Poisson 시계와 잠재 사건

시계가 울려도 상태가 바뀌지 않을 수 있다

아래 실습은 독립 대조한 유한 모형을 비교합니다. 정확한 값·인증 구간·표시용 근사를 구별하며 읽으세요.

세 장소가 고리로 연결되어 있고 입자가 이 사이를 움직인다고 생각해봅시다. 갱신을 제안받은 입자는 이웃으로 갈 수도 있고 제자리에 남을 수도 있습니다. 따라서 갱신 제안의 횟수와 실제 이동 횟수는 다릅니다. 어느 횟수도 물리적 시간 좌표 자체는 아닙니다.

이 구별을 이용하면 연속시간 Markov 과정을 편리하게 구성할 수 있습니다. Poisson 시계를 돌리고 시계가 울릴 때마다 이산 확률 커널을 적용합니다. 이 구성은 계산 오차를 드러내는 수치 방법도 제공합니다. 가능한 시계 횟수를 유한 개까지만 합하되 빠뜨린 확률을 유지하고, 이 누락이 각 상태 확률을 얼마나 바꿀 수 있는지 제한합니다.

유한 고리·시간에 무관한 전이율·Markov 성질·행벡터 확률 관례·초 단위의 보정된 시간을 가정합니다. 계산 대상은 한 입자의 무작위 경로가 아니라 확률 법칙입니다. 에너지·열저장고·물리적 열은 지정하지 않습니다. Levin–Peres2판20.1절의 Poisson 시계 구성을 바탕으로, 이 고리 모형과 비교 예제·절단 인증을 직접 유도합니다.

시계를 고르기 전에 생성자를 지정한다

상태 이름을0,1,2로 하고 지수는3으로 나눈 나머지로 해석합니다. 시계 방향 전이율은 a, 반시계 방향은 b입니다. 예를 들어 상태2에서 시계 방향으로 가면0입니다. 전이율의 단위는 s^−1이며1보다 커도 되지만 음수일 수는 없습니다. 초기 행 법칙 mu0는 정규화된 확률 벡터입니다. 초기 무게2,3,5를 입력하면 확률0.2,0.3,0.5를 뜻하며 전이율을 뜻하지 않습니다.

                 시계 방향 a
           0 ----> 1 ----> 2 ----> 0
           0 <---- 1 <---- 2 <---- 0
                반시계 방향 b

       Q는 전이율 단위, Q와 시간의 곱은 무차원입니다.

행벡터 관례에서 방정식은 mu dot=mu Q입니다. Q의 각 행 합은0이고 대각 성분은 전체 이탈률의 음수입니다. 이 음수 대각 성분을 음의 전이율로 해석하지 않습니다.

$$Q=\begin{pmatrix} -(a+b)&a&b\\ b&-(a+b)&a\\ a&b&-(a+b) \end{pmatrix},\qquad \dot\mu(t)=\mu(t)Q,\qquad \mu(t)=\mu_0e^{tQ}.$$

세 상태의 이탈률은 모두 r=a+b입니다. 이 같음은 실제 점프 횟수를 해석할 때 중요합니다. 상태별 체류율이 다르면 다음 단원처럼 별도 논증이 필요합니다.

물리적 법칙을 유지하며 잠재 사건을 추가한다

시계 전이율 nu를 r 이상으로 고릅니다. 시계가 울릴 때 R=I+Q/nu를 적용합니다. 비대각 성분이 음이 아니고 각 행 합은1입니다. 대각1−r/nu는 잠재 사건에서 제자리에 남는 확률입니다.

$$R=I+\frac{Q}{\nu},\qquad R_{ii}=1-\frac{a+b}{\nu},\qquad R_{i,i+1}=\frac a\nu,\qquad R_{i,i-1}=\frac b\nu,\qquad Q=\nu(R-I).$$

a=1,b=0,nu=1이면 시계가 울릴 때마다 시계 방향으로 움직입니다. nu를2로 높이면 각 사건에서 절반은 이동하고 절반은 제자리에 남습니다. 초당 잠재 사건은 두 배가 되고 그중 절반만 이동을 만듭니다. 물리적 생성자는 정확히 같습니다.

