구조적 인과모형·이진 외생변수·DAG

예측과 조작에 다른 언어가 필요한 이유

스위치 X와 경보 Y를 관측한다고 생각하자. X=1인 기록 중 경보가 얼마나 자주 켜지는지는 특정 집단에 관한 예측 문제다. 스위치를 강제로 1로 만들면 경보가 어떻게 달라지는지는 시스템을 조작하는 문제다. 결합확률표만 알면 첫 질문에 답할 수 있지만, 두 번째 질문에는 값이 생성되는 기제와 조작이 바꾸는 기제를 추가로 정해야 한다.

구조적 인과모형(SCM)은 내생변수, 외생 입력, 구조적 배정식, 외생 입력의 결합분포로 구성한다. 방향성 비순환 그래프(DAG)는 배정식에 허용한 의존성을 표현한다. 화살표만으로 효과의 크기나 함수, 잡음 분포가 정해지지는 않는다. 특정 매개변수에서는 허용한 화살표의 영향이 관측상 사라질 수도 있다. 상관이 0이라는 사실만으로 인과 가능성을 제거해서는 안 되는 이유다.

세 가지 이진 세계를 명시하기

실습에서 Z, E_X, E_Y는 서로 독립인 Bernoulli 비트다. 각각 1일 확률은 pi, epsilon_X, epsilon_Y다. XOR는 두 비트가 다를 때 1이다. 위상 순서대로 다음을 계산한다.

결과식은 세 가지 중 하나를 선택한다.

이들은 서로 다른 세계의 가정이지, 같은 관측자료가 입증한 세 가지 해석이 아니다. 외생 입력의 독립성도 가정이다. 잡음 사이에 숨은 공통 원인을 허용하려면 그래프 표현과 이후 식별 논증을 함께 바꿔야 한다.

표본 추출 대신 모집단 상태 열거

외생 상태는 여덟 개다. 각 상태의 확률은 다음 곱이다.

각 행에서 구조식을 실행한 뒤 같은 (X,Y)에 도달하는 확률을 합한다. 따라서 표의 여덟 행은 같은 비중의 관측치 여덟 개가 아니다. 확률 0인 상태도 기제를 확인하도록 남겨 둔다. 그래프의 가로축 index=2X+Y에서 0,1,2,3은 00,01,10,11을 뜻한다. 각 막대는 이산 셀의 확률을 표시한다. 셀 사이에 중간 이진 상태가 존재하는 것은 아니다.

식 하나를 교체하고 모집단은 유지하기

개입 do(X=a)는 X의 배정식만 X=a로 교체한다. 외생 분포와 Y의 식은 유지하고 Y를 다시 계산한다. 그림의 주황 ×는 교체한 입력 기제를 표시한다. X에서 나가는 화살표는 남는다. 자식 변수는 여전히 바뀐 X를 받아야 하기 때문이다.

Fork 세계에서 pi=0.5, 두 잡음 확률=0.1이면 Bayes 규칙으로 P(Z=1|X=1)=0.9다. 따라서

반면 X를 고정해도 Z와 Y의 관계는 바뀌지 않는다. P(Y=1|do(X=1))=0.5다. 관측은 공통 원인에 관한 정보를 갱신하고 개입은 배정식을 교체한다. 이 차이는 선언한 SCM에서 계산한 결과이며 관측표만으로 얻은 결론은 아니다.

손계산 문제와 풀이

두 잡음 확률을 모두 0, pi=0.5로 두고 결과식 2를 선택하자. 자연 관측의 Y와 X=1로 개입한 Y를 예상하라.

풀이. 자연 상태에서는 X=Z이므로 Y=X XOR Z=0이다. do(X=1)에서는 Y=1 XOR Z가 되어 모집단 절반의 Y가 1이다. 관측 평균은 0, 개입 평균은 0.5다. Y 식까지 삭제하면 개입 효과를 전달하는 기제를 잘못 없앤 셈이다. 먼저 예측하고 실습 표의 현재 X·현재 Y 열을 확인하자.

AI 실험과 연결하기

입력 제거, 인터페이스 무작위화, 정책 변경이 어떤 개입인지 판단하려면 시스템 경계를 정해야 한다. 예측 벡터의 feature 값을 바꾸는 조작이 실제 목표값을 생성하는 물리 기제까지 바꾸는 것은 아니다. 개입 대상, 배정 규칙, 유지할 모집단, 불변이라고 가정한 기제를 기록하자. 이후 단원에서는 구조식을 전부 알지 못할 때 어떤 개입 분포를 관측자료로 식별할 수 있는지 살펴본다.

원전과 더 읽기

• Judea Pearl, A Causal Calculus for Statistical Research, 1995: 구조식에 기반한 개입의 의미.
• Miguel Hernán·James Robins, Causal Inference: What If: 모집단 개입과 식별 가정.

이 단원의 XOR 세계와 여덟 상태 계산은 직접 구성한 교육용 예제다.