안장점·요동·비가우스 근사

1. 가장 깊은 점만으로는 적분값을 알 수 없다

바닥 깊이가 같은 두 그릇을 생각해 봅시다. 하나는 좁고 다른 하나는 넓습니다. 두 그릇 모두 가장 낮은 곳은 같지만, 바닥 가까이에 머무를 수 있는 공간은 넓은 그릇이 더 큽니다. 지수 가중치를 적분할 때도 같은 차이가 생깁니다. 최소 작용값은 가장 큰 가중치를 정하고, 그 주변의 부피는 실제로 얼마나 많은 기여가 모이는지를 정합니다.

앞의 Euclidean 커널 단원에서는 작용이 이차식이어서 Gaussian 적분으로 전체 답을 구했습니다. 이번에는 위치에 대한 사차 비용을 더합니다. 가장 좋은 경로를 찾는 일은 여전히 중요하지만, 그 경로 하나를 찾았다고 적분까지 끝난 것은 아닙니다.

이 단원에서는 Gaussian 부피 인자, 그 밖의 첫 보정, 특별한 경우의 적분비 경계, 여러 최소점의 기여를 차례로 유도합니다. 출발점은 유한 차원의 보통 적분입니다. Gaussian 적분, 행렬의 역행렬, 기본적인 Taylor 전개를 복습하면 따라갈 수 있습니다.

2. 서로 다른 수학적 대상을 먼저 구별한다

정상점은 작용의 미분이 0인 배치입니다. 양의 Euclidean 가중치를 다룰 때 곡률이 양의 정부호인 최소점 주변에서는 국소 Gaussian 근사를 만들 수 있습니다. 관례적으로 이를 안장점 방법이라고 부르지만, 작용의 극대점에 행렬식 절댓값을 붙인다고 양의 Gaussian 기여가 되는 것은 아닙니다.

대상	의미	주의할 점
최소 경로 x*	양끝을 고정했을 때 가중치가 가장 큰 내부 배치	일반 비가우스 법칙의 평균과 같지 않음
작용 Hessian H	지정한 배치 주변에서 S의 곡률	Hamiltonian 연산자와 다른 대상
역행렬 R=H⁻¹	x*에서 ℏ에 의존하지 않는 곡률의 역	Gaussian 공분산은 ℏR
Gaussian 커널 K_G	최소 작용의 지수와 요동 부피의 곱	정확한 사차 커널이 아님
첫 계수 c₁	K_G로 나눈 뒤 ℏ에 붙는 계수	확률이나 전체 오차 경계가 아님

이후의 비교에서는 물리 매개변수, 양끝, 격자 중 무엇을 고정했는지 밝힙니다. 특히 ℏ를 줄이는 것과 시간 격자를 정련하는 것은 서로 다른 조작입니다.

3. 근사에 앞서 유한 작용을 선언한다

시간 구간 수를 N≥2, 간격을 δ=τ/N, 적분하는 내부 좌표 수를 d=N−1로 놓습니다. 양끝은 x₀=a, x_N=b로 고정합니다. m, τ, ℏ는 양수이고 ω², λ는 0 이상입니다. 이 단원은 사차 potential에 1/4을 붙이는 규약을 사용합니다.

$$V(x)=\frac{m\omega^2x^2}{2}+\frac{\lambda x^4}{4},\qquad S_N(x)=\frac{m}{2\delta}\sum_{i=0}^{N-1}(x_{i+1}-x_i)^2 +\delta\left[\frac{V(a)}2+\sum_{i=1}^{N-1}V(x_i)+\frac{V(b)}2\right].$$

양끝 potential의 절반 가중치는 앞 단원과 같습니다. 내부 좌표를 미분할 때는 상수이지만, 작용값과 커널 정규화에는 남아 있습니다. 이를 빼면 일부 미분 방정식은 같아도 적분 자체는 달라집니다.

$$K_N(b,a)=\left(\frac{m}{2\pi\hbar\delta}\right)^{N/2} \int_{\mathbb R^d}e^{-S_N(x)/\hbar}\,d^d x.$$

S_N은 작용의 단위, λ는 에너지/길이⁴의 단위를 가집니다. K_N의 단위는 길이의 역수입니다. 내부 좌표의 공동 가중치를 K_N으로 나누면 정규화한 고정끝 확률 밀도를 만들 수 있습니다. K_N 자체를 끝점 b에 대해 적분한 값이 반드시 1인 것은 아닙니다.

λ≥0이라는 조건도 중요합니다. 최고차 사차 계수가 음수이면 실수 좌표의 적분이 발산합니다. 뒤에서 다룰 이중 우물 예제도 사차 항 자체는 양수로 유지합니다.

4. 비선형 정상 방정식을 유도한다

내부 좌표 x_i는 양쪽의 운동 비용과 자신의 위치 비용에 들어 있습니다. 두 시간 간선을 각각 미분하면 이산 가속도 형태의 항이 나오고, 사차 potential을 미분하면 세제곱 힘이 나옵니다.

$$g_i(x)=\frac{\partial S_N}{\partial x_i} =\frac{m}{\delta}(2x_i-x_{i-1}-x_{i+1}) +\delta(m\omega^2x_i+\lambda x_i^3),\qquad g_i(x^*)=0.$$

N=2에서는 내부 좌표 하나가 양쪽 고정끝과 모두 연결됩니다. 두 끝점의 기여를 더해야 하며, 한쪽 항으로 다른 쪽을 덮어쓰면 안 됩니다. λ=0이면 앞 단원에서 다룬 선형 조화 방정식으로 돌아갑니다. λ>0이면 일반적으로 행렬의 역행렬 하나만으로 x*를 구할 수 없습니다.

직관적으로는 경로를 매끄럽게 하려는 힘과 원점에 가까이 두려는 비용의 균형입니다. 양끝이 양수라도 내부 경로는 두 끝점보다 낮은 위치로 휠 수 있습니다.

