혼합 qubit의 스펙트럼·엔트로피·dephasing

1. 혼합 qubit은 Bloch 구의 내부까지 차지한다

순수 qubit은 Bloch 구면 위에 있지만 일반적인 qubit 밀도 연산자는 구 내부에도 존재한다. 벡터 r의 세 성분은 Pauli 관측량의 평균이다. 입자의 공간 위치나 관측하지 못한 고전적 회전축을 나타내는 값이 아니다. 밀도 행렬, 순도, 행렬식은 다음 관계를 만족한다.

$$\rho=\frac{I+\mathbf r\cdot\boldsymbol\sigma}{2} =\frac12\begin{pmatrix}1+r_z&r_x-ir_y\\r_x+ir_y&1-r_z\end{pmatrix},\qquad |\mathbf r|\le1,\quad \operatorname{Tr}(\rho^2)=\frac{1+|\mathbf r|^2}{2},\quad \det\rho=\frac{1-|\mathbf r|^2}{4}.$$

구 조건은 단순한 그림의 크기 제한이 아니라 양성 조건이다. 표면의 상태는 순수하고, 중심 I/2는 최대 혼합이며, 그 사이의 상태는 rank가 2다. 구 밖의 벡터는 음의 고유값을 만든다. 혼합 상태를 그리는 화살표가 짧다고 길이를 1로 정규화하면 다른 순수 상태로 바뀐다. 이는 그림의 오차를 고치는 조작이 아니다.

세 평균으로 모든 상태를 나타내는 방식은 2차원에 특별하다. 일반적인 d차원 밀도 연산자는 실수 매개변수가 d²−1개 필요하다. 앞서 높은 spin에서 평균이 같아도 상태가 다른 예를 보았다. 그러므로 3차원 화살표를 모든 양자 상태의 완전한 표현으로 확대해서는 안 된다.

2. 임의의 고유축을 만들지 않고 스펙트럼을 구한다

Pauli 행렬의 곱 성질에 의해 (r·σ)²=|r|²I다. 따라서 고유값 문제는 이차식으로 줄어든다. s=|r|라 두면 s>0일 때 두 고유공간의 projector는 r과 나란하거나 반대인 방향을 선택한다.

$$\lambda_\pm=\frac{1\pm s}{2},\qquad \lambda_- =\frac{1-s^2}{2(1+s)},\qquad P_\pm=\frac{I\pm\mathbf r\cdot\boldsymbol\sigma/s}{2}\quad(s>0),\qquad \rho=\lambda_-P_-+\lambda_+P_+.$$

작은 고유값의 두 번째 식은 1−s에 1+s를 곱하고 나누어 얻는다. 거의 순수한 상태에서는 서로 가까운 수를 빼는 계산을 피할 수 있다. 정확한 행렬식이 작더라도 양수이면 rank는 여전히 2다. 화면에 반올림된 고유값이 0이라고 순수 상태로 판정하지 않는다.

s=0에서는 r/s라는 방향이 정의되지 않는다. 고유값 1/2의 중복도가 2이고 그 전체 고유공간의 projector는 I다. 먼저 같은 고유값을 합친 뒤 해석해야 한다. 수치 고유값 계산기가 중심에서 어떤 두 기저 벡터를 반환해도 물리적으로 특별한 축을 발견한 것은 아니다. 퇴화는 계산 실패가 아니라 상태 자체의 대칭성이다.

3. 엔트로피는 일반 차원에서도 스펙트럼의 함수다

유한 차원 밀도 연산자의 von Neumann entropy는 고유값 확률분포의 Shannon entropy다. 이는 상태의 성질이며 특정 준비 과정에서 붙인 label의 엔트로피와는 구별된다. 자연로그를 쓰면 단위는 nat이고 ln2로 나누면 bit다.

$$S(\rho)=-\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k,\qquad S_{\mathrm{bits}}(\rho)=\frac{S(\rho)}{\ln2},\qquad 0\ln0:=\lim_{x\downarrow0}x\ln x=0,\qquad 0\le S(\rho)\le\ln d.$$

0ln0 표기는 엔트로피 항을 연속적으로 확장한다는 뜻이다. ln0 자체에 유한한 값을 부여하는 것이 아니다. 실험은 정확히 0인 고유값의 로그를 null로 두고 엔트로피 기여만 정확히 0으로 보고한다. 특이한 밀도 행렬의 행렬 로그를 다룰 때에는 지지공간을 구분해야 하지만, 스펙트럼으로 정의한 엔트로피 자체는 잘 정의된다.