Nu는 표현을 위한 선택이며 새로운 물리적 전이율이 아닙니다. 허용 조건을 지켜야 합니다. nu<r이면 R의 대각 성분이 음수입니다. 대수적 항등식은 남지만 R이 확률 커널이 아니므로 Poisson 혼합을 확률로 해석할 수 없습니다.

r=nu=0일 때는 nu로 나눌 수 없습니다. 이 경우는 따로 처리합니다. Q=0, R=I로 두고 사건은 없습니다. 정확한 법칙은 초기 상태를 유지합니다. 생성자가0이어도 nu>0인 표현은 가능합니다. 이때 R=I이며 모든 잠재 사건이 허구 사건입니다.

무작위 시계 횟수에 조건을 건다

Kt를 평균 nu t의 Poisson 횟수라고 합시다. 커널 R로 움직이는 이산 사슬과 독립이라고 구성합니다. Kt=k로 조건을 걸면 상태 법칙은 mu0 R^k입니다. 가능한 횟수 전체에 대해 평균하면 연속시간 법칙을 얻습니다.

$$\Pr(K_t=k)=e^{-\nu t}\frac{(\nu t)^k}{k!},\qquad \mu(t)=e^{-\nu t}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\nu t)^k}{k!}\mu_0R^k.$$

왜 행렬 지수와 같을까요? I와 R은 서로 교환하므로 e^{nu t(R−I)}를 e^{−nu t} e^{nu t R}로 분해할 수 있습니다. 뒤의 행렬 지수를 급수로 전개하면 위 식입니다. 시간 간격1/nu의 Euler 한 단계가 아닙니다. 고정한 물리적 시간에서 무작위 개수의 이산 갱신을 정확히 평균한 것입니다.

대상	고정하는 것	해석
mu0 R^k	잠재 사건 횟수 k	조건부 이산 법칙
mu(t)	물리적 구간 t	가능한 모든 사건 횟수의 혼합
절단 M	같은 혼합의 유한 부분	계산량과 누락 확률이며 다른 물리적 시간이 아님

M을 가로축으로 한 곡선은 t를 고정하고 계산을 개선합니다. 입자의 시간 경로를 그리는 것이 아닙니다. t를 바꾸면 물리적 질문이 달라집니다. 시계 비교에서는 Q,t,mu0를 고정하고 nu만 바꿉니다.

내장 이산 사슬이 주기적이어도 물리적 시간에서는 완화된다

a=1,b=0,nu=1이고 상태0에서 출발합시다. 정확히 k번 사건이 일어나면 상태는 k를3으로 나눈 나머지입니다. 조건부 이산 법칙은 주기3으로 계속 순환하고 k가 커져도 수렴하지 않습니다.

물리적 시간 t에서는 사건 횟수가 무작위입니다. 세 상태 확률은 각각 해당 나머지를 가진 Poisson 무게를 합합니다. 이 단방향 고리에서는 다음처럼 명시적으로 쓸 수도 있습니다.

$$p_j(t)=\frac13\left[1+2e^{-3t/2}\cos\left(\frac{\sqrt3\,t}{2}-\frac{2\pi j}{3}\right)\right],\qquad j=0,1,2.$$

진동하는 항에는 지수적으로 감소하는 진폭이 곱해집니다. R이 주기적이어도 연속시간 법칙은 균일 분포로 수렴합니다. 이 주장은 이 기약 유한 생성자에 대한 것입니다. 가약 연속시간 모형도 모두 하나의 공통 법칙으로 간다는 뜻은 아닙니다.

일반적인 a+b>0의 이 고리에서도 정상 법칙은 균일합니다. 정상 방향성 변 전류는(a−b)/3이며 단위는 s^−1입니다. 따라서 점유 확률이 같다고 확률 순환이 사라지는 것은 아닙니다. 환경 모형을 지정하지 않았으므로 이 전류 자체를 열률이나 열역학적 엔트로피 생성률로 부르지 않습니다.

