시간 의존 게이지 변환과 장의 불변성

다른 전위가 같은 장을 나타낼 수 있다

같은 지형의 높이에 공통 상수를 더해도 경사는 같습니다. 게이지 자유도는 이 직관을 시간에 따라 변하는 스칼라·벡터 전위로 확장합니다. 다만 전기장은 공간 기울기뿐 아니라 벡터 전위의 시간 변화도 사용하므로 상수 기준만 바꾸는 문제보다 풍부합니다. 전위 그림이 크게 달라졌다는 이유만으로 힘이 달라졌다고 판단하지 마세요. 이 단원에서는 변하는 두 항을 따로 그린 뒤 실제 E와 B가 유지되는지 확인합니다.

선수 개념과 모형의 범위

gradient·curl·발산, 편미분 교환, Faraday 법칙과 전하 보존을 복습하세요. 좌표는 단순연결인 국소 영역이며 모든 전위는 매끄럽습니다. 일정한 양의 ε와 μ를 사용합니다. 다항식 장이 무한 공간에서 유한 에너지를 가진다고 가정하지 않습니다. 실제 장치에 적용하려면 영역 밖 원천과 초기·경계 조건을 별도로 지정해야 합니다. 양자 위상이나 구멍 있는 영역의 전역 전위는 후속 주제입니다.

전위에서 관측량을 만든다

V의 단위는 V이고 A의 단위는 V·s/m입니다. 두 항의 단위가 모두 V/m이므로 전기장으로 더할 수 있습니다. B의 단위는 T입니다. B를 curl로 표현하면 발산 B=0이 성립하고, E를 아래 식으로 표현하면 Faraday 법칙이 성립합니다. 그러나 이 두 항등식만으로 주어진 ρ·J에 대한 Gauss·Ampere 법칙까지 보장하지는 않습니다.

$$\mathbf E=-\nabla V-\partial_t\mathbf A,\qquad \mathbf B=\nabla\times\mathbf A.$$

함께 바꾸는 게이지 변환

매끄러운 함수 χ를 선택합니다. A에 χ의 공간 기울기를 더했다면 V에서는 χ의 시간 미분을 빼야 합니다. χ의 단위는 V·s입니다. 시간에 무관한 χ만 연습하면 V 변경의 필요성을 놓치기 쉽습니다. 두 변경은 같은 χ를 사용해야 하며, 원하는 두 전위를 독립적으로 지정한 뒤 게이지 변환이라고 부를 수는 없습니다.

$$\mathbf A^{\prime}=\mathbf A+\nabla\chi,\qquad V^{\prime}=V-\partial_t\chi.$$

두 전기장 항의 상쇄를 유도한다

공간·시간 미분을 교환할 수 있으므로 추가된 두 전기장 항이 정확한 연산에서는 상쇄합니다. gradient의 curl도0입니다. 중요한 것은 전위가 작아서 영향이 없는 것이 아니라, 서로 연결된 변화가 같은 크기와 반대 부호로 나타난다는 점입니다. 큰 두 수의 뺄셈은 부동소수점에서는 정밀도를 잃을 수 있으므로 물리 항등식과 반올림 관측을 나중에 구분합니다.

$$\mathbf E^{\prime}=\mathbf E+\nabla\partial_t\chi-\partial_t\nabla\chi=\mathbf E,\qquad \mathbf B^{\prime}=\mathbf B+\nabla\times\nabla\chi=\mathbf B.$$

정규화 좌표와 SI 단위를 연결한다

길이 척도 L과 전위 척도 U, c=1/√(εμ)를 정합니다. ξ·η·ζ와 τ는 무차원 좌표입니다. a와 v를 그릴 때는 무차원 값이라고 표시하고, 실제 A·V·χ·E·B를 다른 단위로 환산합니다. τ=1은 t=1초가 아닙니다. 예를 들어 L=1m이고 진공 기준 c를 쓰면 약3.336ns입니다. U=0이면 물리적 장과 전위는0이지만 정규화된 그림의 계수는 남을 수 있습니다.

$$\boldsymbol\xi=\mathbf x/L,\quad \tau=ct/L,\quad V=Uv,\quad \mathbf A=(U/c)\mathbf a,\quad \chi=(UL/c)\widetilde\chi,\quad \mathbf E=(U/L)\mathbf e,\quad \mathbf B=(U/(cL))\mathbf b.$$

기준이 되는 유도 장을 만든다

이제 식은 정규화 좌표로 씁니다. b(τ)는 z 방향 자기장의 계수입니다. 아래 벡터 전위의 curl을 직접 계산하면 b가 나오고, 시간 미분은 회전하는 전기장을 만듭니다. b가 공간적으로 균일하므로 curl B는0이며 필요한 무차원 전류는 −∂τe입니다. b가 이차식이면 전류도 명시적으로 계산됩니다. 이것은 외부 원천이 필요 없는 자유 파동이라는 뜻이 아닙니다.