[0,1]의 고유값에 대해 각 항은 비음이므로 S=0은 rank 1과 동치다. 함수 −xlnx의 오목성을 적용하면 Σf(λk)≤df(1/d)=lnd이고, 등호는 I/d에서만 성립한다. 실제 rank를 d 대신 사용하면 지지공간에 관한 더 강한 상한을 얻는다. 유니터리 켤레변환은 고유값을 보존하므로 엔트로피도 보존한다. 계산 기저를 바꿨다는 이유만으로 상태가 더 혼합되지는 않는다.

4. 준비 label·측정 결과·상태의 엔트로피는 다르다

앙상블의 준비 확률 pᵢ에는 고전적 엔트로피 H(p)가 있다. 여러 label이 모두 같은 ray를 가리키면 H(p)>0이어도 밀도 상태는 순수하다. 점유한 순수 상태들이 서로 직교하면 pᵢ가 고유값이 되어 H(p)=S(ρ)다. 비직교 순수 상태의 앙상블에서는 S(ρ)≤H(p)가 성립한다.

앞 장의 Gram 구성이 이 부등식의 이유를 보여준다. ρ와 G의 비영 스펙트럼은 같고 G의 대각 성분은 p다. 다음 절에서 확인하듯 대각 성분만 남기는 연산은 스펙트럼 엔트로피를 줄이지 않는다. 따라서 label 기록에는 계의 상태만으로 복원할 수 없는 정보가 들어 있을 수 있다.

h(x)=−xlnx−(1−x)ln(1−x)라 쓰자. 표의 마지막 열은 Z 기저 측정 결과의 엔트로피다. 이것은 상태 엔트로피보다 클 수 있다.

상태	순도	상태 엔트로피, nat	Z 결과 엔트로피, nat
e₀	1	0	0
X 양의 순수 상태	1	0	ln2
I/2	1/2	ln2	ln2
앞 장의 비대칭 혼합	19/25	h((5−√13)/10)	h(3/10)

순수한 X 상태에서 Z 결과가 무작위라는 사실은 그 상태가 혼합되었다는 증거가 아니다. 순도가 같다고 상태가 같은 것도 아니다. 순도는 스펙트럼의 한 모멘트이며 많은 행렬이 같은 값을 공유한다. 2차원을 넘으면 엔트로피 역시 여러 자유도를 지닌 스펙트럼을 하나의 수로 요약할 뿐이다. 무엇의 불확실성을 측정하는지 먼저 정해야 한다.

5. 기저에 대한 coherence는 두 엔트로피를 비교한다

수동적인 기저변환은 좌표 행렬을 U†ρU로 바꾼다. 물리적 상태는 같지만 어떤 성분이 대각에 놓이는지는 달라진다. Δbasis를 지정한 기저에서 비대각 성분을 모두 제거하는 연산이라 정의하자.

$$\rho_{\mathrm{basis}}=U^\dagger\rho U,\qquad C_{\mathrm{basis}}(\rho)=S(\Delta_{\mathrm{basis}}\rho)-S(\rho) =D(\rho\Vert\Delta_{\mathrm{basis}}\rho)\ge0.$$

유한 차원에서 비음성을 직접 확인할 수 있다. ρ의 고유값을 λ라 하면 선택한 기저의 대각 확률은 qᵢ=Σk|Uik|²λk다. 유니터리 성분의 크기 제곱으로 만든 행렬은 비음이고 각 행과 열의 합이 1이다. 각 행에 −xlnx의 오목성을 적용하고 모든 행을 합하면 H(q)≥H(λ)를 얻는다. 앞 절에서 G의 대각 성분만 남겼을 때 사용한 주장도 이 증명으로 정당화된다.