5. 곡률은 한 시각의 이차 미분만이 아니라 행렬이다

한 번 더 미분하면 대칭 삼대각 Hessian이 나옵니다. 사차 potential은 전개 중심의 위치에 따라 대각 곡률을 바꿉니다.

$$H_{ii}(x)=\frac{2m}{\delta}+\delta m\omega^2+3\delta\lambda x_i^2,\qquad H_{i,i+1}=H_{i+1,i}=-\frac m\delta,\qquad H_{ij}=0\ \ (|i-j|>1).$$

대각 성분만 보면 이웃 시각의 결합을 놓칩니다. 한 시각의 요동을 위로 밀면 운동 비용 때문에 주변 시각도 함께 반응하려 합니다. 역행렬은 이러한 관계를 기록합니다.

여기서 H는 단위가 있는 작용 S_N의 Hessian입니다. 지수 안의 Gaussian 정밀도는 Q=H/ℏ이므로, R=H⁻¹과 C_G=ℏR은 서로 다른 대상입니다. 이 단원에서 C_G는 항상 Gaussian 기준 공분산을 뜻합니다. 전체 사차 법칙의 공분산을 이미 계산했다는 뜻이 아닙니다.

6. 주 모형에 최소점이 하나뿐인 이유

양끝이 0인 요동 u에 대해 운동 부분의 이차 형식은 이웃 차이의 제곱합입니다. 모든 차이가 0이 아니면 양수이고, 모든 차이가 0이어도 양끝이 0이므로 u 전체가 0이어야 합니다. 음수가 아닌 조화 곡률과 사차 곡률은 여기에 양의 항을 더할 뿐입니다.

각 u_i를 앞선 차이들의 합으로 쓰고 Cauchy–Schwarz 부등식을 적용하면 보수적인 하계를 얻을 수 있습니다. 이를 모두 더하면 Σu_i²≤N²Σ(Δu)²가 되고, 다음 결론이 나옵니다.

$$H(x)\succeq\mu I,\qquad \mu=\frac{m}{\delta N^2}+\delta m\omega^2>0,\qquad \min(a,b,0)\le x_i^*\le\max(a,b,0).$$

일정한 곡률 하계는 S_N의 강볼록성을 뜻합니다. 내부 좌표가 커질 때 작용도 커지므로 최소점이 존재하고, 강볼록성 때문에 그 최소점은 유일합니다. 위치의 범위는 이산 최대 원리로 이해할 수 있습니다. 양끝과 0보다 높은 내부 최대점에서는 이웃 차이와 복원 항이 정상 방정식을 만족할 수 없습니다. 음의 내부 최소점에도 대응하는 논리가 적용됩니다.

이 범위에는 0이 들어 있습니다. 단순히 a와 b 사이의 구간으로 바꾸면 원점 쪽으로 휘는 경로를 잘못 제외하게 됩니다.

7. 계산기는 경로를 제안하고 잔차는 그 경로를 검사한다

실제 Newton 단계는 삼대각 선형계 H(x)p=−g(x)를 풉니다. 선 탐색으로 이동량을 줄여 작용이 감소하도록 만들 수 있습니다. 초기 후보로 직선 경로를 사용하는 것은 합리적이지만, 초기화와 반복 종료 조건은 계산 방법이지 정확한 답의 증명이 아닙니다.

Newton 이동량을 구하려고 굳이 역행렬 전체를 만들 필요는 없습니다. 선형계를 풀면 됩니다. 마지막 이동량의 크기와 잔차도 구별해야 합니다. 변화량이 작아진 이유가 반올림이나 나쁜 척도 때문일 수 있기 때문입니다.

손계산에서는 정확한 정상점을 먼저 구성한 뒤 g=0을 확인하겠습니다. 일반적인 수치 후보 x̂에는 실제 최소점과의 거리를 감싸는 경계를 남깁니다. 경로 그림이 매끈해 보이더라도 이 구분은 필요합니다.

8. 잔차를 위치와 작용의 인증으로 바꾼다

g(x̂)의 성분 중 절댓값이 가장 큰 값을 ρ라고 합시다. 강볼록성은 ||x̂−x*||₂≤||g(x̂)||₂/μ를 줍니다. 여기에 ||g||₂≤√dρ와 √d≤d를 쓰면 간단하고 보수적인 성분별 경계가 됩니다.

$$\|x^*-\widehat x\|_\infty\le e=\frac{d\rho}{\mu},\qquad 0\le S_N(\widehat x)-S_N(x^*)\le\frac{d\rho^2}{2\mu}.$$

작용의 경계는 x̂를 중심으로 만든 강볼록 이차 하계의 최소값에서 나옵니다. 그 값은 S_N(x̂)−||g(x̂)||₂²/(2μ)입니다. 모든 potential 항이 음수가 아니므로, 자유 직선의 운동 작용 m(b−a)²/(2τ)도 추가 하계가 됩니다.

뒤의 N=2 예제는 선택한 기준 단위에서 x*=1/2, μ=1입니다. 가까운 후보 x̂=51/100의 잔차는 97651/2000000≈0.04883입니다. 경계 e≈0.04883은 실제 위치 오차 0.01을 안전하게 포함하지만, 일부러 느슨한 값입니다. 유효한 인증이 반드시 날카로운 인증인 것은 아닙니다.

후보 위치에서 곡률을 계산했다면 그 불확실성도 전달해야 합니다. 유용한 Hessian 차이 경계와 역행렬 resolvent 추정은 다음과 같습니다.

$$\eta=3\delta\lambda e(2\|\widehat x\|_\infty+e),\qquad \left|(H(\widehat x)^{-1})_{ij}-R_{ij}\right|\le\frac{\eta}{\mu^2}, \qquad R=H(x^*)^{-1}.$$

Hessian 차이는 대각 행렬이고 그 크기는 η 이하입니다. 또한 A⁻¹−B⁻¹=A⁻¹(B−A)B⁻¹이고 두 역행렬의 norm은 모두 1/μ 이하입니다. η<μ이면 양의 행렬 H(x̂)±ηI가 H(x*)를 감싸며, 두 determinant가 detH(x*)를 감쌉니다. 이 충분조건이 실패했다면 determinant 인증을 얻지 못한 것입니다. 불확실성이 0이라는 뜻으로 바꾸면 안 됩니다.

