분배함수와 에너지 cumulant 생성

정규화 상수가 관측량을 생성한다

어떤 실험에서 준비할 수 있는 배치를 유한한 목록으로 적었다고 생각해 봅시다. Hamiltonian은 각 배치의 에너지를 정하고, 저장고는 그 배치에 부여할 가중치를 정합니다. 분배함수는 이 가중치를 더한 값입니다. 처음에는 확률의 합을1로 만드는 분모처럼 보이지만, 조절 변수를 바꾸며 미분하면 평균 에너지·요동·응답까지 얻을 수 있습니다.

가격이 다른 물건들을 모은 상점을 떠올려 보세요. 물건의 개수를 세는 일과 가격을 가중하여 더하는 일은 다릅니다. 가중치의 합을 알았다고 해서 모든 물건의 다른 속성이나 손님이 이동하는 속도까지 아는 것은 아닙니다. 마찬가지로 분배함수는 정적인 준비를 설명하며, 전이율 행렬이나 완화 시간을 자동으로 제공하지 않습니다.

이 단원은 앞의 정준 이진 자리 예제를 명시적인 유한 스펙트럼으로 확장합니다. 먼저 관계식을 유도한 뒤 수치 결과를 읽습니다. 정규화와 에너지 응답의 출발점은 Tong 강의노트1.3.1–1.3.2절에서 확인할 수 있습니다. 아래의 세 준위 손계산, source 예제, 반례와 수치 검산은 여기서 명시한 준비를 사용합니다.

상태·에너지 기준·단위를 먼저 명시한다

서로 구별되는 미시상태가 m개 있습니다. 상태 i의 고정 상대 에너지를 e_i, 공통 에너지 기준을 c라고 쓰겠습니다. 에너지의 단위는 줄, 온도는 켈빈이며 역온도의 단위는 줄의 역수입니다.

$$E_i=c+e_i,\qquad \beta=\frac{1}{k_BT},\qquad [E_i]=\mathrm{J},\quad [\beta]=\mathrm{J}^{-1}.$$

여기서는 정준 준비를 별도로 지정합니다. Hamiltonian만으로 평형을 강제하거나 제약을 제거하지 않습니다. 온도로 미분할 때는 상태 목록·각 에너지·계수 측도를 고정합니다. 뒤에서는 이 가정을 일부러 깨서 무엇이 달라지는지 확인합니다. 유한 목록의 스펙트럼은 위아래로 유계이므로 유한한 비영 온도의 양쪽 부호에서 정준 합을 정규화할 수 있습니다. 그렇다고 임의의 실제 물질에 음의 온도 평형이 가능하다는 결론은 아닙니다.

계산기는1개부터32개까지의 유한한 상대 에너지, 유한한 공통 기준과 온도를 받습니다. 이 자원 제한은 실험의 구현 범위이며 통계역학의 정리가 아닙니다. 공통 기준과 상대 에너지는 마지막 숫자 표시 전에 더합니다. 따라서 표시된 에너지에서 작은 차이가 보이지 않아도 계산 내부에는 지정한 간격이 남을 수 있습니다. 반대로, 이미 반올림된 평평한 에너지 목록을 전달하면서 잃어버린 차이는 복구할 수 없습니다.

미시상태를 정규화한 뒤 준위별로 모은다

목록의 각 미시상태에 가중치1을 주는 계수 측도를 사용합니다. 정준 분배함수와 확률은 다음과 같습니다.

$$Z(\beta)=\sum_{i=1}^{m}e^{-\beta E_i},\qquad p_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z(\beta)}.$$

가중치는 아직 확률이 아닙니다. 서로 다른 두 배치의 에너지가 같아도 목록에서는 각 배치가 합에 한 번씩 들어갑니다. 다른 표현으로는 같은 에너지를 한 줄로 모으고 퇴화도 g를 곱할 수 있습니다. 두 표현은 같은 대상을 세는 서로 다른 방식이며, 이미 배치를 반복해서 쓴 뒤 퇴화도를 다시 곱하면 이중 계수가 됩니다.