상대 엔트로피와의 등식은 ln(Δρ)가 대각 행렬이라는 사실에서 나온다. 이를 ρ와 곱한 trace는 ρ의 대각 성분에만 의존한다. 대각 성분 하나가 0이면 양성 때문에 대응하는 행과 열도 0이므로, 여기에서는 지지공간 차이로 인한 무한대 항이 생기지 않는다. 이는 임의의 두 상태가 아니라 상태와 자기 자신의 dephased 상태를 비교하는 특별한 구조다.

X 양의 순수 상태는 Z 기저에서 coherence가 ln2지만 자신의 X 고유기저에서는 0이다. 상태 엔트로피는 두 좌표계에서 모두 0이다. 따라서 coherence는 혼합도의 다른 이름이 아니다. 실험은 변환된 행렬과 측정 확률을 직접 계산하며 순도와 스펙트럼 양이 그대로 유지되는지 확인한다.

6. 부분추적은 숨은 label을 선택하지 않고 부분계를 설명한다

밀도 연산자가 필요한 또 다른 이유는 복합계의 일부에만 접근할 수 있기 때문이다. 정규직교 곱기저에서 부분추적은 접근하지 못하는 계의 같은 두 인덱스를 합한다. 그 결과는 모든 국소 관측량의 평균을 원래 복합계와 일치시키는 행렬이다.

$$(\rho_A)_{ij}=\sum_\mu(\rho_{AB})_{i\mu,j\mu},\qquad \operatorname{Tr}[\rho_{AB}(M_A\otimes I_B)] =\operatorname{Tr}(\rho_A M_A).$$

Bell 벡터 (e₀⊗e₀+e₁⊗e₁)/√2를 생각하자. 곱기저 순서를 00,01,10,11로 정하면 전체 행렬과 축약 행렬을 손으로 쓸 수 있다.

$$\rho_{AB}=\frac12\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix},\qquad \rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB}=\frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

부분추적에서 교차항은 추적한 label끼리 직교하므로 사라진다. 전체 상태는 순도 1, 엔트로피 0이지만 A만 보면 순도 1/2, 엔트로피 ln2다. 이는 A의 유니터리 기저변환이 아니다. B에 접근할 수 없게 되는 연산은 좌표를 바꾸는 연산과 다르다.

00과 11을 절반씩 선택하는 고전적 공동 혼합도 축약 상태는 I/2다. 그러나 그 전체 엔트로피는 ln2다. 축약 행렬이 같다는 사실로 공동 상태를 식별하거나 얽힘을 증명할 수 없다. 이 절은 복합계의 해석적 예제이며 현재 단일 qubit 계산기는 공동 register를 입력받지 않는다. 텐서곱과 얽힘의 실제 조작 실험은 뒤의 해당 주제에서 확장한다.

7. Purification은 국소 혼합과 더 큰 순수 상태를 연결한다

스펙트럼 분해가 주어지면 서로 직교하는 환경 label을 붙이고 고유값의 제곱근을 진폭으로 쓰자. 그 label을 부분추적하면 교차항이 사라져 원래 밀도 행렬을 얻는다.

$$|\Psi\rangle_{AE}=\sum_{k:\lambda_k>0}\sqrt{\lambda_k}\,|k\rangle_A\otimes|k\rangle_E,\qquad \operatorname{Tr}_E|\Psi\rangle\langle\Psi|=\rho_A.$$

Σλk=1이므로 이 벡터는 정규화되어 있다. 이 구성에는 rankρ 이상의 차원을 가진 환경이면 충분하다. 더 작은 환경은 필요한 Schmidt rank를 제공할 수 없다. 환경에만 유니터리를 적용하면 국소 상태를 바꾸지 않고 다른 purification을 얻는다.

앙상블에서도 Σᵢ√pᵢψᵢ⊗eᵢ를 만들 수 있다. ψᵢ끼리는 직교하지 않아도 label 상태 eᵢ는 서로 직교하게 둔다. label을 버리면 다시 ρ다. 앞 장의 weighted-column 그림과 purification이 연결되지만, 국소 자료로 특정한 환경이나 label 해석을 복원할 수 있다는 뜻은 아니다.

국소 혼합은 고전적 무작위 선택에서도, 얽힌 전체 순수 상태의 부분계에서도 나타날 수 있다. 같은 ρ를 만드는 두 설명은 국소 측정만으로 구별되지 않는다. 일반적인 Schmidt 분해, 앙상블 사이의 변환, 공동계 동역학은 뒤에서 확장한다. 여기에서는 정의와 직접 계산 가능한 국소 예제를 확보한다.

