Kraus·Choi로 검증하는 양자 채널

1. 유니터리만으로 부족한 이유

상태 벡터는 고립된 순수 상태의 계산을 설명한다. 실제 장치는 에너지를 잃고, 보이지 않는 환경과 상호작용하며, 측정 결과를 잊을 수도 있다. 전체 변화가 유니터리여도 관찰하는 계의 출력은 혼합 상태가 될 수 있다. 양자 채널은 환경을 직접 관찰하지 않고 밀도연산자의 입력과 출력을 연결한다.

밀도행렬, 부분추적, 텐서곱을 안다고 가정한다. 핵심 질문은 “시험해 본 입력에서 올바른 상태가 나오는가?”보다 강하다. 입력이 다른 계와 상관되어 있어도 규칙이 올바르게 작동해야 한다. 회로를 합성하거나 학습 모델의 출력을 더 큰 계산에 넣으려면 반드시 필요한 조건이다.

2. 선형성·trace 보존·완전양성

결과를 조건으로 선택하지 않는 채널은 연산자에 대해 선형이다. 확률 p로 ρ를 준비하고 나머지에는 σ를 준비한 뒤 평균을 내든, 혼합 상태에 채널을 적용하든 결과가 같아야 한다. 반면 특정 결과만 남기는 사후 선택은 상태에 따라 달라지는 확률로 나누므로, 정규화된 갱신은 일반적으로 비선형이다.

Trace 보존은 모든 연산자 A에 대해 Tr Φ(A)=Tr A라는 뜻이다. 양성은 양의 입력을 양의 출력으로 보낸다는 뜻이다. 완전양성은 임의의 유한 참조계 R을 붙여도 id_R⊗Φ가 양성을 유지한다는 조건이다. 유한 차원에서는 입력과 같은 차원의 참조계로 충분하다. 물리적 채널은 완전양성과 trace 보존을 함께 만족하며 CPTP라고 부른다.

각 조건은 서로 다른 질문에 답한다. Trace 보존은 전체 가중치, 양성은 개별 계의 상태, 완전양성은 상관관계와의 양립 가능성을 다룬다. Φ(I)=I라는 unital 조건은 또 다른 성질이며 모든 채널에 요구되지는 않는다.

3. Kraus 연산자: 갈래의 출력을 더한다

Kraus 표현은 다음과 같다.

각 항은 참조계를 붙여도 양성을 보존한다. 두 번째 식과 trace의 순환 성질을 이용하면 trace 보존이 나온다. K들을 먼저 더해서는 안 된다. (K₀+K₁)ρ(K₀+K₁)†에는 채널에 없는 교차항이 생긴다. 관찰하지 않은 환경의 갈래와 위상까지 합쳐 재결합하는 경로는 구별해야 한다.

생존 진폭3/5, 감쇠 진폭4/5인 예를 사용하자.

ρ=[[a,c],[c*,b]]의 출력 대각 성분은 a+16b/25, 9b/25이고 비대각 성분은 3c/5이다. 들뜬 상태의 점유율 일부가 바닥 상태로 이동한다. Trace는 a+b로 유지되지만 Φ(I)=diag(41/25,9/25)는 I가 아니다. 따라서 이 채널은 TP·CP이지만 unital은 아니다. 유니터리는 각각 I를 그대로 두므로 유니터리들의 확률적 혼합으로도 이 채널을 표현할 수 없다.

수반 채널은 관측량에 작용한다. Φ*(E)=ΣK†EK이고 Tr[EΦ(ρ)]=Tr[Φ*(E)ρ]이다. TP는 Φ*(I)=I와 동치이지만 unital은 Φ(I)=I를 뜻한다. 두 방향을 구별해야 완비성 식의 곱 순서를 뒤집지 않는다.

4. Choi 행렬로 선형 사상 전체를 검사한다

행렬을 만들기 전에 관례를 고정하자. 여기서는 참조계가 먼저, 출력이 나중이며 정규화하지 않은 벡터 Ω=|00〉+|11〉을 사용한다.

완전양성은 J의 양의 준정부호성과 동치이다. TP는 Tr_B J=I_R와 동치이다. TP인 큐비트 채널은 Tr J=2이며, J/2는 밀도행렬이다. 따라서 trace1인 행렬도 정규화된 Choi 상태일 수 있지만, 이 단원의 비정규화 관례와 성분을 그대로 비교하면 안 된다.

감쇠 예의 행렬을 |00〉,|01〉,|10〉,|11〉 순서로 쓰면 다음과 같다.

고윳값은 0,0,16/25,34/25로 모두 음수가 아니다. 출력에 대한 부분추적은 I이다. 이 검사는 비대각 행렬 단위에도 사상을 적용한다. |0〉과 |1〉만 시험하면 결맞음이 어떻게 바뀌는지를 놓친다.

5. 전치는 약한 검사를 통과하지만 필요한 검사에는 실패한다

전치 T(ρ)=ρᵀ는 trace를 보존하고 개별 밀도행렬을 올바른 밀도행렬로 보낸다. 그러나 Choi 행렬은 두 큐비트 SWAP 연산자이다. 반대칭 벡터 (|01〉−|10〉)/√2에서 고윳값이−1이므로 양의 준정부호가 아니다.