표현	세는 대상	Z에 더하는 항
에너지 E의 이름 붙은 상태 하나	미시상태 하나	exp(−βE)
같은 에너지 E를 갖는 서로 다른 상태 g개	묶은 에너지 준위 하나	g exp(−βE)
상태 레이블에 정규화한 사전확률	다른 기준 측도	그 사전 가중치를 별도로 명시

모든 가중치를 m으로 나누면 p는 같지만 Z는 Z/m이 되고 로그는 ln m만큼 작아집니다. source에 대한 일부 미분은 유지되어도 물리적인 상태 계수 규칙은 달라졌습니다. 확률 사전으로 계수 측도를 몰래 바꾼 뒤 같은 열역학적 엔트로피를 계산했다고 말하면 안 됩니다.

세 준위를 손으로 계산한다

공통 기준을0으로 두고 상대 에너지를0, ε, 2ε로 정합니다. ε/(kBT)=ln2인 이상적 기준에서 가중치와 정규화한 확률은 다음과 같습니다.

$$(w_0,w_1,w_2)=(1,1/2,1/4),\qquad Z=7/4,\qquad (p_0,p_1,p_2)=(4,2,1)/7.$$

준위 지표를 K=0,1,2로 쓰면 E=εK입니다. 세 결과를 직접 더하면 다음 값을 얻습니다.

$$\langle K\rangle=\frac47,\qquad \operatorname{Var}(K)=\frac{26}{49},\qquad \kappa_3(K)=\frac{114}{343}.$$

K	확률	평균에 대한 기여	두 번째 원시 모멘트에 대한 기여
0	4/7	0	0
1	2/7	2/7	2/7
2	1/7	2/7	4/7

두 번째 원시 모멘트는6/7이며, 여기에서 평균의 제곱을 빼면26/49입니다. 실제 에너지의 평균·분산·세 번째 cumulant에는 각각 ε·ε²·ε³가 붙습니다. 확률의 퍼짐과 에너지의 퍼짐을 단위 없이 같은 숫자처럼 비교하지 마세요.

손계산은 정확한 로그2 관계를 가정합니다. 컴퓨터에는 ε·T·kB의 반올림된 수치가 저장됩니다. 따라서 이상적인 유리 예제와 별개로 실제 전달된 이진 값에 대한 독립 참조를 사용합니다. 이상적 항등식을 그대로 정확한 부동소수점 oracle로 취급하지 않습니다.

첫 번째 미분은 평균 에너지를 만든다

Hamiltonian을 고정하고 유한 합을 미분합니다. 지수함수에서 에너지 인자가 내려오므로 다음 식을 얻습니다.

$$\partial_\beta Z=-\sum_i E_i e^{-\beta E_i},\qquad -\partial_\beta\ln Z=-\frac{\partial_\beta Z}{Z}=\sum_i p_iE_i=U.$$

로그가 중요합니다. Z의 미분은 정규화하지 않은 가중 에너지 합이고, ln Z의 미분은 확률을 정의할 때 사용한 같은 정규화 상수로 나눕니다. 앞의 음수 부호는 Boltzmann 지수의 음의 에너지에서 나옵니다.

단위도 확인할 수 있습니다. 무차원 로그를 역줄 단위의 변수로 미분하면 줄 단위가 됩니다. β를 온도로 바꾸면서 연쇄법칙을 생략하면 부호와 척도가 달라집니다. 실험에서는 저장고 조건을 바꾸어 따로 준비한 평형 분포들 사이의 변화를 뜻합니다. 한 미시 궤적에서 시간이 흐를 때의 에너지 변화율과는 다른 질문입니다.

