C4 표현·실수 불가약 성분

표현은 군 구조를 선형화합니다

표현 ρ는 군 원소를 가역 선형 연산자로 보내고 곱을 보존합니다. 차수 4의 순환군 C4 생성자가 네 표본을 (Px)[n]=x[(n−1) mod 4]로 한 칸 옮기게 합니다. P⁴=I이므로 R⁴ 위의 표현입니다.

불변 부분공간은 모든 군 원소가 그 안으로 보내는 공간입니다. 불가약 표현은 비영이며 적절한 비영 불변 부분공간이 없는 표현입니다. 계수 체를 명시해야 합니다. 실수 불가약성과 복소화 후 불가약성은 다를 수 있습니다.

정규직교 분해 구하기

다음 네 기저를 사용합니다.

첫째는 trivial 표현, 둘째는 한 칸 이동마다 부호가 바뀌는 alternating 표현을 만듭니다. 마지막 둘은 평면입니다. 계수는 a_c=(x₀−x₂)/√2, a_s=(x₁−x₃)/√2이고 한 칸 이동은 이 쌍을 π/2 회전시킵니다.

그림의 파랑·주황 벡터는 이 평면 계수의 이동 전후이며 시간 표본 자체가 아닙니다. 표는 세 표현 block을 모두 사용해 이동한 표본을 복원하고 직접 cyclic shift와 비교합니다.

실수에서 평면이 불가약인 이유

2차원 평면의 적절한 비영 실수 부분공간은 직선입니다. 불변 직선이 있으면 quarter-turn J의 실수 고유벡터가 있어야 하지만 특성다항식 λ²+1에는 실수 근이 없습니다. 따라서 실수에서 이 평면은 불가약입니다.

복소수에서는 J의 고유값 ±i와 1차원 고유직선이 있어 복소화한 평면이 두 character로 갈라집니다. 유한 가환군 C4의 복소 표현이 1차원 character들로 분해된다는 사실과 실수 2차원 block은 모순되지 않습니다.

에너지와 손계산 예제

정규직교성으로 Σxₙ²=a₀²+a₂²+a_c²+a_s²입니다. x=(1,0,0,0)이면 scalar 계수는 각각 0.5, 평면은 (1/√2,0)입니다. 에너지는 1/4,1/4,1/2로 합이 1입니다. 한 칸 이동하면 평면은 (0,1/√2), alternating 계수는 −0.5이고 전체 복원값은 (0,1,0,0)입니다.

직접 풀기와 연구 연결

상수 신호 (1,1,1,1)은 a₀=2만 남아 에너지가 4입니다. 교대 신호 (1,−1,1,−1)은 a₂=2만 남고 한 칸 후 부호가 바뀝니다. 직접 확인하세요.

불가약 block은 허용 feature 종류와 등변 선형 결합을 정리합니다. 군·작용·체를 항상 명시해야 합니다. 한 군에서 불가약인 표현이 부분군에 제한하면 가약이 될 수도 있으며 뒤의 tensor 두 배 각도 예제로 확인합니다.

추가 읽기: Etingof et al., Introduction to Representation Theory.