사건 합을 끊되 누락한 질량을 유지한다

x=nu t, c_k=x^k/k!로 둡니다. 절단 M은0부터 M까지 양 끝을 포함해 보존합니다. 보존한 계수와 조건부 법칙은 모두 음이 아닙니다. 보존한 벡터는 총합이1 이하인 부분 확률 법칙입니다.

$$v_M=e^{-x}\sum_{k=0}^{M}c_k\mu_0R^k,\qquad s_M=\sum_j(v_M)_j=e^{-x}\sum_{k=0}^{M}c_k,\qquad \tau_M=\Pr(K_t>M)=1-s_M.$$

x>0이고 M이 유한하면 Poisson 꼬리는 엄밀히 양수입니다. 화면에 s_M=1로 나타나도 반올림된 표시일 수 있습니다. tau_M=0이라는 증거가 아닙니다. x=0이면 k=0의 무게만 양수이고 허용된 모든 절단에서 보존 질량은 정확히1입니다.

각 누락 조건부 벡터의 성분은0과1 사이입니다. 따라서 누락 성분은 음이 아니며 전체 누락 질량 이하입니다. 완전 법칙과 보존 벡터의 L1 차이는 바로 그 질량입니다.

$$0\le \mu_j(t)-(v_M)_j\le\tau_M,\qquad \sum_j\left|\mu_j(t)-(v_M)_j\right|=\tau_M.$$

이 인증은 부분 확률 벡터에 관한 것입니다. 그 L1 손실을 두 확률 법칙 사이의 전변동 거리라고 부르려면 별도 관례가 필요합니다. 여기서는 정규화하지 않아 누락 질량을 드러냅니다.

s_M>0일 때 v_M을 s_M으로 나누면 Kt≤M에 조건을 건 올바른 확률 분포입니다. 다만 질문이 바뀝니다. 조건화와 오차를 명시하면 제어된 근사로 사용할 수 있지만, 아무 설명 없이 무조건부 법칙으로 바꾸어 표시하지 않습니다.

아주 작은 꼬리는 양의 항으로 제한한다

1−s_M을 직접 계산하면 s_M이1로 반올림될 때 작은 양의 꼬리가 사라질 수 있습니다. 대신 누락한 양의 항을 합합니다. L+2>x가 되면 c_(L+1) 이후 항의 연속 비율은 x/(L+2) 이하이므로 기하급수 상한을 얻습니다.

$$c_{k+1}=c_k\frac{x}{k+1},\qquad B_L=\frac{c_{L+1}}{1-x/(L+2)},\qquad \sum_{k=L+1}^{\infty}c_k\le B_L\quad(L+2>x).$$

L≥M+1로 고르면 x>0에서 하한 합이 적어도 첫 누락 항을 포함합니다. E−와 E+가 exp(−x)를 둘러싸면 다음 유리수 끝점이 Poisson 꼬리를 둘러쌉니다. 여기서 곱하는 양은 모두 음이 아닙니다.

$$E_-\sum_{k=M+1}^{L}c_k\ \le\ \tau_M\ \le\ E_+\left(\sum_{k=M+1}^{L}c_k+B_L\right),\qquad E_-\le e^{-x}\le E_+.$$

이 계산은 B_L이 c_(M+1)의2^−256 이하가 될 때까지 L을 늘립니다. 이는 비영 누락 항을 기준으로 합하지 않은 양의 급수를 상대적으로 제어합니다. 최종 구간에는 지수 함수의 구간 불확실성도 포함됩니다. 급수의 상대 목표만으로 모든 결과의 상대256bit 정확도를 보장하지 않습니다.

지수 함수에는256bit 방향성 구간을 사용합니다. 지수 인자를 제외한 계수·조건부 벡터·기하급수 나머지는 정확한 유리수입니다. 고정소수점의 한 눈금보다 작은 꼬리도 정확한 작은 유리수 인자와 지수 구간의 곱으로 양수를 유지할 수 있습니다. 반올림 숫자와 근사 로그 크기는 표시 도구이지 인증 자체가 아닙니다.

