매개변수 식별과 센서 설계

1. 다른 매개변수가 같은 관측을 예측하는지 확인하기

정해진 실험에서 서로 다른 매개변수가 서로 다른 이상적 관측을 주면 구조적으로 식별할 수 있습니다. 실제 식별 가능성은 잡음이 있는 유한한 관측이 매개변수의 범위를 얼마나 좁히는지를 다룹니다. 두 성질은 물리 모형, 관측 연산자, 실험 조건에 따라 달라집니다. Raue 외, 구조적·실제 식별 가능성 분석

2. 섞여 관측된 두 성분 구분하기

미지 진폭 $a,b$를 측정해 $y_1=a+b$, $y_2=a+rb$를 얻으며 센서 계수 $r$은 안다고 가정합니다. $r=1$이면 두 센서는 같은 식을 제공합니다. 직선 $a+b=y_1$ 위의 모든 조합이 이상적 관측과 맞습니다. 같은 측정을 반복하면 합의 잡음을 줄일 수 있지만 두 진폭 각각은 여전히 여러 값이 가능합니다.

3. 다른 방향의 관측을 고르기

$r\ne1$이면 두 식을 빼서 다음을 얻습니다.

$(a,b)=(2,3)$이고 $r=-1$이면 측정값은 5와 −1입니다. 두 관측의 합은 $a$의 두 배, 차는 $b$의 두 배입니다. $r=0.9$에서는 둘째 관측이 4.7입니다. 해는 유일하지만 두 관측의 차이를 $1-r=0.1$로 나누어야 하므로 잡음도 커집니다.

4. 센서 설계에서 추정 불확실성 계산하기

각 센서의 오차가 독립이고 평균 0, 공통 분산 $\sigma^2$이면 차이의 분산은 $2\sigma^2$입니다. 따라서

일반적으로 민감도 행렬 $S$가 열 완전 계수이고 관측 잡음 공분산 $\Sigma$가 양의 정부호이면, 일반화 최소제곱의 매개변수 공분산은 $(S^T\Sigma^{-1}S)^{-1}$입니다. 불확실성이 큰 방향은 센서 응답과 잡음 양쪽에 달려 있습니다. 비선형 모형에서 야코비안은 국소 근사이며, 멀리 떨어진 매개변수에서 같은 출력이 나오는지 따로 확인해야 합니다.

5. NumPy로 측정 방향 검산하기

import numpy as np

theta = np.array([2.0, 3.0])
sigma = 0.1
for r in (-1, 0, .9):
    sensors = np.array([[1, 1], [1, r]], dtype=float)
    observations = sensors @ theta
    estimate = np.linalg.solve(sensors, observations)
    covariance = sigma**2 * np.linalg.inv(sensors.T @ sensors)
    assert np.allclose(estimate, theta)
    assert np.isclose(covariance[1, 1], 2 * sigma**2 / (1 - r)**2)
    print(r, observations, np.sqrt(covariance[1, 1]))

repeated = np.ones((2, 2))
assert np.linalg.matrix_rank(repeated) == 1
assert np.allclose(repeated @ [2, 3], repeated @ [1, 4])

6. 정보를 더 주는 후속 실험 설계하기

약하게 관측되는 매개변수 조합에 다르게 반응하는 센서나 자극을 고릅니다. 정밀도나 표본 수를 늘리기 전에 예상 잡음을 계산합니다. 후보 매개변수들의 예측을 시뮬레이션하고, 잡음에 비해 예측 차이가 큰 관측을 고릅니다. 추정에 사용하지 않은 측정값을 남겨 모형을 검증합니다.