9. 최소점 주변에서 작용을 전개한다

x=x*+ξ로 쓰고 끝점 요동은 ξ₀=ξ_N=0으로 놓습니다. 일차 미분은 사라집니다. Potential이 사차식이므로 유한 차원 다항식 전개는 사차에서 정확히 끝납니다.

$$S_N(x^*+\xi)=S_*+\frac12\xi^{\mathsf T}H\xi +\delta\lambda\sum_{i=1}^d\left(x_i^*\xi_i^3+\frac{\xi_i^4}{4}\right), \qquad S_*=S_N(x^*),\quad H=H(x^*).$$

이 식은 최소점에서의 값, 이차 요동 비용, 비가우스 나머지라는 세 기여를 나눠 보여줍니다. 정확한 x* 대신 후보 x̂에서 전개하면 선형항 g(x̂)ᵀξ도 남습니다. 잔차를 고려하지 않고 그 항을 없애면 다른 문제를 풀게 됩니다.

원래 사차 potential이 양수라고 해서 이동한 나머지까지 음수가 아닌 것은 아닙니다. 삼차 항의 부호가 바뀔 수 있기 때문입니다. 이 사실이 간단한 전역 Taylor 경계를 어디에 적용할 수 있는지 결정합니다.

10. Gaussian 부피 인자를 적분한다

잠시 삼차·사차 나머지를 빼고 생각합시다. 양의 Hessian을 대각화하면 요동 적분은 독립적인 d개의 Gaussian 적분으로 나뉩니다. 각 곡률 고유값은 제곱근의 역수로 기여합니다.

$$\int_{\mathbb R^d}e^{-\xi^{\mathsf T}H\xi/(2\hbar)}\,d^d\xi =\frac{(2\pi\hbar)^{d/2}}{\sqrt{\det H}},\qquad K_G=\sqrt{\frac{m^N}{2\pi\hbar\,\delta^N\det H}}\,e^{-S_*/\hbar}.$$

두 번째 식은 N개의 자유 단계 앞 인자를 모두 유지하고 d=N−1을 대입한 결과입니다. λ=0이면 고차 항이 없으므로 K_G는 정확한 유한 조화 커널과 같습니다. λ>0에서는 Gaussian 근사입니다.

단일 그릇 S=S_*+Hξ²/2의 Gaussian 적분은 H⁻¹ᐟ²에 비례합니다. 최소 작용값과 측도를 유지한 채 H를 1에서 4로 바꾸면 적분값과 요동 폭이 모두 절반이 됩니다. 최소점의 지수값 하나만으로는 이 변화를 예측할 수 없습니다.

수치로 찾은 최소점이 무리수이면 작용·determinant·Gaussian 공분산에는 구간 또는 명시적인 근사 표시가 필요합니다. 근처 후보를 정확분수로 저장했다고 그 후보가 정확한 최소점으로 바뀌지는 않습니다.

11. 요동을 재척도화해 작은 매개변수를 드러낸다

ξ=√ℏ y로 놓으면 y의 Gaussian 공분산은 R이고 ℏ에 더 이상 의존하지 않습니다. 실제 위치 요동 ξ의 공분산은 ℏR입니다.

$$y\sim\mathcal N(0,R),\qquad B_3(y)=\delta\lambda\sum_i x_i^*y_i^3,\qquad B_4(y)=\frac{\delta\lambda}{4}\sum_i y_i^4,\qquad \frac{K_N}{K_G}=\mathbb E_G e^{-\sqrt{\hbar}B_3-\hbar B_4}.$$

x*와 H가 정확하다면 마지막 적분비 식도 정확한 항등식입니다. 작은 ℏ의 근사는 그 뒤의 기대값을 전개할 때 들어갑니다.

이 척도는 최소 경로가 고정된 채 기준 띠가 좁아지는 이유를 설명합니다. ℏ를 줄이면 요동이 좁아질 뿐, 다른 정상 방정식을 푸는 것은 아닙니다. λ를 바꾸면 일반적으로 최소점도 변합니다. 다만 양끝이 0이면 모든 비음수 λ에서 x*=0이므로, 비가우스 적분이 변해도 Gaussian Hessian은 그대로입니다.

12. 보정을 추측하지 말고 모멘트를 계산한다

중심 Gaussian의 홀수 전체 차수 모멘트는 0입니다. 짝수 모멘트는 좌표들을 쌍으로 묶는 모든 방법의 합이며, 각 쌍은 공분산을 하나씩 제공합니다. 이 규칙은 Gaussian 부분적분으로 유도할 수 있습니다. y_i와 다항식의 곱의 기대값을, 각 y_j 미분의 기대값에 R_ij를 곱한 합으로 바꾸는 것입니다. 반복하면 차수가 2씩 줄어 마지막 상수 모멘트 1에 도달합니다.

이 단원에 필요한 모멘트는 다음 세 가지입니다.

$$\begin{aligned} \mathbb E_G y_i^4&=3R_{ii}^2,\\ \mathbb E_G(y_i^3y_j^3)&=9R_{ii}R_{jj}R_{ij}+6R_{ij}^3,\\ \mathbb E_G(y_i^4y_j^4)&=9R_{ii}^2R_{jj}^2+72R_{ii}R_{jj}R_{ij}^2+24R_{ij}^4. \end{aligned}$$

여섯 변수의 곱에서는 두 시각 사이를 건너는 쌍이 하나이거나 세 개입니다. 첫 경우는 3×3=9가지, 두 번째 경우는 3!=6가지입니다. 여덟 변수의 곱에서는 교차 쌍이 0개, 2개, 4개일 때 각각 9, 72, 24가지가 나옵니다.

i=j일 때도 이 식은 유효합니다. 익숙한 6차·8차 모멘트인 15R_ii³, 105R_ii⁴로 돌아갑니다. 결합된 경로에서 R을 대각 행렬로 바꾸면 이러한 시각 간 상관을 놓치게 됩니다.

