본문으로 건너뛰기
SuanLab

Itô·Stratonovich·실제 이산 합

관측 quadratic variation과 극한의 시간 보정을 구분합니다.

278 / STOCHASTIC PROCESS LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 단원의 확률·조건부 기대·미적분·선형대수 기초
Brownian 공분산·Quadratic Variation →연쇄법칙과 국소 변화 →
단원 목록 (600) · Itô·Stratonovich·실제 이산 합
이해하는 속도로 읽으세요.개념도이론실험확인 문제
BUILD YOUR INTUITION

먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

관측 quadratic variation과 극한의 시간 보정을 구분합니다.

The same Gaussian path drives actual left sums sum W_i dW_i (blue) and symmetric midpoint sums sum (W_i+W_next)/2 dW_i (orange). Finite identities involve the observed quadratic variation, not T. The exact Ito integral for integrand W at the endpoint is (W(T)^2-T)/2; midpoint sums telescope to W(T)^2/2 already on each grid.

-0.041.041.1-0.16
가로 시간 · 파랑 실제 left sum · 주황 실제 symmetric midpoint sum · 보정의 QV와 T를 구분
timeleft summidpoint sumobserved partial quadratic variation
0000
0.06300.1520.304
0.125-0.0410.1140.309
0.188-0.1130.0530.333
0.25-0.0950.0730.336
0.313-0.0910.0770.336
0.375-0.0130.1750.376
0.438-0.1010.0980.398
0.50.0530.3120.519
0.5630.2260.510.567
0.6250.2530.5360.568
0.688-0.0050.310.629
0.750.2780.6580.759
0.8130.2930.6720.759
0.8750.6311.0530.844
0.9380.3890.8250.872
10.2830.7220.879

observed quadratic variation = 0.879

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

Left

증분 전에 알려진 W_i를 integrand로 씁니다.

left=sum W_i dW_i

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

Integrand를 평가하는 위치가 합을 바꾼다

매끄러운 미적분에서는 작은 구간의 왼쪽·중간 평가 차이가 사라질 수 있습니다. Brownian 증분은 누적 제곱이 사라지지 않아 차이가 극한에 남습니다. 실험은 같은 Brownian 표본으로 두 합을 구하므로 표본 변경이 원인이 되지 않습니다.

파랑은 왼쪽 W_i, 주황은 양 끝 평균 (W_i+W_next)/2를 씁니다. 이 선형 integrand에서는 symmetric midpoint 규칙이며 임의 stochastic 방정식의 모든 midpoint 알고리즘이 같다는 뜻은 아닙니다.

두 유한 항등식 유도

제곱을 전개하면 W_next²-W_i²=2 W_i dW_i+(dW_i)²입니다. W0=0에서 더하면 다음입니다.

LN=∑iWiΔWi=12(WT2−QVN),SN=∑iWi+Wi+12ΔWi=12WT2.L_N=\sum_i W_i\Delta W_i=\frac12(W_T^2-QV_N),\qquad S_N=\sum_i\frac{W_i+W_{i+1}}2\Delta W_i=\frac12W_T^2.

모든 유한 경로의 대수 항등식으로 QV=T를 가정하지 않습니다. 구현은 각 항을 실제로 더하고 별도로 계산한 항등식 값을 보여줍니다.

Brownian 적분 극한으로 이동하기

적절한 세분화에서 Brownian QV가 시간으로 수렴하면 다음입니다.

∫0TWt dWt=12(WT2−T),∫0TWt∘dWt=12WT2.\int_0^T W_t\,dW_t=\frac12(W_T^2-T),\qquad \int_0^T W_t\circ dW_t=\frac12W_T^2.

동그라미는 Stratonovich 관례입니다. 이 예에서는 보통 chain rule 모양이고 Itô에는 이차 보정이 있습니다. 유한 관측 QV를 먼저 T로 바꾸면 이산 오차를 측정하지 않고 지워 버립니다.

일반 Chain Rule과 Drift 변환

매끄러운 F와 Itô SDE dX=b dt+sigma dW에서는 이차 도함수 보정이 있습니다.

dF(X)=F′(X)b dt+F′(X)σ dW+12F′′(X)σ2 dt.dF(X)=F'(X)b\,dt+F'(X)\sigma\,dW+\tfrac12F''(X)\sigma^2\,dt.

적절한 매끄러움 아래 Stratonovich는 보통 chain rule 형태입니다. 같은 과정의 일차원 drift는 b_I=b_S+sigma sigma'/2입니다. 상수 diffusion은 drift 변환 항이 없어도 비선형 F의 Itô 보정은 남습니다. 두 보정을 혼동하지 마세요. W 제곱 예제는 뒤의 차이를 분리합니다.

정확한 MSE를 구할 수 있다

Left sum과 Itô 적분의 오차는 (T-QV_N)/2입니다. 균등 grid에서 평균은 0, 평균제곱은 T²/(2N)입니다. Gaussian 경로 전체에 대한 기대값이며 한 경로의 오차 제곱과 같을 필요는 없습니다. 끝점을 유지한 세분화도 관측 오차의 단조 감소를 강제하지 않습니다.

T=1,N=64의 이론 MSE는 1/128, T=2,N=16은 1/8입니다. 시간·grid 배율을 경로의 sqrt(T) 배율과 구별하세요.

직접 풀기: 세 보정값 비교

현재 표본의 S_N-L_N, QV_N/2, T/2를 계산하세요. 처음 둘은 반올림을 제외하면 같고 마지막은 극한 보정이라 유한 grid에서 다릅니다. 증분을 결정론적 매끄러운 경로로 바꾸어도 유한 항등식은 맞지만 QV 극한은 바뀝니다. 적분 관례뿐 아니라 과정의 법칙도 필요한 이유를 설명하세요.

더 읽기: Lawler의 확률 적분 노트.

CHECK YOUR UNDERSTANDING

설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 유한 grid의 QV를 항상 정확히 T로 바꿔도 되나요?
2. 이 integrand의 symmetric sum은 각 grid에서 망원 합인가요?

선택한 답과 학습 표시는 이 브라우저에 저장됩니다. 다시 풀거나 표시를 해제할 수 있습니다.