넓은 구간은 넓다고 해석한다

x가 클 때 M이 작으면 확률 질량을 거의 보존하지 못합니다. 성분 구간은 여전히 유효하지만 확률값이나 비영 부호를 분해하기에는 너무 넓을 수 있습니다. 이를0이나 정밀해 보이는 중간값으로 바꾸지 않고 불확실성을 보여야 합니다.

x=100,M=0에서 보존 질량은 exp(−100)입니다. 거의 모든 사건을 누락합니다. M을 높이면 같은 물리적 질문의 계산이 개선됩니다. 시간이 더 흐르는 것이 아닙니다. 우세 시계 nu를 더 크게 선택하면 물리적 법칙이 같아도 필요한 M이 커질 수 있습니다.

구조적 항등식은 추가 정보를 줄 수 있습니다. Q=0이면 정확한 법칙은 초기 법칙이고, 활성 고리의 균일 초기 법칙은 정상입니다. 별도 정확한 논증으로 답을 알아도 일반 절단 인증은 넓을 수 있습니다. 수치 표현의 한계와 지정한 모형의 불확실성을 구별합니다.

잠재 사건·실제 이동·점유를 구별한다

이 고리는 모든 상태의 이탈률이 r로 같습니다. 따라서 각 잠재 사건에서 실제 이동이 수락될 확률 r/nu는 현재 상태에 무관합니다. Poisson 솎아내기에 따라 실제 점프 횟수의 평균은 rt입니다. 허구 사건이 없을 때만 두 기대 횟수가 같으며, 둘 다0인 자명한 경우도 포함합니다.

$$\mathbb E[K_t]=\nu t,\qquad \mathbb E[J_t]=(a+b)t.$$

어느 횟수도 상태1의 점유 확률은 아닙니다. 입자는 시계 방향으로 세 번 움직인 뒤 출발 상태로 돌아올 수 있습니다. 체류 생존 확률은 실제 점프를 한 번도 하지 않는 사건이며, 복귀 확률에는 여러 번 점프한 경로도 포함됩니다.

상태마다 이탈률이 다르면 수락 확률이 현재 상태에 의존합니다. 실제 횟수는 일반적으로 하나의 고정 전이율을 가진 동질 Poisson 횟수가 아닙니다. 다음 단원에서는 점프 순간의 균일한 방문 빈도가 물리적 시간의 균일한 점유를 뜻하지 않는 이유도 다룹니다.

실험 조작과 읽기

실제 계산 범위는 양 방향 전이율 각각0..5/s, 우세 시계0..10/s, 물리적 시간0..10s, 합이 양수인 비음수 초기 무게 세 개, 절단0..256입니다. 대화형 계산량을 위한 범위이며 이론이나 교육 분량의 한계가 아닙니다. 정수 분자와 양의 분모로 유리수를 지정합니다. 부적절한 시계는 거부하고 마지막 유효 준비를 유지해야 합니다.

비교	조작	읽고 설명할 것
단방향 고리의 두 시계	Q,t,mu0를 고정하고 nu=1과2 비교	조건부 주기는 바뀌지만 완전 반군은 같음
작은 절단과 충분한 절단	x=100을 고정하고 M=0과256 비교	보존 질량·누락 꼬리·성분 구간 폭
아주 작은 누락 질량	x=10^−12,M=256 사용	선형 표시가 불가능해도 양의 꼬리 인증 유지
허구 사건만 있는 경우	a=b=0,nu>0 지정	잠재 횟수는 늘고 실제 점프는0이며 정확한 상태 법칙은 같음

생성자 고리·조건부 법칙 표·Poisson 무게·보존/누락 질량 곡선과 성분 구간을 함께 읽으세요. 각 가로 좌표를 명시했습니다. 물리 시간 순회는 앙상블 법칙을 갱신하며 입자 경로를 추출하지 않습니다.

해설과 함께 확인하기

1. 허용되는 잠재 사건 커널을 구성한다

a=2,b=1에서 nu=3,nu=6,nu=2를 비교하세요. 어느 선택이 확률 커널인가요?

