행렬식·trace와 기저 불변량

면적의 크기와 방향을 함께 기록하기

2×2 행렬 A의 두 열이 만드는 평행사변형의 부호 있는 면적이 행렬식입니다. 표준 기저의 순서를 고정했을 때 양수는 방향 보존, 음수는 방향 반전을 나타냅니다. 실제 면적 크기는 |det A|입니다.

그림의 파란 테두리는 원점, 첫 열, 두 열의 합, 둘째 열을 차례대로 잇습니다. 주황 테두리는 단위 정사각형입니다. 축 단위가 같으므로 부호 없는 넓이 변화를 비교할 수 있습니다. 모양의 길이를 단순히 더해 행렬식을 계산하는 것은 아닙니다.

회전·반사·붕괴 예제

90도 회전 A=[[0,−1],[1,0]]은 det=1,trace=0입니다. 모든 벡터가 제자리인 항등행렬은 아니지만 면적과 방향을 보존합니다. 반사 diag(1,−1)은 det=−1이며 면적 크기는 1입니다.

[[1,2],[2,4]]는 det=0으로 평면의 면적을 직선에 붕괴시킵니다. 그러나 모든 벡터를 0으로 보내지는 않습니다. 행렬식 0은 비가역성을 뜻하지만 랭크가 반드시 0이라는 뜻은 아닙니다.

두 번째 식은 A가 가역일 때만 사용합니다. 일반 n차원에서 행렬식의 절댓값은 부피 배율이며, 두 변환을 합성하면 배율이 곱해집니다.

trace는 단순 대각합 이상의 불변량

직사각형 곱 AB,BA가 모두 정의될 때 성분을 합하면

입니다. 따라서 가역 P에 대해 tr(P⁻¹AP)=tr A입니다. 행렬식도 det(P⁻¹AP)=det A입니다. 두 값은 같은 선형사상을 다른 기저로 나타내어도 유지되는 유사 불변량입니다. 서로 다른 행렬이 같은 trace와 determinant를 가질 수 있으므로 이 둘이 모든 구조를 결정하지는 않습니다.

예를 들어 I와 [[1,1],[0,1]]은 모두 trace 2,det 1이지만 뒤의 전단 행렬은 I가 아닙니다. 동일한 두 불변량으로 행렬 전체나 고유벡터를 복원할 수는 없습니다.

특성다항식과 복소 고유값

2×2 행렬의 특성다항식은

고유값의 합은 trace, 곱은 determinant입니다. 그러나 실수 행렬이라도 실수 고유값이 없을 수 있습니다. 회전 예제는 λ²+1=0이어서 ±i입니다. 화면은 실수 고유값을 —로 표시하고 복소쌍의 공통 실수부와 허수부 절댓값 (0,1)을 따로 보여 줍니다. 이는 “고유값이 전혀 없다”는 뜻이 아닙니다.

작은 변환의 일차 변화

2×2에서 다음은 정확한 항등식입니다.

따라서 t=0에서 면적 배율의 미분은 trace입니다. trace가 유한 t에서 부피 배율 자체라는 뜻은 아닙니다. 연속 동역학의 발산과 연결되는 직관이지만 여기서는 정적 작은 행렬의 항등식만 유도했습니다.

AI 연결과 확인 문제

가역 변환의 밀도 계산에는 보통 log|det J|가 등장합니다. 음의 determinant는 방향 반전이지 음의 확률이 아닙니다. 큰 행렬에서는 determinant를 직접 곱해 underflow·overflow를 만들기보다 분해와 안정적인 log-determinant 계산을 고려해야 합니다. 특이 행렬의 로그 절댓값은 유한하지 않습니다.

1. determinant가 0이면 선형사상은 가역인가요? 아니요.
2. trace 0이면 영행렬인가요? 아니요. 회전이 반례입니다.
3. diag(2,3)의 det와 trace는? 6과 5입니다.

추가 읽기: MIT Linear Algebra. 작은 행렬의 항등식과 예제는 직접 전개했습니다.