$$b=b_0+b_1\tau+\tfrac12b_2\tau^2,\quad \mathbf a_0=(-b\eta/2,b\xi/2,0),\quad v_0=0,\quad \mathbf e_0=(b^{\prime}\eta/2,-b^{\prime}\xi/2,0),\quad \mathbf b_0=(0,0,b).$$

공간과 시간에 의존하는 χ를 고른다

χ̃=αξηζg(τ)로 정합니다. 각 공간 변수에 대해 일차식이므로 공간 Laplacian은0입니다. 하지만 g가 이차식이면 시간 이차 미분은0이 아닙니다. 이 구성이 중요한 이유는 실제 E/B를 유지하면서 Lorenz 조건은 달라지는 예제를 손으로 만들 수 있기 때문입니다. 원점이나 특정 좌표면에서 추가 항이0이라고 해서 전체 영역에서0이라고 판단하지 마세요.

$$\widetilde\chi=\alpha\xi\eta\zeta g(\tau),\quad g=g_0+g_1\tau+\tfrac12g_2\tau^2,\quad \nabla_{\xi}\widetilde\chi=\alpha g(\eta\zeta,\xi\zeta,\xi\eta),\quad \Delta_{\xi}\widetilde\chi=0.$$

변하는 두 항을 따로 읽는다

추가되는 벡터 h를 정의하면 스칼라 전기장 항은+h, 벡터 전기장 항은 e₀−h입니다. 두 항은 관측 가능한 독립 전기장 두 개가 아니라 하나의 E를 분해한 표현입니다. 한 항의 화살표만 보고 힘이 커졌다고 해석하면 안 됩니다. 원래 전위·변환 전위·각 전기장 항·합을 같은 관측점에서 비교해야 합니다.

$$\mathbf h=\alpha g^{\prime}(\eta\zeta,\xi\zeta,\xi\eta),\qquad -\nabla_{\xi}v^{\prime}=\mathbf h,\qquad -\partial_{\tau}\mathbf a^{\prime}=\mathbf e_0-\mathbf h.$$

손으로 계산하는 비영 예제

b₀=1,b₁=2,b₂=0, α=1,g₀=0,g₁=1,g₂=0을 택하고 (ξ,η,ζ)=(1,2,1),τ=0으로 둡니다. 이 순간 χ 자체와 추가 A는0이지만 시간 미분은0이 아닙니다. 스칼라 전위는−2이며, 두 전기장 항은 각각(2,1,2)와(0,−2,−2)입니다. 합은(2,−1,0)으로 기준 장과 같습니다. 전위의 순간 값만으로 그 시간 미분을 추측할 수 없다는 점도 함께 확인합니다.

$$b_0=1,\ b_1=2,\ b_2=0,\ \alpha=1,\ g_0=0,\ g_1=1,\ g_2=0,\quad (\xi,\eta,\zeta,\tau)=(1,2,1,0),\quad \mathbf e^{\prime}=(2,-1,0).$$

Lorenz 조건은 표현의 추가 선택이다

G̃를 발산 a와 v의 시간 미분의 합으로 정의합니다. 기준 전위에서는0입니다. 함께 변환한 뒤 G̃=−αξηζg₂이므로 일반적으로0이 아닙니다. 그래도 E/B는 같습니다. 따라서 Lorenz 조건을 실패했다고 곧바로 전자기장이 물리적으로 잘못되었다고 말할 수 없습니다. Lorenz 조건을 유지하는 잔여 변환은 χ̃의 파동 연산자가0인 경우입니다. 다음 단원에서 분리된 전위 파동식과의 관계를 설명합니다.

$$\widetilde G=\nabla_{\xi}\cdot\mathbf a+\partial_{\tau}v,\quad \widetilde G^{\prime}=\widetilde G+(\Delta_{\xi}-\partial_{\tau}^2)\widetilde\chi=-\alpha\xi\eta\zeta g_2.$$

A 또는 V만 바꾸는 대조

A만 바꾸면 e=e₀−h이고 V만 바꾸면 e=e₀+h입니다. 일반적으로 실제 전기장이 달라집니다. B는 두 경우 모두 기준과 같을 수 있으므로 B만 보는 검사는 이 오류를 놓칩니다. h가 현재 점에서 우연히0이 되는 상황과 전체 시공간에서0인 상황을 구분하세요. α=0 또는 g₁=g₂=0이면 부분 변경도 이 가족의 E를 바꾸지 않습니다.

$$\mathbf e_{A\,{\rm only}}=\mathbf e_0-\mathbf h,\qquad \mathbf e_{V\,{\rm only}}=\mathbf e_0+\mathbf h.$$