해설. nu=3이면 대각은0이고 방향 확률은2/3과1/3입니다. nu=6이면 정지1/2, 시계 방향1/3, 반시계 방향1/6입니다. 두 경우 모두 음이 아닌 성분의 합이1이고 같은 Q를 복원합니다. nu=2이면 대각이−1/2이므로 확률 해석이 실패합니다.

2. 주기성과 물리적 완화를 비교한다

a=1,b=0,nu=1이고 상태0에서 출발합니다. 잠재 사건 여섯 번 뒤의 상태를 구하세요. 이것이 물리적 시간6에서의 법칙도 결정하나요?

해설. 결정적 시계 방향 갱신 여섯 번이면0으로 돌아옵니다. 물리적 시간6에서는 Kt가 고정된 숫자6이 아니라 Poisson 무작위 변수입니다. 세 나머지류가 모두 양의 질량을 가지며 지수 식은 각 상태1/3으로 접근합니다. 사건 횟수와 시간 구간은 서로 다른 질문입니다.

3. 절단0에서의 질량을 설명한다

a=1,b=0,nu=1,t=1,mu0=(1,0,0),M=0입니다. 보존 벡터를 구하고 정규화 후 의미를 설명하세요.

해설. 사건0번의 항만 남아 v0=(exp(−1),0,0), 보존 질량 exp(−1), 꼬리1−exp(−1)입니다. 정규화하면(1,0,0)이며 잠재 사건이 없다는 조건 아래의 상태 법칙입니다. 상태1,2에서 끝나는 경로도 포함하는 시간1의 무조건부 법칙은 아닙니다.

4. 성분별 인증을 유도한다

각 보존 성분에 누락 총질량을 더하면 왜 유효한 상한인가요? 세 상한의 합이1일 필요가 없는 이유도 설명하세요.

해설. 누락 조건부 벡터는 음이 아닌 성분의 합이1입니다. 어느 한 상태로 가는 기여도 해당 항의 총무게 이하입니다. 누락 횟수를 합하면 각 성분의 오차가 tau_M 이하입니다. 이는 성분별 상한이며 모든 최대값이 동시에 가능하다는 주장이 아닙니다. 상한과1 중 작은 값을 취하는 것은 알려진 확률 범위와의 교집합이지 벡터 재정규화가 아닙니다.

5. 아주 작은 꼬리와0을 구별한다

x=10^−12,M=256에서 양의 급수 꼬리 계산은 왜 화면의 보존 질량을1에서 빼는 것보다 유익한가요?

해설. 첫 누락 계수는 x^257/257!로 엄밀히 양수지만 binary64의 선형 표시 범위보다 훨씬 작습니다. 반올림된1을 빼면0이 됩니다. 양의 유리수 계수와 양의 지수 구간의 곱은 양의 하한을 유지하고 기하급수 나머지는 합하지 않은 항을 제어합니다. 소수 표시 불가는 표현의 한계이며 불가능 사건을 뜻하지 않습니다.

6. 허구 사건과 정상 초기값을 진단한다

a=b=0,nu=2,t=3이면 기대 실제 점프 횟수는 얼마인가요? 활성 고리를 균일하게 초기화했을 때 정확한 정상 법칙이라는 사실은 모든 유한 Poisson 절단의 질량도1임을 뜻하나요?

해설. 잠재 횟수의 평균은6이지만 R=I이므로 기대 실제 횟수는0입니다. 정확한 법칙은 초기 법칙을 유지합니다. 활성 고리의 균일 초기값은 mu0 Q=0이며 모든 조건부 벡터도 균일합니다. 그러나 x>0인 유한 부분 벡터는 그 균일 법칙의 s_M배이며 양의 누락 질량이 있습니다. 정확한 정상성과 수치 확률의 완전 보존은 다른 명제입니다.

다음 단원에서는 같은 이탈률 대신 상태별 체류율을 사용하고, 물리적 시간의 점유와 실제 점프 순간에 관찰한 사슬의 점유를 비교합니다.