두 번째 미분은 분산과 열용량을 만든다

한 번 더 미분하면 두 번째 모멘트와 평균 제곱의 차이가 나옵니다.

$$\partial_\beta^2\ln Z=\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2=\operatorname{Var}(E)\geq0.$$

곡률이 비음수이므로 ln Z는 β에 대해 볼록합니다. 직관적으로 사용할 수 있는 에너지 퍼짐이 크면 편향을 조절할 때 평균 에너지도 더 민감하게 반응할 수 있습니다. 모든 상태가 같은 에너지 하나를 공유하면 에너지 분산은0이어도 상태 레이블의 불확실성은 남을 수 있습니다.

고정 에너지 준위에서 dβ/dT를 적용하면 정준 열용량 식을 얻습니다.

$$C=\left.\frac{\partial U}{\partial T}\right|_{E_i}=\frac{\operatorname{Var}(E)}{k_BT^2},\qquad \frac{C}{k_B}=\beta^2\operatorname{Var}(E).$$

분산의 단위는 J²이고 C의 단위는 J/K입니다. 서로 연결된 관측량이지 같은 물리량이 아닙니다. 이 유한 고정 Hamiltonian 모형에서는 비영 온도의 두 부호 모두 C가 비음수입니다. 인구역전은 준비를 바꾸지만 온도 제곱의 부호를 음수로 만들지는 않습니다.

수치 계산에서는 매우 큰 두 표시 모멘트를 빼면서 작은 분산을 잃을 수 있습니다. 같은 분산을 양수인 상태 쌍 기여의 합으로 표현하면 그 상쇄를 피할 수 있습니다. 계산기는 표시한 두 모멘트를 다시 빼는 대신 그 기여들의 구간을 계산합니다.

고차 미분은 cumulant를 생성한다

에너지에 보조 source t를 걸어 봅시다. t의 단위는 역줄입니다. 모멘트 생성함수는 분배함수의 비로 쓸 수 있으므로 로그는 다음과 같습니다.

$$K_E(t)=\ln\langle e^{tE}\rangle_\beta=\ln Z(\beta-t)-\ln Z(\beta).$$

t=0에서 미분하면 cumulant를 얻습니다.

$$\kappa_r(E)=(-1)^r\partial_\beta^r\ln Z,\qquad \kappa_1=U,\quad \kappa_2=\operatorname{Var}(E),\quad \kappa_3=\langle(E-U)^3\rangle.$$

세 번째 cumulant는 부호를 가집니다. 분산이 같아도 반대 방향으로 비대칭인 준비를 구별할 수 있습니다. 대칭인 세 준위 스펙트럼에서 온도 부호를 반전하면 중심 기준의 평균 에너지와 세 번째 cumulant의 부호가 반전되고 분산과 엔트로피는 유지됩니다.

0에 가까운 수가 나왔다고 곧바로 대칭성의 증거가 되지는 않습니다. 계산기는 모든 에너지가 같을 때 구조적0을 선언하고, 그 외에는 방향성 반올림 구간을 정밀하게 좁힙니다. 정밀도 상한에서도 요구한 상대 정확도를 얻지 못하면 미해결 상태로 표시하되, 구간이 이미 확인한 부호는 보존합니다. 이는 수치적 제한이며 cumulant가 사라진다는 증명이 아닙니다.

다른 관측량을 얻으려면 source를 추가한다

관측량 A를 연구하려면 모든 상태에서 A의 값을 주고 source를 추가해야 합니다. 여러 고정된 고전 feature에 대한 로그 정규화 함수는 다음 관계를 만족합니다.

$$\mathcal A(\theta)=\ln\sum_i e^{\theta\cdot A_i},\qquad \nabla_\theta\mathcal A=\langle A\rangle,\qquad \nabla_\theta^2\mathcal A=\operatorname{Cov}(A).$$

source와 해당 feature의 곱은 무차원이어야 합니다. 공분산 Hessian은 양의 준정부호이지만 항상 양의 정부호인 것은 아닙니다. 어떤 feature 선형결합이 모든 허용 상태에서 상수이면 그 방향의 분산은0입니다. 이는 매개변수 식별성의 문제이지, 다른 모든 방향에서도 요동이 없다는 뜻이 아닙니다.