8. Dephasing 채널은 population을 보존하며 coherence를 바꾼다

이제 좌표를 바꾸는 대신 qubit에 작용하는 연산을 생각하자. 항등 작용과 Pauli Z에 의한 켤레변환을 확률적으로 섞는다. 부호 있는 매개변수 η와 phase flip 확률은 관련되지만 같은 값은 아니다.

$$\mathcal E_\eta(\rho)=\frac{1+\eta}{2}\rho+\frac{1-\eta}{2}Z\rho Z,\quad -1\le\eta\le1,\qquad K_0=\sqrt{\frac{1+\eta}{2}}I,\quad K_1=\sqrt{\frac{1-\eta}{2}}Z,\qquad (r_x,r_y,r_z)\mapsto(\eta r_x,\eta r_y,r_z).$$

η가 음수여도 두 혼합 확률은 비음이다. Kraus 합으로 채널 작용을 복원하고 ΣK†K=I로 trace 보존을 확인한다. 이 가족에서는 ΣKK†=I도 성립하므로 채널은 unital이다. Z population은 변하지 않고 비대각 성분에는 η가 곱해진다.

η=1은 항등 채널, η=0은 Z 기저 coherence를 완전히 지우는 채널, η=−1은 유니터리 phase flip Z다. 음의 η는 음의 확률이 아니다. 대각 상태 하나는 이 모든 채널에서 그대로일 수 있다. 따라서 한 입력이 고정된다는 이유로 연산 전체가 항등이라고 결론 내리면 안 된다. 상태에 대한 명제와 채널에 대한 명제를 구별해야 한다.

9. 완전 양성은 채널 전체에 대한 조건으로 확인한다

연산은 계가 외부 계와 상관되어 있을 때를 포함하여 관련된 모든 입력에 작용할 수 있어야 한다. 시험한 밀도 행렬 하나의 trace가 보존되었다는 사실로는 충분하지 않다. 이 유한 채널 가족은 Choi 증명서를 함께 제공한다. 순서는 output⊗input이며 행렬 인덱스는 2·output+input이다.

$$J(\mathcal E_\eta)=\begin{pmatrix}1&0&0&\eta\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\eta&0&0&1\end{pmatrix},\qquad \operatorname{spec}J=\{0,0,1-\eta,1+\eta\},\qquad \operatorname{Tr}_{\mathrm{output}}J=I,\quad\operatorname{Tr}J=2.$$

허용 구간에서 정확히 모든 고유값이 비음이다. 이 행렬은 trace 1인 상태가 아니라 정규화하지 않은 Choi 행렬이다. 양의 고유값 개수는 두 유니터리 끝점에서 1이고 그 밖에서는 2이며, 최소 Kraus 연산자 개수와 일치한다. η=0에서는 고유값 1도 퇴화한다.

Choi의 입출력 인덱스는 사상을 검증하는 구조다. 실험이 임의의 두 qubit 공동 준비를 입력받는다는 뜻은 아니다. 일반적인 채널 표현과 확장, 얽힘은 더 넓은 주제다. 여기에서는 한 상태의 정규화만 보고 연산 전체의 성질을 추론하는 오류를 막는 명시적 증명서를 다룬다.

10. 부호 있는 매개변수 경로는 물리적 시계가 아니다

실험은 η=1에서 시작해 선택한 끝점으로 보간한다. u는 같은 초기 상태에 적용하는 채널 가족의 매개변수다. 연속 측정의 횟수나 물리적 시간 법칙의 단계가 아니다.

$$\eta(u)=1+(\eta_{\mathrm{end}}-1)u,\quad0\le u\le1,\qquad u_0=\frac1{1-\eta_{\mathrm{end}}}\quad(\eta_{\mathrm{end}}<0).$$

표시 격자가 η=0을 놓치면 정확한 영점 표본을 추가한다. 초기 상태가 X 양의 순수 상태일 때 두 고유값에서 다음 값을 직접 얻는다. h₂는 bit 단위 이진 엔트로피이며 h₂(1/4)≈0.811278이다.