13. Gaussian 밖의 첫 보정을 유도한다

남은 지수함수를 Gaussian 기대값 뒤에 필요한 차수까지 전개합니다. B₃에 선형인 항은 홀수 차수라 사라지지만, 그 제곱은 짝수 차수이므로 남습니다.

$$\frac{K_N}{K_G}=1+\hbar c_1+O(\hbar^2),\qquad c_1=\frac12\mathbb E_G B_3^2-\mathbb E_G B_4 =\frac{(\delta\lambda)^2}{2}\sum_{i,j}x_i^*x_j^* \left(9R_{ii}R_{jj}R_{ij}+6R_{ij}^3\right) -\frac{3\delta\lambda}{4}\sum_i R_{ii}^2.$$

c₁의 단위는 작용의 역수이므로 ℏc₁은 무차원입니다. 양의 삼차 제곱 기여와 음의 사차 기여가 경쟁합니다. Gaussian의 세 번째 모멘트가 0이라는 이유로 삼차 항 전체를 빼면 첫 보정부터 잘못 계산합니다.

이 식은 앞에서 확인한 매끄러움, 큰 좌표에서의 성장, 비퇴화 최소점이라는 조건 아래 고정 N의 점근 명제입니다. 최소점 근방과 강하게 억제되는 바깥 영역을 나누어 정당화합니다. 나머지를 고려하지 않은 채 무한 급수를 전체 적분과 교환하는 것이 아닙니다. 중심 Gaussian에서는 홀수인 국소 항들이 상쇄됩니다.

c₁을 감싸는 구간은 그 계수만 감쌉니다. K_N/K_G에서 버린 모든 고차 항의 수치 오차 경계를 주지는 않습니다. O(ℏ²)라는 기호에는 아직 필요한 상수의 값이 들어 있지 않습니다.

14. 내부 좌표 하나의 세 정상점을 손으로 계산한다

N=2, m=τ=ω²=λ=1로 두면 δ=1/2입니다. a=0으로 놓으면 정상 방정식과 곡률은 다음처럼 단순해집니다.

$$g(x)=\frac92x+\frac12x^3-2b,\qquad b=\frac{9q+q^3}{4}\ \Longrightarrow\ x^*=q,\qquad H(q)=\frac92+\frac32q^2.$$

q를 먼저 선택하면 일반 비선형 방정식의 해가 유리수라고 가정하지 않고도 정확한 정상점을 구성할 수 있습니다. 주 작용이 강볼록이므로 g(q)=0을 확인하면 유일한 최소점도 확인한 셈입니다.

b	x*	H	삼차 제곱 기여	사차 기여	c₁
0	0	9/2	0	−1/54	−1/54
37/32	1/2	39/8	80/19773	−8/507	−232/19773
13/2	2	21/2	20/3087	−1/294	19/6174

q=1/2에서는 Gaussian 역곡률이 R=8/39입니다. 양끝의 절반 potential까지 유지한 최소 작용은 S*=17277169/16777216입니다. 삼차 제곱 기여는 80/19773, 사차 기여는 −312/19773이므로 합은 −232/19773입니다.

q=2에서는 전체 계수가 양수입니다. 그렇다고 양의 사차 비용을 추가하면 그 비용을 뺀 같은 모형보다 커널이 감소한다는 사실과 모순되지는 않습니다. K_G는 사차 모형 자체의 최소점과 Hessian에서 계산한 다른 기준값이기 때문입니다.

q=1/2에서 이동한 나머지도 유용한 반례를 줍니다. ξ=−1/2를 δλ(qξ³+ξ⁴/4)에 넣으면 −3/128입니다. 원래 사차 potential의 양수성이 이동한 나머지의 비음수성을 보장하지는 않습니다.

15. 최소점은 최빈값이지 자동으로 평균이 되는 것은 아니다

한 좌표 예제에서 정규화한 고정끝 밀도의 최빈값은 q입니다. 그 Gaussian 근사는 q를 중심으로 대칭이지만, 정확한 밀도는 삼차 항 때문에 비대칭입니다.

양의 정상점 q에서 같은 거리 r>0만큼 떨어진 양쪽을 비교해 봅시다. 밀도비에서는 공통 이차·사차 항이 지워집니다.

$$\frac{p(q+r)}{p(q-r)} =\exp\left(-\frac{2\delta\lambda q r^3}{\hbar}\right)<1 \qquad(q>0,\ \lambda>0).$$

최빈값에서 같은 거리에 있는 점끼리 비교하면 왼쪽이 항상 더 무겁습니다. 평균 적분에서 양·음의 변위를 짝지으면 이 한 좌표 경우의 정확한 평균이 q보다 작다는 것을 알 수 있습니다. 최소점 자체는 여전히 q입니다.

따라서 그림에는 정상점 표시, 대칭 Gaussian 기준, 실제 한 좌표 사차 밀도를 구별해 그리는 것이 좋습니다. ℏR로 계산한 띠는 Gaussian 기준을 나타냅니다. 경로 표본을 감싼 띠도 아니고 전체 비가우스 사슬의 공분산을 인증한 것도 아닙니다.

