Hamiltonian pulse와 시간 순서

1. 생성자를 두 번 적용하면 새로운 질문이 생긴다

상수 Hamiltonian은 고정된 규칙으로 진폭을 회전시킨다. 이제 그 규칙을 바꿀 수 있다고 하자. 일정 시간 A를 적용하고, 다른 일정 시간 B를 적용한다. 순서를 뒤집으면 최종 준비가 같을까? 두 규칙을 지속 시간에 따라 평균한 하나의 규칙으로 대체해도 같을까? 이 질문은 연산자와 물리 시간에 관한 것이며 측정 순서에 관한 질문이 아니다.

닫힌 C² 순수 상태·Hermitian 행렬·양의 ℏ를 유지한다. 외부에서 미리 정한 순간에 Hamiltonian을 바꾸는 이상화다. 열저장고나 측정 장치의 세부 동작은 모형에 없다. 서로 다른 시각과 스케줄은 같은 초기 상태를 별도로 준비하여 비교한다. pulse 사이에 사영 측정이나 collapse를 끼워 넣지 않는다.

2. 먼저 한 작용은 오른쪽에 쓴다

상수 Hamiltonian 전파를 UA(s)·UB(s)로 쓰자. A를 먼저, B를 나중에 적용하려면 초기 열벡터에 UA를 곱하고 그 결과에 UB를 곱한다. 행렬식에서는 먼저 작용한 것이 오른쪽이다.

$$U_A(s)=e^{-iH_As/\hbar},\quad U_B(s)=e^{-iH_Bs/\hbar},\qquad U_{AB}(T)=U_B(\tau_B)U_A(\tau_A),\quad U_{BA}(T)=U_A(\tau_A)U_B(\tau_B),\quad T=\tau_A+\tau_B.$$

두 스케줄은 각 Hamiltonian 아래에서 같은 총시간을 보낸다. 그래도 결과 연산자가 같을 필요는 없다. 서로 다른 두 선형 층을 합성할 때 첫 층의 출력이 다음 층의 입력이 되는 것과 비슷하다. 순서를 바꾸면 일반적으로 출력이 달라진다. 여기서는 각 층이 모두 unitary하므로 단순히 norm이 줄어서 생긴 차이라고 설명할 수 없다.

3. 중간 경로는 같은 물리 시간에서 비교한다

끝점의 곱만으로는 중간 궤적을 알 수 없다. 같은 물리 시각 t에서 한 스케줄은 이미 바뀌었고 다른 스케줄은 아직 첫 pulse일 수 있다. 실제로 각 생성자 아래에서 보낸 시간을 사용해야 한다.

$$U_{AB}(t)=U_B(\max(0,t-\tau_A))U_A(\min(t,\tau_A)),\qquad U_{BA}(t)=U_A(\max(0,t-\tau_B))U_B(\min(t,\tau_B)),\quad 0\le t\le T.$$

τA=2/3, τB=4/5이면 T=22/15다. t=4/5에서 정순은 A를2/3, B를2/15 사용했다. 역순은 B를4/5, A를0 사용했다. 두 경로 각각의 시간은 비음이고 합이4/5다. 시간 표시를 보지 않고 같은 단계 번호만 비교하면 이 차이를 놓치기 쉽다.

공통 표시 격자에는 두 전환 시각을 정확히 포함한다. 두 시각이 규칙적인 표본 격자 위에 있지 않아도 마찬가지다. 전환 순간에는 U(0)=I이므로 상태가 연속이다. H가 바뀌므로 미분은 불연속일 수 있다. 경계에서 오른쪽 구간의 이름을 표시하는 것은 새 pulse가 활성화되었다는 뜻이지 상태가 갑자기 점프했다는 뜻이 아니다.

4. 상수 가중 평균도 하나의 다른 스케줄이다

무차원 적분 작용 GA·GB를 정의하자. 총시간이 양수일 때 가중 평균 Hamiltonian과 그 상수 진화는 다음과 같다.

$$G_A=H_A\tau_A/\hbar,\quad G_B=H_B\tau_B/\hbar,\quad G=G_A+G_B,\qquad \overline H=\frac{\tau_AH_A+\tau_BH_B}{T},\quad U_{\mathrm{avg}}(t)=e^{-iGt/T}.$$

끝점에서는 exp[−i(GA+GB)]이며 일반적으로 exp(−iGB)exp(−iGA)와 다르다. 행렬 성분을 평균하면 올바른 Hermitian 비교 생성자를 만들 수 있다. 하지만 exponential이 덧셈에 대해 분배된다는 증명은 아니다. X와 Z처럼 수직인 축의 평균은 대각 방향을 가리킨다. 그 전체 생성자를 exponentiate해야 하며 독립적으로 회전한 두 상태를 더해서 대체할 수 없다.