η	Bloch rx	순도	엔트로피, bit	초기 상태와의 squared fidelity	초기 상태와의 trace distance
1	1	1	0	1	0
1/2	1/2	5/8	h₂(1/4)	3/4	1/4
0	0	1/2	1	1/2	1/2
−1/2	−1/2	5/8	h₂(1/4)	1/4	3/4
−1	−1	1	0	0	1

η의 절댓값이 같으면 스펙트럼은 같지만 상태는 다를 수 있다. 횡방향 coherence가 있는 상태는 영점을 지나며 엔트로피가 증가했다가 감소한다. 한편 이 가족은 unital random-unitary 채널이므로 각 출력의 엔트로피는 선택한 초기 상태보다 작지 않다. 두 문장은 서로 다른 상태 쌍을 비교하므로 모순이 아니다. 이 보간만으로 Markovian 시간 법칙을 얻을 수는 없다.

11. 상태 거리와 fidelity는 엔트로피가 답하지 못하는 질문을 다룬다

엔트로피는 고유값에만 의존한다. 특정 두 상태를 비교하려면 서로의 상대적 배치에 민감한 양이 필요하다. 여기에서는 squared Uhlmann fidelity를 사용하며 그 제곱근과 관례를 명시적으로 구별한다.

$$T(\rho,\sigma)=\frac12\|\rho-\sigma\|_1=\frac12|\mathbf r-\mathbf s|,\qquad F_{\mathrm{sq}}(\rho,\sigma)=\left[\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt\rho\,\sigma\sqrt\rho}\right]^2 =\operatorname{Tr}(\rho\sigma)+2\sqrt{\det\rho\det\sigma},\qquad \|\rho-\sigma\|_{\mathrm{HS}}^2=\frac12|\mathbf r-\mathbf s|^2.$$

Bloch 벡터 등식과 행렬식 공식은 qubit에 해당한다. Trace norm과 행렬 제곱근으로 쓴 정의는 일반 차원에도 적용된다. 2차원에서 두 고유값의 제곱근 합을 제곱하면 고유값의 합과 곱의 제곱근 두 배가 되므로 fidelity의 행렬식 표현을 얻는다.

같은 I/2 상태 두 개의 Tr(ρσ)는 1/2이지만 squared fidelity는 1이다. Hilbert–Schmidt overlap만으로 혼합 상태 fidelity를 대신할 수 없다. 서로 직교하는 X 양·음의 순수 상태는 엔트로피가 모두 0인데 trace distance는 1, squared fidelity는 0이다. 반면 순수 상태 벡터 전체에 같은 부호를 곱하면 밀도 행렬이 그대로이므로 거리가 0이다. 스펙트럼 정보와 상대적 방향 정보를 함께 읽어야 한다.

12. 수치 경계는 상태를 바꾸지 않고 읽는다

11개 유계 정수 입력은 유리수 Bloch 좌표, 비영 raw probe, 부호 있는 η와 1~16개의 표본 구간을 지정한다. 계산 전에 양성을 정확히 검사한다. 반지름이 아주 작아도 양수이면 두 고유공간은 다르다. 정확히 0일 때에만 합친다. 행렬식이 아주 작더라도 양수이면 작은 고유값을 양수로 유지한다.

밀도 성분, 순도, 행렬식, Pauli 통계, 수동 기저변환 좌표, Choi 계정은 정확 유리수다. 스펙트럼 projector, 엔트로피, 거리와 Kraus 좌표에는 방향성 구간 연산을 사용한다. 작업 정밀도는 768bit, 바깥쪽 보고 정밀도는 512bit다. 로그는 800bit 작업과 768bit 내부 경계를 쓴다. 작은 값을 0으로 분류하거나 출력 norm을 다시 맞추는 일을 증명서 대신 사용하지 않는다.

엔트로피 계산은 로그를 취하기 전에 정확한 0을 분기한다. 양의 구간에서는 로그의 단조성을 이용해 경계를 만든다. 수치 관측이 해결되지 않으면 null을 유지할 수 있다. 이것은 0인 고유값의 로그가 정의되지 않아 null인 경우와 다르다. 독립 참조는 구현의 스칼라 공식을 반복하지 않고 일반 고유값 계산, 행렬 제곱근과 특이값을 사용한다.