16. 양끝이 0일 때 전역 적분비 경계를 얻는다

a=b=0이면 유일한 최소점은 정확히 0입니다. 이동 후 삼차 항이 없고, λ>0이어도 Hessian은 조화 모형과 같습니다. W=Σy_i⁴≥0, ε=ℏδλ/4를 정의합시다.

$$\frac{K_N}{K_G}=\mathbb E_G e^{-\varepsilon W},\qquad M_1=\mathbb E_G W=3\sum_iR_{ii}^2,\qquad M_2=\mathbb E_G W^2 =\sum_{i,j}\left(9R_{ii}^2R_{jj}^2+72R_{ii}R_{jj}R_{ij}^2+24R_{ij}^4\right).$$

모든 음수가 아닌 u에 대해 1−u≤e⁻ᵘ≤1−u+u²/2입니다. 기대값을 취해도 부등호가 유지됩니다. 정확한 적분비가 양수이고 e⁻ᵘ≤1이라는 사실까지 쓰면 원래 경계를 더 좁힐 수 있습니다.

$$\max(0,1-\varepsilon M_1)\le \frac{K_N}{K_G} \le\min\left(1,1-\varepsilon M_1+\frac{\varepsilon^2M_2}{2}\right).$$

이것은 첫 계수만이 아니라 실제 적분비에 대한 유한 차원 경계입니다. ε=0이면 비는 정확히 1입니다. ε가 크면 구간이 거의 [0,1]까지 넓어질 수 있습니다. 유효한 부등식이라고 항상 유용한 정확도를 주는 것은 아닙니다.

양끝 0은 편리한 충분조건입니다. N=2에서는 반대인 두 끝점도 정확한 정상점 0을 만들므로 같은 논증이 적용됩니다. 핵심은 정상 경로가 0이고 이동한 나머지가 음수가 아님을 인증하는 것입니다.

나머지에 대한 조건이 핵심입니다. 일반적인 이동 문제에서는 B₃가 음수일 수 있고, 그 전체 나머지에 비음수 u를 위한 Taylor 경계를 적용할 수 없습니다. 양끝 0에서 얻은 오차 막대를 비영 끝점 그림에 그대로 복사하면 안 됩니다.

17. 양끝 0의 경계를 직접 대입해 확인한다

표의 첫 행에서는 H=9/2, R=2/9입니다. 필요한 Gaussian 모멘트는 E[y⁴]=4/27, E[y⁸]=560/2187입니다. ε=ℏ/8을 대입하면 다음 경계가 나옵니다.

$$\max\left(0,1-\frac{\hbar}{54}\right) \le\frac{K_2}{K_G} \le\min\left(1,1-\frac{\hbar}{54}+\frac{35\hbar^2}{17496}\right).$$

ℏ=1이면 [53/54,17207/17496]입니다. 이 유리수 경계를 세우는 데 표본 추출이나 소수 적분은 필요하지 않습니다. 차이를 Gaussian 기준으로 나눴다는 점도 중요합니다. 이 비의 오차와 K₂ 자체의 절대 오차는 자동으로 같지 않습니다.

상계의 보정은 ℏ²에 비례하고 첫 감소량은 ℏ에 비례합니다. 따라서 이 특별한 모형에서는 물리 매개변수를 고정하고 ℏ를 줄이면 통제 가능한 방식으로 구간이 좁아집니다.

18. 항을 더 많이 쓴다고 항상 더 좋아지는 것은 아니다

H>0인 단일 좌표 작용 Hz²/2+λz⁴/4를 생각합시다. Gaussian 모멘트로 얻는 형식적 전개 계수는 다음과 같습니다.

$$a_n=\frac{(-\hbar\lambda/4)^n(4n-1)!!}{n!\,H^{2n}},\qquad \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\hbar\lambda(4n+1)(4n+3)}{4(n+1)H^2}.$$

양의 ℏλ를 고정하면 이 비는 무한히 커집니다. 따라서 뒤로 갈수록 항이 0으로 가는 것이 아니라 다시 커집니다. 수렴하는 무한합이 아닙니다. 반면 전개 차수를 고정한 채 ℏ를 줄이면 유한 차수 나머지를 작게 만들 수 있습니다.

실제 비교에서는 절단 차수, 매개변수, 적용 가능한 경계를 함께 기록해야 합니다. 모든 항을 유지하자는 방법도, 다음 항이 작아 보인다는 관찰도 보편적인 정확도 인증은 아닙니다. 앞의 유한 Taylor 부등식은 명시한 양수성 조건 아래 실제 경계를 주지만, 일반적인 점근 기호 하나만으로는 그렇지 않습니다.

19. 시간 격자 정련과 준고전 척도를 분리한다

독립적인 변화가 적어도 세 가지입니다. τ를 고정하고 N을 늘리는 일, 작용을 고정하고 ℏ를 줄이는 일, ℏ를 고정하고 λ를 줄이는 일입니다. 첫 번째는 유한 구적 규칙과 좌표 수를 바꾸고, 두 번째는 고정된 최소점 주변의 요동을 좁히며, 세 번째는 일반적으로 최소점 자체를 바꿉니다.

양끝이 0이고 ω²=0이면 자유 곡률 역행렬의 대각은 R_ii=δi(N−i)/(mN)입니다. N²Σi²−2NΣi³+Σi⁴를 전개하면 Σi²(N−i)²=(N⁵−N)/30을 얻습니다. 따라서 대각의 제곱합으로 첫 보정의 정확한 대조식을 만들 수 있습니다.

$$-c_1=\frac{3\delta\lambda}{4}\sum_{i=1}^{N-1}R_{ii}^2 =\frac{\lambda\tau^3}{40m^2}\left(1-\frac1{N^4}\right).$$

1−N⁻⁴는 아래쪽에서 1로 접근합니다. 이것은 한 유한 격자 계수에 대한 명제입니다. 모든 사차 관측량의 이산화 오차가 4차라는 정리는 아닙니다.

N을 바꾸면 원시 Hessian 고유값의 격자 척도도 변합니다. 다른 격자의 척도를 맞추지 않은 고유값 하나로 물리적 soft mode를 판정하기보다, 정규화를 일치시킨 물리량을 비교해야 합니다.