2차원에서 임의의 Hermitian 적분 작용 M은 scalar 중심 c와 traceless 부분 D로 나뉜다. 그 exponential은 직접 계산할 수 있다.

$$c=\tfrac12\operatorname{Tr}M,\quad D=M-cI,\quad r^2=\tfrac12\operatorname{Tr}(D^2),\quad D^2=r^2I,\qquad e^{-iM}=e^{-ic}\left(\cos r\,I-i\frac{\sin r}{r}D\right).$$

r=0이면 D=0이므로 대괄호는 I다. 그래도 전역 scalar 위상은 남는다. traceless 작용이 서로 상쇄되었다고 전체 평균 생성자까지0이라고 판단하면 안 된다.

5. X 다음 Z를 손으로 계산해보자

HA=X, HB=Z, 두 지속 시간1, ℏ=1, 초기 상태 |0⟩를 선택한다. c=cos1, s=sin1로 두고 직접 곱하면 끝점 벡터 두 개를 얻는다.

$$\psi_{AB}=\begin{pmatrix}ce^{-i}\\-is e^{i}\end{pmatrix},\qquad \psi_{BA}=\begin{pmatrix}ce^{-i}\\-is e^{-i}\end{pmatrix},\qquad p_Z(+1)=c^2,\quad p_Z(-1)=s^2.$$

두 벡터의 Z 확률은 같다. 하지만 둘째 성분의 상대 위상이 달라서 다른 측정은 순서를 감지한다. +X=(1,1)/√2의 확률은 성분을 더한 크기 제곱을2로 나누면 된다. A→B에서는(1+sin²2)/2, B→A에서는1/2다. 앞의 값은 약0.913411이며 뒤는 정확히0.5다. 두 상태의 fidelity는1−sin²2 sin²1로 약0.414549이다.

끝점 진단	A→B	B→A
norm 제곱	1	1
Z의 +1 결과	cos²1	cos²1
+X 확률	(1+sin²2)/2	1/2
중간 collapse	없음	없음

같은 Z histogram으로 같은 최종 ray라고 판단할 수 없다. 특별한 부분공간에 속한 한 준비에서 결과가 같다고 두 연산자가 가환한다고 판단할 수도 없다. 연산자 같음은 한 상태에서의 같음보다 강하고, 한 상태의 같음은 선택한 histogram 하나의 같음보다 강하다.

6. 가환하면 끝점은 같지만 모든 중간 시점이 같지는 않다

[GA,GB]=0이면 합의 exponential과 순서 있는 곱이 같다. 이는 두 pulse 스케줄과 평균 스케줄의 끝점 일치를 보장하는 충분조건이다. 비가환 생성자도 특별한 지속 시간에서는 exponential이 우연히 같아질 수 있으므로 필요조건이라고 주장하지 않는다.

HA=Z, HB=2Z, τA=τB=1, 초기 +X를 생각하자. 두 Hamiltonian은 가환한다. t=1에서는 정순이 Z, 역순이2Z, 평균이3Z/2의 작용을 누적했다. 상대 위상이 서로 다르다. t=2에서는 모두3Z를 누적하여 일치한다.

물리 시각	A→B 누적 작용	B→A 누적 작용	평균 누적 작용
0	0	0	0
1	Z	2Z	3Z/2
2	3Z	3Z	3Z

두 Hamiltonian이 동일한 경우는 더 강한 간단한 사례다. 지속 시간이 달라도 모든 공통 시각의 세 경로가 같다. 한 pulse의 지속 시간이0이면 남은 pulse가 세 경로를 일치시킨다. 두 지속 시간이 모두0이면 항등 전파는 정의되지만, 평균 Hamiltonian에는 T=0으로 나누는 문제가 있다. 임의의 영행렬을 지정하지 않고 사용 불가를 뜻하는 null로 반환한다.