에너지만의 Z가 모든 관측을 지정하지는 않습니다. 두 준위에 A의 값을(0,1)과(1,0)으로 각각 붙이면 Z는 같아도 평균 A는 r과1−r로 달라집니다. 에너지 다중집합만으로는 어느 상태가 그 관측값을 갖는지 알 수 없습니다. 정적인 Z가 전이율을 정하는 것도 아닙니다. 이 source 관계는 명시적인 고전 feature, 또는 Hamiltonian과 포함한 모든 관측 연산자가 가환하여 공통 고유기저를 쓰는 경우를 위한 것이며, 임의의 비가환 양자 응답에 그대로 적용하는 지름길이 아닙니다.

에너지 기준을 옮기되 간격은 지우지 않는다

온도와 무관한 공통 상수 c만큼 모든 준위를 옮기면 다음과 같이 변합니다.

$$E_i\mapsto E_i+c:\quad Z\mapsto e^{-\beta c}Z,\quad \ln Z\mapsto\ln Z-\beta c,\quad U\mapsto U+c,\quad F\mapsto F+c.$$

정규화한 확률·엔트로피·분산·2차 이상 cumulant·열용량은 유지됩니다. 따라서 기준 이동은 개념적·수치적 검산에 유용합니다. 확률분포가 평범해도 Z가 매우 크거나 작을 수 있는 이유이기도 합니다.

두 가지 반올림 문제를 구별해야 합니다. 첫째, 큰 c와 작은 e_i를 보통 부동소수점 배열에서 미리 더하면 모형이 입력을 받기 전에 e_i가 사라질 수 있습니다. 둘째, 정확히 보존한 에너지를 짧은 표시 숫자로 바꾸면 간격이 화면에서만 보이지 않을 수 있습니다. 공통 기준과 상대 준위를 분리한 입력은 두 번째 문제를 다루고 입력을 만들 때 첫 번째 문제도 피할 수 있습니다. 이미 잃어버린 평평한 배열의 정보를 되돌릴 수는 없습니다. 표시 에너지가 같아 보인다는 이유만으로 상태들을 같은 준위로 묶지 마세요.

응답을 미분할 때 고정하는 것을 확인한다

에너지 준위 E_i(T) 자체가 온도에 따라 움직이면 T를 바꿀 때 Hamiltonian도 변합니다. 직접 미분하면 다음 식을 얻습니다.

$$\frac{d\langle E\rangle}{dT}=\langle\partial_TE\rangle+\frac{\operatorname{Cov}(E,E-T\partial_TE)}{k_BT^2}.$$

에너지의 온도 편미분이0일 때 보통의 분산 공식이 나옵니다. 그 밖에는 준위가 직접 움직이는 기여와 확률이 반응하는 기여가 모두 필요합니다. 온도에 따라 간격이 변하는 외부 제어 장치라면, 측정한 기울기를 정준 열용량이라고 부르기 전에 해당 조작 경로를 명시해야 합니다.

고정 T에서 다른 제어 매개변수 λ를 바꾸면 다음과 같습니다.

$$\partial_\lambda F=\langle\partial_\lambda E\rangle,\qquad \partial_\eta\partial_\lambda F=\langle\partial_\eta\partial_\lambda E\rangle-\beta\operatorname{Cov}(\partial_\lambda E,\partial_\eta E).$$

Hamiltonian이 제어 변수에 비선형으로 의존하면 추가적인 두 번째 미분 항이 중요합니다. 선형으로 들어가는 source와 일반적인 물질 매개변수는 같은 미분 규칙을 갖지 않습니다. 대정준 공간에서 화학 퍼텐셜 고정과 β를 곱한 화학 퍼텐셜 고정도 서로 다른 방향이라는 점과 연결해 읽으세요.

