장 중첩과 검출 평균

검출기는 부호 있는 파형을 그대로 보지 않는다

두 장이 각각0이 아니어도 합은0이 될 수 있다. 반대로 같은 위상의 같은 장을 더하면 진폭은 두 배, 정규화 강도는 각각의 네 배가 된다. 선형적인 장과 이차적인 관측량을 구분해야 하는 이유다. 두 장의 개별 강도만 더하면 간섭을 만드는 위상 정보가 사라진다.

이 단원에서는 선택 시각의 장, 유한 노출 시간의 검출 평균, 여러 위상 실현의 앙상블 평균을 구분한다. 서로 다른 연산을 같은 애니메이션으로 표현하지 않는다. 앞의 용수철 결합계가 실제 물체 사이의 에너지 교환을 다뤘다면 여기서는 독립적으로 준비한 스칼라 장과 그 관측을 다룬다.

단위·정규화·물리적 가정

선형 중첩이 성립하고 두 장의 편광이 같다고 가정한다. 무차원 복소 진폭의 크기를 $a,b\ge0$라 쓰자. 정규화 강도는 장 크기의 제곱이다. 이를 W/m²의 광학 조사강도로 바꾸려면 진폭 보정·매질 지정·올바른 주기 평균 계수가 추가로 필요하다. 앞 단원 줄의 역학적 에너지와 같은 양이 아니다.

각진동수와 선택한 시간 단위의 곱은 라디안이다. 초로 표시하는 실험이면 각진동수는 rad/s다. 느린 표시용 진동수는 수학을 설명하며 가시광선의 실제 진동수가 아니다. 직교 편광·비선형 검출·양자 광자 통계는 별도 주제로 남긴다.

복소장과 실제 실수장

한 위상 실현 $\theta$에서

$$U(t)=a e^{-i\omega_1t}+b e^{i(\phi+\theta+\chi)}e^{-i\omega_2t}, \qquad E(t)=\operatorname{Re}U(t)$$

라 두자. $\phi$는 조절한 위상, $\chi$는 공간 경로에 의한 추가 위상이다. 복소 표현의 허수 성분이 물질의 또 다른 횡변위라는 뜻은 아니다. 실제 실수장은 $E$다.

노출 중심 시각 $t_0$에서 $\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$, $\psi=\phi+\chi-\Delta\omega t_0$라 쓰면 순간 정규화 강도는 $a^2+b^2+2ab\cos(\psi+\theta)$다. 이것은 $E(t_0)^2$와 다르다. 복소장의 크기에는 허수 성분의 제곱도 포함되기 때문이다.

위상 집단은 앙상블이다

가능한 위상을 $\theta_j$, 음이 아닌 가중치를 $w_j$라 두고 총가중치가 양수라고 하자. $p_j=w_j/\sum_kw_k$로 정규화한다. 앙상블 예측은 관측량을 평균한다.

$$\mathbb E|U|^2=\sum_jp_j|U_j|^2, \qquad \left|\mathbb E U\right|^2\ne\mathbb E|U|^2.$$

$a=b=1$이고 위상0과 $\pi$를 같은 비율로 택하면 둘째 장의 평균은0이다. 평균한 전체 장을 제곱하면1이지만 정규화 강도의 평균은2다. 장을 먼저 평균하면 실현별 변동 정보가 사라진다.

유한 위상 집단은 명시적인 교육용 분포다. 모든 확률적 광원을 모사했다고 주장하지 않는다. 부분 결맞음 앙상블의 한 실현을 유일한 실제 장인 것처럼 보여 주어서도 안 된다.

간섭 교차항을 유도하기

복소 크기를 전개하면

$$|U_1+U_2|^2=|U_1|^2+|U_2|^2+ 2\operatorname{Re}(U_1U_2^*)$$

다. 교차항은 음수일 수 있지만 전체 강도가 음수라는 뜻은 아니다. 같은 진폭에 위상차 $\pi$이면 교차항이 두 개별 강도 항을 정확히 상쇄한다. 각 경로의 강도를 유지해도 경로 위상이 바뀌면 관측이 달라진다.

이 식은 에너지를 무에서 만든다는 설명이 아니다. 검출기는 특정 위치의 장을 관측하며 전체 에너지 분포는 광원과 경계 배치에 의존한다. 한 점에서 두 위상을 더하는 계산만으로 계 전체의 에너지 수지를 모두 기술했다고 해서는 안 된다.