같은 원천인데 다른 장일 수 있다

무차원 원천은 ρ̃=발산 e, j̃=curl b−∂τe로 역산합니다. h의 발산은0이고 g₂=0이면 h는 시간에 일정하므로 부분 변경 후에도 원천이 같습니다. 그렇다고 장까지 같은 것은 아닙니다. 다른 초기·경계 조건을 가진 장일 수 있습니다. g₂가 비영이면 부분 변경에 필요한 전류도 바뀝니다. 원래 원천을 그대로 요구하면서 이 항을 생략하면 Ampere 적합성을 실패합니다.

$$\widetilde\rho=\nabla_{\xi}\cdot\mathbf e,\quad \widetilde{\mathbf j}=\nabla_{\xi}\times\mathbf b-\partial_{\tau}\mathbf e,\quad \rho=(\epsilon U/L^2)\widetilde\rho,\quad \mathbf J=(\epsilon cU/L^2)\widetilde{\mathbf j}.$$

폐경로로 curl의 의미를 확인한다

xy 평면의 폭 w·높이 h인 고정 직사각형을 위에서 보아 반시계 방향으로 돕니다. 법선은+z입니다. 추가 gradient의 네 모서리 적분은 합해서0이고, A의 전체 순환은 bwh입니다. 실제 SI A의 선적분 척도는 UL/c이며 자기 선속과 같습니다. E의 순환은−Ub′wh입니다. 방향을 뒤집으면 부호도 바뀝니다. 면적0과 좌표 반폭의 표현 손실은 별도로 다룹니다.

$$\oint\mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell=(UL/c)bwh=\Phi_B,\qquad \oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-U b^{\prime}wh=-d\Phi_B/dt.$$

수치 표현과 항등식의 근거를 구분한다

해석적으로 유지되는 e₀와 반올림한 두 항의 합을 나란히 비교하세요. 이 모형에서 상쇄를 먼저 한 식은 유용하지만 독립 인증은 아닙니다. 다른 경로로 계산한 전위의 공간·시간 차분과 폐경로 구적이 별도 수치 근거입니다. 아주 작은 비영 곱이 표현되지 않으면 사용 불가를 표시하고0이라고 바꾸지 않습니다. 원점의0, 영진폭, 영면적, 산술 표현 손실은 서로 다른 상태입니다.

AI 모델의 비교 기준

학습한 A/V를 비교할 때 전위의 점별 제곱오차만 사용하면 같은 장의 다른 게이지 표현을 과도하게 벌점 줄 수 있습니다. 실제 E/B, 원천과 Maxwell 잔차, 초기·경계 조건, 선택한 게이지 조건을 구분해 평가하세요. 반대로 아무 A/V 변경이나 허용하면 부분 변경으로 물리장이 달라져도 놓칠 수 있습니다. 물리적으로 같은 해인지와 특정 표현을 만족하는지를 두 판정으로 기록하는 것이 도움이 됩니다. 배경 관계는 Feynman II §18–6을 참고하세요.

풀이가 있는 연습 문제

연습 1

χ가 시간에 무관하면 V는 어떻게 변하나요?

해설: ∂tχ=0이므로 V는 그대로입니다. A의 추가 gradient는 B를 바꾸지 않으며 그 시간 미분도0이라 E도 유지됩니다.

연습 2

손계산 예제에서 A만 바꾸면 e는 무엇인가요?

해설: e₀−h=(2,−1,0)−(2,1,2)=(0,−2,−2)입니다. B만 유지되어도 게이지 불변성은 아닙니다.

연습 3

g₂=1,α=1,ξ=η=ζ=1이면 함께 변환한 G̃와 E 변화는?

해설: G̃=−1이고 E 변화는0입니다. Lorenz 조건을 벗어나도 같은 물리장을 나타냅니다.

연습 4

L=2m,U=3V일 때 정규화 e=(2,−1,0)의 SI E는?

해설: U/L=1.5V/m이므로 E=(3,−1.5,0)V/m입니다. 정규화 값에 전위 단위를 그대로 붙이지 않습니다.

연습 5

g가 시간에 일차이고 α가 비영일 때 부분 변환의 원천과 장은 같은가요?

해설: g₂=0이어서 추가 전류는0이고 추가 전하도0입니다. 그러나 h가 일반적으로 비영이어서 E는 달라집니다. 초기·경계 데이터를 함께 확인해야 합니다.

연습 6

고정 루프에서 b′>0이고 법선이+z이면 E 순환의 부호는?

해설: 면적과 U가 양수이면−Ub′wh<0입니다. 양의 자기 선속 증가에 반대되는 순환이며 경로를 뒤집으면 부호가 바뀝니다.