7. 작은 작용의 첫 차이는 교환자가 예측한다

두 적분 작용을 함께 λ배하고 exponential을 전개해보자. 순서 차이에서 상수항과1차항은 상쇄된다. 처음 남는 항은2차이며 부호는 실제 곱의 순서로 결정된다.

$$e^{-i\lambda G_B}e^{-i\lambda G_A}-e^{-i\lambda G_A}e^{-i\lambda G_B} =\lambda^2[G_A,G_B]+O(\lambda^3),$$ $$e^{-i\lambda G_B}e^{-i\lambda G_A}-e^{-i\lambda(G_A+G_B)} =\tfrac12\lambda^2[G_A,G_B]+O(\lambda^3).$$

GA=δX, GB=δZ이면 순서 차이의 leading 항은 δ²[X,Z]=−2iδ²Y다. 작은 두 지속 시간을 함께 절반으로 줄이면 Frobenius 순서 차이 제곱이 약1/16로 줄어든다. 더 높은 차수의 항이 남으므로 근사적인 비율이다. 교환자 norm은 유용한 구조 정보지만 잘린 급수가 유한 pulse의 정확한 항등식이나 인증된 전역 오차 상한은 아니다.

실험은 leading 행렬·전체 차이·나머지를 따로 유지한다. 그림을 단순하게 만들기 위해 실제 전파를 leading 항으로 몰래 바꿔서 표시하면 안 된다.

8. 양의 pulse 순서를 바꾸는 것은 되돌리기가 아니다

곱을 역으로 만들려면 인자의 순서를 뒤집고 각각을 역으로 만들어야 한다. 여기서 역연산은 양의 지속 시간으로 순서를 바꾼 스케줄과 다르다.

$$U_{AB}(T)^{-1}=U_A(-\tau_A)U_B(-\tau_B),\qquad U_{AB}(T)^{-1}U_{AB}(T)=I.$$

B→A로 바꿔도 두 Hamiltonian 아래에서 모두 양의 물리 시간이 흐른다. exponential의 부호를 바꾸지 않는다. 위의 음의 시간 인자는 수학적 역연산을 표현한다. 실제로 구현하려면 적절하게 생성자를 제어해야 하며 실험실 시계가 문자 그대로 뒤로 흐른다는 뜻이 아니다.

출력 norm이 보존되었다는 사실만으로 되돌리기에 성공했다고 판단할 수 없다. 여기의 모든 스케줄이 norm을 보존한다. 원래 전파와 곱한 결과를 I와 비교하거나 공간을 생성하는 벡터들의 작용을 확인해야 한다.

9. 보존량과 비교 지표에는 이름이 필요하다

HA가 상수인 구간에서는 HA 기대값이 보존된다. HB로 바뀐 뒤에도 그 기대값이 계속 보존될 필요는 없다. 외부에서 Hamiltonian을 바꾸므로 전환 순간에 부여되는 에너지가 달라질 수 있다. 정해진 구동 아래 닫힌계의 unitary 진화라고 해서 전체 스케줄에서 하나의 전역 에너지가 보존되는 것은 아니다. 상태 자체는 여전히 연속이다.

평균 경로는 자신의 상수 생성자 G의 기대값을 보존한다. 이는 비교 경로의 성질이며 pulse 경로에도 그 보존을 강요할 근거가 아니다. HA·HB의 기대값을 별도로 표시한다.

상태 fidelity는 공통 위상을 무시하고 대표 벡터 차이 제곱은 무시하지 않는다. |Tr(U†V)/2|²에 기초한 process fidelity는 두 unitary 작용을 공통 위상까지 같게 보는 지표이며 Frobenius 행렬 차이는 그 위상도 포함한다. 한 상태에서의 fidelity만 맞는다고 전체 process 비교가 맞는 것은 아니다. scalar 에너지 이동은 대표를 바꾸면서 ray는 유지할 수 있다.

10. 계산을 살펴보는 방법

먼저 X/Z 예제에서 마지막 Z 막대가 같을지 예측하고 +X·+Y 확률을 비교한다. 다음에는 가환하는 Z와2Z를 골라 끝점 전에 스케줄 중간을 살펴본다. 마지막으로 두 지속 시간을 함께 줄여 교환자의 국소 차수를 확인한다. 물리 시간·pulse 지속 시간·표시 표본 번호를 서로 구별한다.

