야 합니다. 목표가 0인 상태는 이 단원의 전체 지지집합 계약 밖에서 초기화와 전이 관례를 명시해야 합니다. 같은 분수를 코드에 복사하면 해결되는 세부 사항이 아니라 별도의 수학적 문제입니다.

여기 확률은 이산적인 제안·결정 단계를 나타냅니다. 에너지 저장고, 열이나 물리적 엔트로피 생산은 포함하지 않습니다. 알고리즘 구성으로서의 상세평형과 열역학 모형의 국소 상세평형에는 서로 다른 가정이 필요합니다.

제안·수락·이동을 실제 실험에서 구별하자

기본 예제는 목표 가중치 1,2,4와 순방향·역방향·자기 제안 가중치 2,1,1을 사용합니다. 상태 0에서 상태 1을 제안할 확률, 그 제안을 조건부로 수락할 확률, 최종적으로 0에서 1로 이동할 확률을 각각 행렬에서 찾으세요. 제안서를 보낼 빈도와 심사를 통과할 비율을 구별하면 두 확률을 곱하는 이유가 드러납니다.

조작	확인할 관측	설명할 질문
‘Hastings 보정’과 ‘목표 비율만·비교 커널’을 전환한다	전이 행렬, 목표 잔차 πP−π, 실제 정상 법칙 ρ	같은 목표를 입력했는데 왜 실제 정상 법칙이 달라지는가?
‘역제안 없음·보정 후 항등’을 고른다	보정한 전이는 항등이고 정상 법칙 유일성은 거짓이다	목표 보존과 자세한 왕복 균형만으로 이동이나 혼합을 보장할 수 있는가?
‘높은 수락률·낮은 이동률’을 고른다	자기 제안, 거부 체류, 총체류, 평균 수락과 평균 이동	수락률이 높아도 상태를 바꾸는 빈도가 낮을 수 있는 이유는 무엇인가?

이 단원의 자동 순회는 서로 다른 고정 커널 예제를 비교합니다. 시간이나 초기 분포를 진화시키지 않습니다. 행렬 선택 버튼은 같은 준비의 다른 장부를 보여주며, 보정 전환도 입력 목표를 덮어쓰지 않습니다. 목표·실제 정상·점프 정상 막대를 비교할 때는 총체류를 삭제한 시계가 점프 법칙을 바꾼다는 점을 함께 설명하세요. 미제공 법칙을 균일분포나 영벡터로 해석하지 마세요.

먼저 예측하고 계산한 뒤 설명하자

1. 세 확률 나누기

목표 (1,2,4), 제안 (2,1,1)에서 0→1과 2→0의 제안 확률, 조건부 수락률, 최종 비대각 전이 확률을 비교하세요.

해설. Q01=1/2,α01=1,P01=1/2입니다. Q20=1/2,α20=1/8,P20=1/16입니다. 제안 확률이 같아도 수락률과 최종 전이 확률은 같을 필요가 없습니다. 검사 비율에는 역방향 제안 확률도 들어갑니다. 제안 자체와 제안 후 결정을 나누어 읽어야 합니다.

2. 출발 대각 복원하기

같은 예에서 2→0 제안의 거부 기여와 P22를 구하세요. 목표 준비의 평균 수락률과 이동률은 얼마인가요?

해설. 거부는 (1/2)(7/8)=7/16입니다. 자기 자신 제안 확률 1/4을 더하면 P22=11/16입니다. 목표에서 평균한 거부율은 1/4, 수락률은 3/4, 이동률은 1/2입니다. 수락에는 이동에 기여하지 않는 자기 자신 제안도 포함됩니다.

3. 없는 역제안 확인하기

제안이 시계 방향으로만 이동합니다. α01,α02와 보정 후 커널은 무엇인가요?

해설. 0→1 제안은 일어나지만 역제안이 없으므로 α01=0입니다. 0→2 제안은 일어나지 않으므로 α02는 미제공입니다. 모든 비대각 이동을 거부해서 P는 항등행렬입니다. 목표는 불변이지만 정상분포는 유일하지 않고 탐색도 하지 못합니다.

4. 더 기다리는 대신 잘못된 목표 찾기

계산 예의 목표 비율만 쓰는 비교 규칙에서 목표 변화, 실제 정상분포와 목표까지의 거리를 구하세요.

해설. 변화는 (0,−1/28,1/28)입니다. 실제 정상분포를 풀면 ρ=(1/7,5/21,13/21)이고 π와의 총변동은 1/21입니다. 더 기다려도 이 불변분포의 오류는 바뀌지 않습니다. 정상 시계 방향 순전류는 모서리마다 1/24이지만 목표 준비 전류에는 비영 발산이 있습니다.

5. 우연한 성공 설명하기

제안 가중치 (2,1,1)은 유지하고 목표를 (1,1,4)로 바꿉니다. 보정하지 않아도 목표가 보존되면 제안 비율이 불필요하다는 증명인가요?

해설. 아닙니다. 세 쌍의 최솟값이 모두 1이어서 보정하지 않은 시계 방향 목표 전류가 모두 1/24입니다. 발산이 0이라 이 특정 목표가 보존됩니다. 그러나 전류가 비영이고 상세평형은 성립하지 않습니다. 서로 다른 목표 가중치 (1,2,4)가 이미 일반적인 생략에 대한 반례를 제공합니다.

6. 상태 변화만 기록한 자료 진단하기

보정한 계산 예에서 모든 머무름을 삭제하면 어떤 정상 기록 분포가 나타나나요?

해설. 떠날 확률은 (3/4,3/4,5/16)입니다. π에 이를 곱한 뒤 평균 이동률 1/2로 정규화하면 ν=(3/14,3/7,5/14)입니다. π와의 총변동은 3/14입니다. 이 기록은 일반 단계가 아니라 상태 변화를 세므로, 가중하지 않은 빈도가 원래 목표 법칙을 따르지 않습니다.

주기성, 지지집합과 더 넓은 이론으로 이어가기

쌍별 흐름 예산으로 올바른 유한 전이를 유도하고, 거부 질량을 추적하며, 의도한 정상분포와 실제 정상분포를 비교했습니다. 두 가지 함정도 확인했습니다. 보정하지 않은 규칙이 특별한 목표 검사를 통과할 수 있고, 전체 커널이 올바르더라도 머무름을 삭제하면 표본 법칙이 바뀔 수 있습니다.

다음 단원에서는 가역 두 상태 체인으로 정상 수지, 주기성과 수렴률을 나눕니다. 이후에는 목표가 0인 영역, 일반 지지집합 그래프, 연속 밀도, 적응형 제안, 의존성을 고려한 오차 추정과 고차원 알고리즘으로 확장합니다. 세 상태 구성은 완전한 입문 계산을 제공하지만, 이러한 일반화나 연구 문제의 완료를 뜻하지는 않습니다.