정규화된 Bell 상태에 id⊗T를 적용하면 J(T)/2가 되고, 그 벡터에서의 기댓값은−1/2이다. 이것을 실제 결합 상태로 취급하면 음의 측정 확률이 생긴다. 이 참조계 반례가 양성만으로 부족한 이유를 설명한다. 반올림이나 임의로 뽑은 시험 상태의 문제가 아니다.

6. 합성과 사후 선택

Φ의 Kraus 연산자가 K_a이고 Ψ의 연산자가 L_b라면 Ψ∘Φ의 Kraus 연산자는 L_b K_a이다. 시간 순서는 여전히 중요하다. |0〉에 X를 먼저 적용하고 감쇠시키면 점유율은16/25와9/25이다. 감쇠를 먼저 적용하고 X를 쓰면 확실하게 |1〉이 된다.

기록된 한 결과는 trace가 줄어드는 사상 A(ρ)=KρK†로 표현할 수 있다. 그 trace는 해당 결과의 확률이다. ΣK†K≤I이면 CP이고 trace 비증가이지만, 결과를 선택하지 않는 TP 채널은 아니다. 정규화된 상태 A(ρ)/Tr A(ρ)는 확률이0이면 정의되지 않는다. 불가능한 사건에 임의의 조건부 상태를 표시하면 안 된다.

7. 위상 뒤집기·선택·감쇠를 같은 입력에서 비교한다

입력 변화가 출력 차이의 원인이 되지 않도록 |+i〉=(|0〉+i|1〉)/√2를 고정하자. 처음 점유율은1/2,1/2이고 오른쪽 위 비대각 성분은−i/2이다.

확률 p로 Z, 나머지에는 I를 적용하는 위상 뒤집기를 보자. Z를 양쪽에 곱하면 점유율은 유지되고 비대각 성분의 부호가 바뀐다. 따라서 다음 식을 얻는다.

p=1/2이면 출력은 I/2이고 순도는1/2이다. p=1이면 순수 상태 |−i〉이며 Y기댓값은−1, 순도는1이다. 이 매개변수는 특정 오류를 적용할 확률이므로 전체 구간에서 결맞음 손실이 단조롭게 증가한다는 뜻은 아니다. 다른 depolarizing 관례에서 같은 문자 p를 쓰더라도 정의식부터 비교해야 한다.

γ=16/25 감쇠는 점유율41/50,9/50과 결맞음−3i/10을 만든다. 출력 순도는553/625이다. Φ(I)=diag(41/25,9/25)이지만 수반은 I를 고정한다. 같은 예에서 점유율 이동과 결맞음의 감쇠를 함께 확인할 수 있다.

결과 선택에서는 K=|0〉〈0|를 쓰고 입력을 |1〉로 바꾸자. 출력 연산자는0이고, 성공 확률인 trace도0이다. CP인 연산이지만 TP는 아니며 이 입력의 조건부 정규화 상태는 없다. 반대 예로 ρ↦2ρ는 CP이고 양의 출력을 만들지만 trace가2이다. 필요한 물리 조건들을 함께 확인해야 하며, 한 입력의 출력 양성만으로 채널을 인증할 수 없다.

실험에서는 점유율을 먼저 예측하고 결맞음, CP·TP·unital 항목을 각각 읽자. 마지막으로 J와 J/2를 비교한다. 정규화된 관례의 Choi 상태와 이 단원의 J를 비교하려면2배 차이를 반영해야 한다.

8. 해설이 있는 연습

확인: 감쇠가 trace를 보존하는 이유는? K₀†K₀=diag(1,9/25), K₁†K₁=diag(0,16/25)이므로 합이 I다. 대신 K₀K₀†와 K₁K₁†를 더하면 unital 여부를 검사하는 다른 식이 된다.

예측: 뽑아 본 모든 단일 큐비트 상태가 통과했다면 전치도 채널인가? 아니다. Bell 출력의 반대칭 방향에서 음의 값이 나온다는 정확한 반례가 있다.

정규화: Choi 행렬의 trace가1이고 출력 부분추적이 I/2라면 TP가 깨졌는가? 먼저 J/2를 만들었는지 확인하자. 정규화된 관례에서는 바로 그 값들이 TP 조건이다.

9. 검증과 다음 연구

Choi 블록에서 사상을 복원해 연산자 합의 출력과 비교하자. 기저 상태의 점유율뿐 아니라 비대각 행렬 단위도 확인한다. CP·TP·unital을 따로 검사하고, 계산이 올바른 것과 물리적 채널이라는 판정을 구별하자. 이후 채널 구별, 토모그래피, CP·TP 제약을 만족하는 사상 학습으로 연결한다.

정의와 표현의 동치 관계는 IBM Quantum Learning의 Quantum channels, Watrous 교재 2장을 참고했다. 감쇠의 유리수 값과 행렬 관례, 손계산 과정을 명시하여 독립적으로 재현할 수 있게 했다.