곱 분해에는 적절한 상태공간이 필요하다

두 부분이 상호작용하지 않고 전체 상태공간이 완전한 곱이면 다음처럼 분리됩니다.

$$Z_{X\times Y}=\sum_{x,y}e^{-\beta(E_X(x)+E_Y(y))}=Z_XZ_Y.$$

에너지가 더해진다는 조건과 허용된 각 부분 상태의 모든 조합이 전체에서도 허용된다는 조건이 모두 필요합니다. 고정 총 여기 수 제약은 상호작용 에너지가 없어도 두 번째 조건을 깨뜨릴 수 있습니다. 앞의 유한 저장고 실험에서 나타난 조건부 의존이 그 예입니다.

다음 결합 이진 자리 실험에서는 상호작용을 바꾸는 경우와 지지집합을 제한하는 경우를 따로 비교합니다. 분배함수의 곱 분해 실패 자체가 상호정보량은 아닙니다. 상호정보량에는 정규화된 결합분포와 실제 주변분포도 필요합니다. 서로 다른 로그 차이에 같은 이름을 붙이기보다 비교할 기준 분포를 명시하는 편이 좋습니다.

정규화한 절단 분포도 질량을 놓칠 수 있다

전체 법칙 p에서 남겨 둔 집합 A 밖의 질량이 δ이고 q가 A를 조건으로 한 법칙이면 다음과 같습니다.

$$\frac{Z_A}{Z}=1-\delta,\quad \ln Z-\ln Z_A=-\ln(1-\delta),\quad \operatorname{TV}(p,q)=\delta,\quad D(q\Vert p)=-\ln(1-\delta).$$

제외한 상태에 양의 p가 하나라도 있으면 역방향 D(p‖q)는 무한대입니다. 남은 상태만 재정규화하면 확률 합은1이 되지만 δ의 상한은 알 수 없습니다. 별도로 정당화한 꼬리 추정이 필요합니다.

뒤의 에너지 사다리 실험에서는 등비급수로 그 오차를 구합니다. 유한 상태의 정규화와 무한 상태의 정규화도 구별합니다. 유한 절단에서는 정규화되어도 원래 무한 분배함수는 발산할 수 있습니다. 상태 수 절단을 제거하는 극한은 입자 수와 부피를 무한히 늘리는 극한과 다르며, 어느 쪽도 매끈한 유한 그림 하나로 증명되지 않습니다.

숫자보다 먼저 표시 상태를 읽는다

유한 비영 온도에서는 목록의 모든 상태가 양의 확률을 갖습니다. 선형 숫자가 없다는 것은 양수가 표시 범위 밖이라는 뜻일 수 있습니다. 미해결 구간은 요구한 수치 정확도를 확보하지 못했다는 뜻이며, 온도0 극한의 수학적 무한대는 다시 다른 상황입니다.

표시 상태	의미	적절한 확인
구조적0	명시한 퇴화 또는 극한 준비가0을 증명	가정과 준비를 확인
구간 판정 완료	방향성 반올림 구간이 부호와 상대 정확도를 확인	단위를 읽고 구간을 비교
로그 꼬리 근사	양수와 극저온 생략 오차를 보존하되 로그는 근사	0을 만들지 말고 로그 척도를 비교
상한에서 미해결	사용 가능한 정밀도로 목표 정확도 미달	구간을 보존하고 수치 질문을 조정

수치 핵심은 저장된 binary64 kB 값과 실제 전달된 이진 입력의 정확한 연산을 사용합니다. 인증한 구간은 그렇게 지정한 수치 모형에 대한 것입니다. 실제 장치, 불확실한 에너지 측정 또는 정준 준비의 물리적 타당성을 인증하는 것은 아닙니다. 구간의 상대 너비 목표는 마지막 binary64 표시의 양자화 오차와 다르며, 특히 subnormal 숫자에서 이를 구별해야 합니다.