에너지는 E0, 시간은 T0, ℏ는 E0T0 단위이며 적분 작용은 무차원이다. 수치 가족은 소유 정수 필드27개를 사용한다. Hamiltonian·지속 시간·작용·교환자·격자는 정확한 복소 유리수다. 일반적인2차원 Hermitian exponential에는 방향성 제곱근·삼각함수 구간을 사용하며 작업 연산은768bit, 공개 관측은512bit다. 진화 결과를 재정규화해서 오차를 숨기지 않는다.0을 포함하는 미해결 관측은 null을 유지할 수 있다. 그림의 반올림된0이 구조적 같음의 증명은 아니다.

독립 SymPy 행렬과 mpmath 일반 행렬 exponential로 복소 입력·비직교 축·상쇄·큰 위상·아주 작은 비영 작용을 대조한다. 별도 ODE 검산은 각 상수 구간을 적분하고 전환점을 넘어 이어간다. 그 허용 오차는 수치 대조 기준이며 ODE 적분기 자체의 인증 구간 정리가 아니다. 경계 연속성·비음 경과 시간·역전파는 별도로 확인한다.

11. 해설과 함께 풀어보기

1. A를 먼저, B를 나중에 적용하는 행렬 곱은?

해설. UB UA다. 열벡터에서는 가장 오른쪽 인자가 먼저 작용한다. 시간 순서를 AB라고 부른다고 행렬 곱셈 규칙이 달라지지 않는다.

2. τA=2/3, τB=4/5일 때 t=4/5의 정순 경과 시간은?

해설. A는2/3, B는2/15 사용하여 합이4/5다. 역순에서는 B를4/5, A를0 사용했다. 같은 물리 시각이라고 같은 pulse 노출 시간을 갖는 것은 아니다.

3. X/Z 예제의 마지막 Z histogram이 같으면 순서가 무관할까?

해설. 아니다. +X 확률은 약0.913411과0.5이며 ray도 다르다. 측정 하나로는 바뀐 상대 위상을 놓칠 수 있다.

4. HA·HB가 가환하면 모든 중간 궤적이 같을까?

해설. 아니다. Z와2Z 예제의 t=1에서 두 스케줄의 누적 작용은 다르다. 가환성은 끝점에서 동일한 전체 pulse 노출을 합치는 것을 허용할 뿐, 서로 다른 부분 노출까지 같게 만들지는 않는다.

5. GA+GB=0이면 pulse 경로의 초기 ray가 항상 유지될까?

해설. 일반적으로 아니다. 같은 지속 시간과 HB=−HA이면 평균 경로는 정지하지만 pulse 경로는 떠났다가 돌아올 수 있다. 끝점의 항등 작용이 중간 진화를 없애지는 않는다.

6. 지속 시간을 절반으로 한 실험으로 보편적인 유한 pulse 오차 상한을 증명할 수 있을까?

해설. 아니다. 순서 차이 제곱이 대략1/16로 줄면 국소2차 leading 항을 뒷받침한다. 나머지와 적용 매개변수 범위는 별도로 분석해야 한다. 몇 번 관측한 비율이 전체 입력 영역의 상한을 대신하지 않는다.

12. AI 연구와 남은 범위

이 실험은 시간 순서·연산자 분할·제어 동역학·AI의 순서에 민감한 합성을 구체적으로 소개한다. 작은 간격에서 평균 생성자의 exponential이 합성을 근사할 수 있는 이유와, 유용한 근사에는 크기 척도와 오차 분석이 필요한 이유를 보여준다. 반복 분할과 일반적인 시간 순서 전개는 별도의 유도가 필요하다.

일반 연속 구동·열린계·혼합 상태 동역학·얽힘·미분 연산자 정의역은 뒤의 주제로 남는다. 이 모형에는 중간 측정이나 collapse가 없다. 읽기 화면은 도서 → Interactive Book에서 연다.

닫힌계 unitary 진화의 배경 규약은 Preskill §2.1, Axiom4에서, 삼각함수 급수는 NIST DLMF §4.19에서 확인했다. pulse 예제·중간 경로 비교·교환자 부호·수치 계약은 여기서 직접 유도하고 독립 계산과 대조했다.