13. 해설이 있는 연습문제

1. 작은 고유값에 다른 표현을 쓰는 이유는 무엇인가?

해설. 순수 상태 근처에서 1−s의 상쇄를 피하기 위해서다. 정확한 분자 1−s²가 양성을 유지하고 분모는 0에서 떨어져 있다. 거의 순수한 상태를 순수 상태로 바꾸는 공식이 아니다.

2. 영 고유값의 엔트로피를 0으로 두면 ln0을 계산한 것인가?

해설. 아니다. xlnx의 연속 극한이 0인 것이며 ln0 자체는 정의되지 않는다. 계산에서는 로그를 null로 두고 엔트로피 기여는 구조적으로 정확한 0으로 유지한다.

3. 상태 trace는 1인데 Choi trace는 왜 2인가?

해설. 정규화하지 않은 채널 관례를 사용하기 때문이다. 출력 부분추적은 2차원 입력 공간의 I이므로 전체 trace가 2다. 이를 2로 나누면 명시한 증명서 관례가 바뀐다.

4. η=−1은 유효하지 않은 dephasing 입력인가?

해설. 아니다. Phase flip 확률은 1이고 항등 작용 확률은 0이다. 유니터리 Z가 X 양의 상태를 X 음의 상태로 옮기며 엔트로피는 보존한다.

5. 엔트로피가 모두 0인 두 상태를 완전히 구별할 수 있는가?

해설. 가능하다. 두 X 고유상태는 직교하여 trace distance가 1이고 squared fidelity는 0이다. 엔트로피만으로 두 상태의 상대적 방향을 비교할 수 없다.

6. Bell 상태의 전체 순도와 축약 순도는 얼마인가?

해설. 전체 projector의 순도는 1이고 각 축약 상태 I/2의 순도는 1/2이다. 축약 행렬이 같다는 사실만으로 다른 공동 상태가 고전적 상관인지 얽힘인지 결정할 수 없다.

7. X 양의 순수 상태를 자신의 고유기저에서 본 coherence는 얼마인가?

해설. 0이다. 그 기저에서는 dephasing 후에도 이미 대각이고 순수한 행렬이다. Z 기저 coherence는 ln2지만 상태 엔트로피는 두 기저에서 모두 0이다.

8. 준비 label의 엔트로피는 항상 밀도 상태 엔트로피와 같은가?

해설. 아니다. 같은 ray의 복사본에 무작위 label을 여럿 붙여도 밀도 엔트로피는 0이다. 점유한 직교 순수 상태의 앙상블에서는 같지만 비직교 앙상블의 label 엔트로피는 엄격히 더 클 수 있다.

14. 연구 연결과 예제의 적용 범위

스펙트럼 엔트로피, 양의 행렬 매개변수화, 상태 구별, 기저에 의존하는 coherence는 정규화, 행렬 학습, 불확실성 요약과 연결된다. 이를 교환 가능한 목적함수처럼 사용하기 전에 의미를 정해야 한다. 낮은 엔트로피는 목표 상태를 식별하지 않으며 높은 순도는 학습한 채널이 다른 입력에도 올바르게 작용함을 증명하지 않는다.

모든 양자 채널에서 엔트로피가 증가하는 것은 아니다. 해석적 reset 예제는 모든 입력을 e₀e₀†로 보낸다.

$$K_0=|0\rangle\langle0|,\qquad K_1=|0\rangle\langle1|,\qquad \sum_aK_a^\dagger K_a=I,\qquad \sum_aK_a\rho K_a^\dagger=|0\rangle\langle0|.$$

이 채널은 I/2의 엔트로피 ln2를 0으로 낮추며 unital이 아니다. 이 추가 손계산은 dephasing 계산기에서 선택하는 다른 채널이 아니다. 일반 채널, 엔트로피 부등식, 유한 표본 추정, 복합계 동역학과 연구 깊이는 뒤에서 이어간다. 교재는 Book → Interactive Book에서 연다.

배경 자료는 Preskill Chapter2, Chapter3, Chapter10 §10.2, IBM 채널 표현이다. 손계산 상태, 부분추적, 부호 있는 경로와 수치 계약은 이 교재에서 독립적으로 구성했다.