D4 군 작용·궤도와 안정자

군은 가역 변환의 합성 규칙입니다

정사각형에는 네 회전과 네 반사, 총 여덟 강체 대칭이 있습니다. 여기서는 이 군을 D4라 부릅니다. 같은 군을 D8이라고 쓰는 책도 있으므로 표기를 확인해야 합니다. 닫힘·결합법칙·항등원·역원은 예쁜 그림 목록이 아니라 변환을 합성하는 규칙입니다.

R은 반시계 π/2 회전, S는 수평축 반사입니다. 모든 원소는 RᵏSᵇ로 유일하게 쓰며 k=0,1,2,3, b=0,1입니다. 열벡터에 행렬을 곱하므로 오른쪽 변환부터 작용합니다.

반사가 회전 방향을 뒤집기 때문에 일반적으로 교환하지 않습니다. 쌍 표기의 곱은 (k,b)(l,c)=(k+(−1)ᵇl mod 4,b+c mod 2)입니다. 수치 검사는 이 규칙과 실제 행렬 곱을 별도로 비교합니다.

군 작용은 무엇을 변환할지 정합니다

왼쪽 작용은 e·x=x, (gh)·x=g·(h·x)를 만족합니다. 여기서는 물리 평면에 행렬로 작용합니다. 파란 정사각형은 기하 기준이고 파란 점들은 선택한 원본 점의 서로 다른 상 전체입니다. 주황은 선택한 군 원소의 상입니다.

같은 추상 군도 pixel·벡터·집합·함수 공간에 다르게 작용할 수 있습니다. 작용 선택도 모형의 일부입니다. 군 원소가 여덟 개라고 모든 점의 상이 여덟 개일 필요는 없습니다.

궤도와 안정자는 다른 것을 셉니다

궤도는 도달 가능한 상의 집합이고 안정자는 원래 점을 고정하는 부분군입니다. 유한 군에서는 다음과 같습니다.

같은 상을 만드는 군 원소들은 안정자의 coset을 이루므로 상마다 같은 개수의 원소가 대응합니다. 꼭짓점은 네 상을 각각 두 원소가 만들고, 중심은 여덟 원소가 같은 점을 만듭니다. (0.7,0.3) 같은 일반 점의 안정자는 항등원뿐이므로 상이 여덟 개입니다.

직접 풀기와 풀이

변 중앙 (1,0)을 선택하세요. 항등원과 수평축 반사가 고정하므로 안정자 2, 궤도 4를 예상할 수 있습니다. 주황 점 하나만 보지 말고 표 전체로 확인하세요. 이어 중심으로 바꿔 안정자가 클수록 궤도가 작아지는 이유를 설명하세요.

학습과의 연결

가중치 공유와 데이터 증강은 작용과 궤도에 의존합니다. 대칭으로 묶은 표본이 같은 예측 규칙을 공유하려면 그 변환이 과제에 적합해야 합니다. 반사는 물체 종류는 보존해도 handedness label은 바꿀 수 있습니다. 무엇이 변하고 출력은 어떻게 변해야 하는지, 제안한 변환들이 실제 합성에 닫힌 군인지부터 정하세요.

추가 읽기: Etingof et al., Introduction to Representation Theory.