T=0 입력은 고정 Hamiltonian에서 양의 온도 쪽으로 접근하는 극한입니다. 가장 낮은 에너지 상태들에 균등한 확률을 주며 U와 F는 최소 에너지, C와2차 이상 에너지 cumulant는0으로 갑니다. 잔여 엔트로피는 kB ln g0입니다. 에너지 기준에 따라 Z는0, 유한한 바닥 퇴화도, 무한대 중 하나로 접근할 수 있습니다. 따로 반올림하여0이 된 가중치끼리 나누지 말고 정규화한 극한을 취해야 합니다.

AI 연구의 로그 정규화 함수와 연결한다

logit z_i의 log-sum-exp gradient는 softmax 벡터이고 Hessian은 diag(p)−ppᵀ입니다. 모든 logit에 같은 값을 더하면 정규화 상수는 바뀌지만 확률은 같으므로, 모든 성분이1인 방향은 영방향입니다. 같은 정규화 기하를 다른 좌표에서 보는 것입니다. 무차원 모델 logit을 곧바로 줄 단위의 물리적 에너지로 해석하지는 않습니다.

다음 변분 항등식은 근사를 점검할 때 유용합니다.

$$\ln Z=\sup_q\{H(q)-\beta\langle E\rangle_q\},\qquad D(q\Vert p)=\ln Z-H(q)+\beta\langle E\rangle_q.$$

같은 이름 붙은 상태공간의 정규화된 시도 법칙 q 전체를 비교합니다. 비음수 간극은 KL입니다. 양의 온도에서는 시도 자유에너지 최소화와 연결되지만, 음의 kBT를 곱하면 최적화 방향이 반전됩니다. 유한 스펙트럼의 로그 정규화 항등식 자체는 계속 성립합니다.

새 연구를 주장할 때는 어느 source를 바꾸고 어느 feature와 지지집합을 고정했는지, 근사가 기준 측도를 바꾸지는 않는지 적어야 합니다. 기준 이동 불변량·단위·극한·독립 참조를 확인하세요. 근사 추론의 정확도, 표본추출 효율, 물리적 평형 도달은 모두 분배함수를 언급하더라도 서로 다른 질문입니다.

풀이가 있는 연습문제

1. 퇴화 상태를 한 번만 센다

에너지(0,ε,ε)의 이름 붙은 세 상태에서 βε=ln2입니다. Z, 각 상태 확률, 들뜬 에너지 준위의 총 확률을 구하세요.

풀이. 가중치는(1,1/2,1/2)이므로 Z=2, 미시 확률은(1/2,1/4,1/4)입니다. 들뜬 준위의 총 확률은1/2입니다. 이미 목록에 적은 두 상태에 퇴화도2를 다시 곱하면 이중 계수입니다.

2. 세 번째 cumulant를 손으로 구한다

K=0,1,2의 확률이(4,2,1)/7입니다. 세 번째 원시 모멘트와 세 번째 cumulant를 구하세요.

풀이. 세 번째 원시 모멘트는(2+8)/7=10/7입니다. 평균4/7, 두 번째 원시 모멘트6/7을 이용하면10/7−3(4/7)(6/7)+2(4/7)³=114/343입니다. 에너지 단위로 바꾸려면 ε³를 곱해 J³를 얻습니다. 부호를 갖는 이 값은 분산이나 표준화한 왜도와 다릅니다.

3. 에너지 기준을 다섯 간격 옮긴다

ε와 T를 고정한 채 모든 에너지에5ε를 더하면 어느 관측값이 바뀔까요?

풀이. U와 F는5ε 증가하고 ln Z는5βε 감소합니다. 정규화한 확률·엔트로피·분산·세 번째 cumulant·열용량은 같습니다. ε까지 바꾸거나 기준을 온도 의존적으로 바꾸면 다른 실험입니다.

4. 에너지의 분배함수가 모든 관측을 식별할까

두 준위에서 관측량 A를 한 모형에서는(0,1), 다른 모형에서는(1,0)으로 지정했습니다. Z가 같으면 평균 A도 같을까요?