20. 최소점이 여러 개이면 무엇이 달라지는가

주 사슬은 강볼록이므로 최소점이 하나입니다. 여러 기여를 따로 살펴보기 위해 고정 기준 단위의 한 좌표 적분을 도입합시다.

$$A_\kappa(z)=\frac{z^4}{4}-\frac{\kappa z^2}{2},\qquad I(\hbar,\kappa)=\int_{\mathbb R}e^{-A_\kappa(z)/\hbar}\,dz,\qquad A_\kappa'(z)=z(z^2-\kappa).$$

κ	최소점	그곳의 곡률	주의할 점
음수	z=0	−κ>0	비퇴화 최소점 하나
0	z=0	0	Gaussian 근사 실패
양수	z=±√κ	2κ>0	양쪽 최소점이 모두 기여하며 z=0은 극대점

여러 개의 고립된 비퇴화 최소점이 있는 일반 유한 적분에서는 각 국소 Gaussian 기여를 합하는 것이 선도 Laplace 근사입니다. 작용값이 지수 가중치를, Hessian이 주변 부피를 정합니다. 작용값이 다르면 기여도 일반적으로 같지 않습니다.

이 단일 좌표 예제는 전체 이중 우물 양자 경로 적분을 계산한 것이 아닙니다. 터널링 속도나 instanton 계산을 했다고 주장하지 않고, 여러 최소점의 합산과 합쳐지는 극점을 보여주는 예제입니다.

21. 두 국소 기여를 먼저 합한 뒤 정확도를 판단한다

κ>0이면 두 최소점의 작용은 모두 −κ²/4이고 곡률은 2κ입니다. 각 최소점은 국소 Gaussian 적분 하나를 제공합니다. 둘을 합하면 다음과 같습니다.

$$I_G(\hbar,\kappa)=2\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\kappa}}\, e^{\kappa^2/(4\hbar)},\qquad \frac{I}{I_G}=1+\frac{3\hbar}{4\kappa^2}+O(\hbar^2) \quad(\kappa>0\ \text{fixed}).$$

ℏ가 작아질 때 최소점 하나만 유지하면 대략 2배의 인자를 놓칩니다. 가운데 정상점은 곡률이 음수이므로 정규화한 실수 Gaussian을 제공할 수 없습니다. 곡률의 절댓값을 사용하면 존재하지 않는 기여를 추가하게 됩니다.

전체 대칭 법칙의 평균은 0이며, 어느 최소점도 그 평균과 같지 않습니다. 한쪽 우물의 국소 Gaussian 하나만 사용하면 이러한 전역 대칭도 놓칩니다. 평균 위치가 0이라는 사실은 대부분의 질량이 0 근처에 있다는 뜻이 아닙니다.

단일 좌표의 첫 보정 식은 Gaussian의 6차·4차 모멘트에서 나옵니다.

$$c_1^{\rm scalar} =\frac{5(A'''(z_*))^2}{24H^3} -\frac{A''''(z_*)}{8H^2},\qquad H=A''(z_*)>0.$$

이중 우물에서는 A'''=6z*, A''''=6, z²=κ를 대입하면 3/(4κ²)가 됩니다. κ<0이면 대신 z=0, H=−κ이므로 −3/(4κ²)입니다. 양의 경우와 음의 경우는 같은 국소 전개를 사용하는 것이 아닙니다.

관련된 무차원 매개변수는 ℏ/κ²입니다. 그림에서 두 최소점이 멀어 보여도 이 비가 작지 않으면 요동 척도에서는 겹칠 수 있습니다.

22. 곡률이 0이면 맞는 척도를 사용한다

κ=0에서는 이차 항이 사라집니다. 사차 적분은 여전히 유한하지만 √H로 나누는 Gaussian 식은 사용할 수 없습니다. z=√ℏ y 대신 z=ℏ¹ᐟ⁴u로 재척도화합니다.

$$I(\hbar,0)=\hbar^{1/4} \int_{\mathbb R}e^{-u^4/4}\,du.$$

폭은 ℏ¹ᐟ²가 아니라 ℏ¹ᐟ⁴에 비례합니다. 따라서 ℏ를 16으로 나누면 사차 폭은 절반이 됩니다. 고정 곡률의 Gaussian 폭이라면 4분의 1이 됩니다.

이 경우에는 폭이 무한한 Gaussian 확률을 만들어내기보다 넓고 평평한 사차 바닥을 그리는 것이 적절합니다. 양의 ℏ를 고정하면 κ가 0을 통과해도 단일 좌표 적분은 유한합니다. 정상점 패턴의 변화 자체가 곧 열역학적 상전이는 아닙니다.

이 예제는 실패 원리를 보여줍니다. 유지해야 할 고차 항에 비해 이차 곡률이 너무 작아지면, 국소 Gaussian 설명은 더 이상 균일하게 유용한 근사가 아닙니다.

23. 수치 적분은 별도의 증거다

한 좌표 예제는 결정론적 구적법으로 대조할 수 있습니다. 적분 좌표가 하나이기 때문에 가능한 방법입니다. 일반적인 N−1차원 사차 사슬을 정확하게 구적한 것은 아닙니다.

κ>0에서는 최소 작용의 지수를 밖으로 빼서 피적분함수가 지수적으로 커지지 않게 만들 수 있습니다.

$$J=\int_{\mathbb R}e^{-(A_\kappa(z)-A_{\min})/\hbar}\,dz,\qquad \log I=-\frac{A_{\min}}{\hbar}+\log J.$$

이동한 피적분함수는 1 이하입니다. 그래도 각 좁은 봉우리를 충분히 분해하고 꼬리를 덮는 격자가 필요합니다. 두 격자가 모두 봉우리를 놓치고도 서로 일치할 수 있으므로, 격자 결과의 일치 자체는 인증 오차 구간이 아닙니다. 소수 정밀도를 높여도 적분 영역을 잘라낸 오차는 사라지지 않습니다.

대수에는 독립적인 정확분수 항등식을, 선택한 비교에는 80자리 Decimal 구적을 사용했습니다. 이들은 서로 다른 종류의 증거입니다. 양끝 0의 Taylor 경계는 대수적 보증이지만, 일반적인 이동 모형과 이중 우물의 소수 비교를 인증 적분 경계로 표시하지는 않습니다.

24. 정확한 Python 산술로 작은 예제를 재현한다

이 실습은 Python 표준 라이브러리만 사용합니다. Gaussian 부분적분을 재귀적으로 적용해 모멘트를 계산하므로, 삼차 제곱 항은 potential의 부호를 보고 추측하는 대신 6차 모멘트에서 구합니다. 반복되는 부분 문제는 캐시에 보관합니다.

코드는 정확한 정상점 세 개를 확인하고, 양끝 0의 엄밀한 적분비 경계를 구하며, S*에서 끝점 절반 potential을 유지하고, 결합된 두 좌표의 Gaussian 역행렬을 검사합니다. 일반 비선형 정상점 계산기나 전체 사차 사슬 적분을 구현한 코드는 아닙니다.

from fractions import Fraction as F
from functools import lru_cache

def moment(R, powers):
    @lru_cache(None)
    def evaluate(e):
        if sum(e) == 0:
            return F(1)
        if sum(e) % 2:
            return F(0)
        i = next(i for i, degree in enumerate(e) if degree)
        remaining = list(e)
        remaining[i] -= 1
        total = F(0)
        for j, count in enumerate(remaining):
            if count:
                lower = remaining.copy()
                lower[j] -= 1
                total += count * R[i][j] * evaluate(tuple(lower))
        return total
    return evaluate(tuple(powers))

def correction(R, q, delta, lam):
    d = len(q)
    cubic = F(0)
    quartic = F(0)
    for i in range(d):
        powers = [0] * d
        powers[i] = 4
        quartic -= delta * lam * moment(R, powers) / 4
        for j in range(d):
            powers = [0] * d
            powers[i] += 3
            powers[j] += 3
            cubic += (delta * lam)**2 * q[i] * q[j] * moment(R, powers) / 2
    return cubic, quartic

delta = F(1, 2)
lam = F(1)
for q in [F(0), F(1, 2), F(2)]:
    b = (9*q + q**3) / 4
    assert F(9, 2)*q + q**3/2 - 2*b == 0
    H = F(9, 2) + F(3, 2)*q*q
    c3, c4 = correction([[1/H]], [q], delta, lam)
    print(f"q={q} H={H} c3={c3} c4={c4} c1={c3+c4}")

R0 = [[F(2, 9)]]
epsilon = F(1, 8)  # hbar=1, delta=1/2, lam=1
M1 = moment(R0, (4,))
M2 = moment(R0, (8,))
lower = max(F(0), 1-epsilon*M1)
upper = min(F(1), 1-epsilon*M1+epsilon**2*M2/2)
print(f"bounds={lower},{upper}")

q, b = F(1, 2), F(37, 32)
candidate = F(51, 100)
residual = F(9, 2)*candidate + candidate**3/2 - 2*b
assert abs(candidate-q) <= abs(residual)  # d=1, mu=1
print(f"residual={residual}")

def V(x):
    return x*x/2 + x**4/4

def action_one(x):
    return x*x + (b-x)**2 + delta*(V(x)+V(b)/2)

minimum_action = action_one(q)
for offset in [F(1, 4), F(1, 2), F(2)]:
    assert action_one(q+offset)-action_one(q-offset) == 2*delta*lam*q*offset**3
shift = F(-1, 2)
assert delta*lam*(q*shift**3+shift**4/4) == F(-3, 128)
print(f"S*={minimum_action}")

# N=3, time=3, mass=lam=1, omegaSquared=0.
# Endpoints 5/8 and interior positions (1/2, 1/2).
path = [F(5, 8), F(1, 2), F(1, 2), F(5, 8)]
for i in [1, 2]:
    assert 2*path[i]-path[i-1]-path[i+1]+path[i]**3 == 0
diagonal = F(11, 4)
determinant = diagonal**2 - 1
H = [[diagonal, F(-1)], [F(-1), diagonal]]
R = [[diagonal/determinant, 1/determinant],
     [1/determinant, diagonal/determinant]]
for i in range(2):
    for j in range(2):
        assert sum(H[i][k]*R[k][j] for k in range(2)) == F(i == j)
print(f"N=3 det={determinant} R11={R[0][0]} R12={R[0][1]}")

앞의 세 전체 계수는 −1/54, −232/19773, 19/6174입니다. 적분비 경계는 [53/54,17207/17496]입니다. 결합 역행렬은 R₁₁=44/105, R₁₂=16/105를 가집니다. 소수 곡선을 믿기 전에 이 정확한 검사부터 맞아야 합니다.

25. 예측하고 비교하는 여섯 실험

계산에 앞서 변화를 예측해 보세요. 확인하는 것이 정확한 항등식인지, 경계인지, 점근 계수인지, 소수 근사인지 함께 밝힙니다.

변화	확인할 예측	이유
N과 물리 작용을 고정하고 ℏ 감소	x*는 고정되고 Gaussian 폭은 √ℏ에 따라 감소	정상 방정식에는 ℏ가 없음
양끝을 0으로 두고 λ 증가	x*=0과 H는 같지만 정확한 커널 비는 감소	Gaussian 기준 밖의 사차 나머지가 바뀜
N=2에서 b를 37/32에서 13/2로 변경	c₁의 부호가 바뀜	양의 삼차 제곱 기여가 우세할 수 있음
삼차 제곱 항을 뺐다가 다시 포함	비영 끝점 손계산이 틀렸다가 맞음	세 번째 모멘트가 0이어도 삼차 항 제곱은 남음
ω²=0, 양끝 0, τ 고정에서 N 정련	첫 감소 계수가 λτ³/(40m²)로 접근	시간 정련은 작은 ℏ 척도와 별도로 계수를 바꿈
κ를 음수·0·양수로 변경	하나·퇴화·두 최소점이 나타남	곡률 0에서는 사차 척도, 양의 κ에서는 양쪽 기여가 필요

잔차 실험에서는 정확한 근 1/2를 51/100으로 이동시키고 실제 변위와 인증 반경을 비교해 보세요. 그림 실험에서는 같은 근 주변에 국소 Gaussian과 정규화한 한 좌표 사차 밀도를 겹쳐 보세요. 기준 공분산과 실제 비가우스 퍼짐은 서로 다른 이름으로 표시해야 합니다.