풀이. 아닙니다. 들뜬 상태 확률이 r이면 평균은 r과1−r입니다. 에너지 스펙트럼이 정한 가중치는 같지만 관측값의 상태별 배치가 다릅니다. 그 관측의 평균을 생성하려면 source를 넣은 정규화 함수에 해당 상태별 값을 포함해야 합니다.

5. source의 영방향을 찾는다

무차원 feature를 A1=K, A2=2K로 정하면 공분산 Hessian은 양의 정부호일까요?

풀이. Var(K)에 행이(1,2)와(2,4)인 행렬을 곱한 값입니다. 양의 준정부호이며 영방향은(2,−1)입니다. 2A1−A2가 모든 상태에서0이기 때문입니다. 같은 feature 관계에서 표본 수만 늘려도 중복 매개변수의 식별성을 얻지는 못합니다.

6. 온도를 바꾸면서 준위도 움직인다

고정 a=(0,ln2)에 대해 E_i(T)=kBT a_i입니다. 실제 U의 온도 미분과 고정 Hamiltonian의 요동 공식을 비교하세요.

풀이. 확률은(2/3,1/3)로 유지되어 U=kBT ln2/3, dU/dT=kB ln2/3입니다. 에너지 분산을 고정 준위 식에 넣으면 kB(ln2)²(2/9)로 다른 값이 나옵니다. 일반 미분 식에서는 준위의 명시적 이동 항이 실제 기울기를 주고 E−T∂TE는0입니다. 분산 계산이 틀린 것이 아니라 원래의 고정 Hamiltonian 가정이 성립하지 않은 것입니다. 이처럼 준위를 함께 움직이며 온도를0으로 보내는 경로도 계산기의 고정 Hamiltonian 온도0 관례와 다릅니다.

생성함수 관계를 실험 화면과 연결하기

세 준위 손계산을 선택하고 상대 에너지 그림과 확률 표를 함께 읽으세요. 에너지가 같아도 각 지수는 이름이 다른 미시상태입니다. 계산된 법칙을 보기 전에 (4,2,1)/7을 예상하고, U·Var(E)·세 번째 cumulant를 ε·ε²·ε³로 각각 나누어 손계산과 비교하세요. SI 단위를 함께 적으세요.

실험	바꾸거나 비교할 것	구별할 내용
큰 공통 기준·같은 간격 → 입력 전에 소실된 간격	별도 c와 계산 전에 평평하게 반올림된 목록 비교	화면의 자릿수 생략과 입력에서 이미 사라진 정보는 다름
같은 준위·음의 온도	상대 준위를 유지하고 T의 부호 변경	유계 인구역전 법칙은 T=0의 바닥 극한과 다른 준비
온도0의 두 바닥상태 → 모든 준위가 같은 에너지	어느 레이블들이 최소 에너지를 공유하는지 비교	에너지 분산0이 상태 레이블 엔트로피0을 뜻하지 않음

상태 추가는 상대 에너지가0인 새로운 이름 붙은 상태를 넣습니다. 들뜬 준위의 퇴화도를 늘리려면 새 상태의 에너지를 기존 들뜬 준위로 바꾼 뒤 비교하세요. 상태를 추가·삭제하면 계수 측도와 정규화 상수가 달라집니다. 반면 공통 기준만 옮기면 정규화된 법칙은 같습니다. 준위 이동과 에너지 기준 이동은 서로 다른 조작입니다.

화면은 지정한 스펙트럼 하나를 계산합니다. 앞의 source-feature 관계와 온도 의존 Hamiltonian 예제는 유도이며, 추가 source 벡터나 온도 의존 Hamiltonian 입력을 제공하는 것은 아닙니다. 고정 스펙트럼의 응답을 확인하려면 상대 준위와 c를 모두 유지하고 유한한 비영 기준 온도 근처에서 T를 조금 바꾸세요. U의 변화와 C에 온도 변화를 곱한 값을 비교하세요. 로그·확률·에너지는 단위가 다르므로 서로 대신 넣지 마세요.