26. 해설과 함께 확인하는 문제

1. 두 작용의 최소값이 같으면 적분도 같은가요? 아닙니다. Hessian이 다르면 주변 부피가 다릅니다. 한 차원에서 최소값과 측도를 유지한 채 곡률을 1에서 4로 늘리면 Gaussian 적분은 절반이 됩니다.

2. ℏ를 줄여도 주 모형의 정상 경로가 움직이지 않는 이유는 무엇인가요? g(x*)=0은 ℏ가 없는 S_N에서 얻습니다. 1/ℏ는 집중도를 바꿉니다. λ를 바꾸는 것은 S_N 자체를 바꾸므로 일반적으로 x*도 움직입니다.

3. Newton 이동량이 아주 작으면 정확한 최소점을 인증하나요? 아닙니다. 잔차와 곡률 하계를 검사해야 합니다. dρ/μ는 위치 오차의 경계이지만, 이동량 하나가 작다는 사실은 반올림이나 수치 척도의 영향일 수도 있습니다.

4. Gaussian 기대값이 0인 삼차 항이 왜 기여하나요? 첫 보정에는 E[B₃²]/2가 들어 있고 이는 짝수인 6차 모멘트입니다. 한 교차 쌍과 세 교차 쌍이 각각 계수 9와 6을 만듭니다. E[B₃]=0이라고 이 항까지 사라지는 것은 아닙니다.

5. λ≥0이면 모든 끝점에서 K_N/K_G≤1인가요? 아닙니다. 이동 후 삼차 나머지가 음수일 수 있습니다. q=2 손계산은 첫 계수 19/6174가 양수입니다. 간단한 상계 1은 양끝 0의 비음수 나머지 경우에 적용합니다.

6. c₁을 정확하게 감싸면 전체 커널 오차도 인증되나요? 아닙니다. 그 계수의 불확실성을 인증할 뿐, 버린 고차 항을 인증하지는 않습니다. 실제 적분비의 경계에는 특별한 비음수 사차 Taylor 경계처럼 별도의 나머지 논증이 필요합니다.

7. 작은 ℏ에서 최소점 하나만 쓰면 대칭 이중 우물 적분을 왜 놓치나요? 두 최소점의 작용과 곡률이 같습니다. 각각 같은 선도 Gaussian 부피를 제공하므로 하나만 취하면 대략 2배의 기여를 잃습니다. 곡률이 음수인 중앙 극대점은 세 번째 양의 Gaussian 기여가 아닙니다.

8. κ=0에서 Hessian 곡률이 0이면 적분이 발산하나요? 아닙니다. 양의 사차 항이 적분을 계속 구속하고 폭은 ℏ¹ᐟ⁴로 변합니다. 실패한 Gaussian 근사를 적절한 국소 척도로 바꿔야 하며, 정확한 법칙이 발산한다고 해석하면 안 됩니다.

27. AI와 연결하되 근거 없는 보증을 가져오지 않는다

유한 통계 모형의 Laplace 근사도 같은 구조를 가집니다. 최빈값 주변에서 음의 로그 가중치를 전개하고 Hessian을 유지합니다. Evidence 적분은 가장 좋은 목적함수 값뿐 아니라 국소 부피에도 의존합니다. 따라서 손실이 같은 두 모드라도 정규화에 기여하는 양이 다를 수 있습니다.

통계적 비유를 쓰려면 온도와 비슷한 작은 매개변수를 부여하기 전에 음의 결합 로그 가중치, 사전분포, 적분 측도를 정의해야 합니다. 여기의 물리적 ℏ는 작용의 단위를 가집니다. ML 조정 매개변수와 동일시하려면 재척도화를 선언해야 합니다. 모드에 기반한 Gaussian 공분산은 사후 불확실성의 근사이지 자동적인 보정 성능 보증이 아닙니다.

신경망 목적함수에는 이 사슬에서 증명한 유일성이나 강볼록성이 없을 수 있습니다. 대칭성과 약하게 식별된 매개변수는 평평한 방향을 만들고, 여러 모드는 한 국소 근사의 유효성을 깨뜨릴 수 있습니다. Ridge를 더하거나 Hessian determinant의 절댓값을 취하면 계산 자체가 바뀌므로 해석을 밝혀야 합니다. 좌표를 바꾸면 밀도와 측도의 Jacobian도 변합니다. Determinant 하나는 좌표와 무관한 evidence 점수가 아닙니다.

이 기준 모형은 구현이 최적화, 곡률 추정, 정규화, 버린 고차 효과를 구별하는지 확인하는 데 유용합니다. 임의의 학습된 신경망에서 Laplace 근사가 잘 작동한다는 증거는 아닙니다.

28. 한계를 밝히고 다음으로 넘어간다

정확한 작용과 다항식 항등식은 유한 격자의 결과입니다. 일반 사슬의 Gaussian 근사와 첫 계수는 전체 사차 적분을 계산한 것이 아닙니다. 인증한 적분비 경계에는 정상 경로 0의 비음수 나머지 조건을 확인해야 합니다. 단일 좌표 이중 우물은 여러 최소점과 퇴화를 설명하지만 양자 터널링 계산을 제공하지 않습니다. 소수 구적 대조는 꼬리나 구간 오차의 인증 분석이 아닙니다.

다음 경로적분 처리는 실시간 위상과 고전 극한입니다. 진동과 정지 위상이 새로운 문제를 만듭니다. 상호작용 연속체 극한, 여러 양자 고전 경로, instanton, 재규격화에는 추가 분석이 필요합니다.

배경 자료로 준고전 전개의 Wipf 6장 §6.3, 정상 배치 주변 요동의 Tong, Statistical Field Theory §2, 고전 작용 지수와 요동 앞 인자의 Grosche 도입부를 참고할 수 있습니다. 여기의 유한 사차 사슬 항등식과 손계산은 이 단원에서 선언한 규약으로 직접 유도했습니다.