결맞음과 정규화

위상 집단의 모멘트를

$$M=\sum_jp_j e^{i\theta_j}$$

라 정의한다. 위상이 얼마나 정렬되는지 나타내며 수학적으로 크기는1 이하이다. 여기서 상호 결맞음의 관례는 $\gamma_{12}=\langle U_1U_2^*\rangle/(ab)$다. 따라서 $e^{+i\theta}$로 정의한 모멘트와 허수부 부호가 켤레 관계다. 관례를 적어 두어야 올바른 위상 이동의 부호를 뒤집지 않는다.

한 경로의 강도가0이면 정규화 상호 결맞음은 정의되지 않는다. 위상 분포의 모멘트는 계산할 수 있어도 없는 장의 측정된 상호 결맞음이라고 표시하면 안 된다. 두 장이 모두0이면 무늬 가시도도 미정이다.

유한한 검출 노출 시간

$[t_0-T/2,t_0+T/2]$에서 평균하면 상대 위상의 적분에서

$$S=\operatorname{sinc}(\Delta\omega T/2),\qquad \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x},\quad \operatorname{sinc}(0)=1$$

이 나오며

$$\overline I=a^2+b^2+2abS\operatorname{Re}(e^{i\psi}M)$$

다. 노출 시간이0이면 순간값의 극한이다. 같은 진동수에서는 모든 노출에서 $S=1$이므로 고정 위상차가 평균 뒤에도 남는다. 진동수가 다르면 결정적으로 준비한 두 위상도 노출 평균으로 교차항이 사라질 수 있다. 이 효과는 위상 집단 자체의 무작위성과 별개다.

음의 정현비는 무늬의 위상을 바꾼다

$S$는 항상 양수가 아니다. $\Delta\omega=2\pi$, $T=1.5$이면 $S=\sin(1.5\pi)/(1.5\pi)<0$이다. 짧은 노출에서 밝았던 위상이 개별 강도의 합보다 어두워지고, $\pi$만큼 옮긴 위상이 더 밝아질 수 있다.

부호는 변조의 위치를 뒤집으며 전체 빛을 음수로 만들지 않는다. 전체 위상 스캔의 대비에는 $|S|$가 들어가지만 최대 위치는 부호에 따라 바뀐다. 강도 식 전체에서 $S$를 절댓값으로 대체하면 밝고 어두운 위치를 잘못 예측한다.

실수장 평균에는 다른 진동수 항이 남는다

한 실현에서 $\alpha_1=-\omega_1t_0$, $\alpha_2=\phi+\theta+\chi-\omega_2t_0$라 두자. 실제 실수장을 제곱하고 평균하면

$$\begin{aligned} \overline{E^2}={}&\frac{a^2}{2}[1+\operatorname{sinc}(\omega_1T)\cos(2\alpha_1)]\\ &+\frac{b^2}{2}[1+\operatorname{sinc}(\omega_2T)\cos(2\alpha_2)]\\ &+ab\left[S\cos(\alpha_1-\alpha_2) +\operatorname{sinc}((\omega_1+\omega_2)T/2)\cos(\alpha_1+\alpha_2)\right] \end{aligned}$$

다. 빠른 두 배 진동수와 합 진동수 항이 평균되어야 해석 신호 강도의 절반이 된다. $a=b=1$, 같은 각진동수 $2\pi$, 노출1초이면 $\overline I=4$지만 $\overline{E^2}=2$다. DC에서 위상차 $\pi/2$인 경우 두 값은2와1이며 평균할 진동 주기 자체가 없다.

작은 어두운 무늬 값을 수치적으로 보존하기

큰 밝은 항을 반올림한 뒤 빼면 작은 양의 강도를 잃을 수 있다. 결맞은 두 장의 안정적인 표현은

$$I(\alpha)=(a-b)^2+4ab\cos^2(\alpha/2)$$

다. 유한 노출값은 이 식과 반대 위상의 값을 $(1+S)/2$, $(1-S)/2$로 가중한 음이 아닌 합이다. 집단 평균도 비음수성을 유지한다. 임의의 작은 양수 하한을 넣어 어두운 무늬에 가짜 신호를 만들지 않는다.

계산기는 비음수 실수장 제곱을 합성 Gaussian 구적법으로 별도 적분하고 세분화 차이·닫힌 식과 대조한다. 세분화 차이는 수치 진단이지 보증된 오차 상한은 아니다. 거의 완전한 상쇄에서는 닫힌 식도 유효숫자를 잃을 수 있다. 독립적으로 적분한 실제 제곱 평균은 음수가 되지 않는다.

수치 평균은 $t=t_0+Tv$, $v\in[-1/2,1/2]$인 단위 노출 좌표에서 제곱을 직접 적분한다. 거의 같은 절대 시각 두 개를 빼거나 사라진 구간을 $T$로 나누지 않는다. 예를 들어 $t_0=16$ 근처의 $T=10^{-18}$은 가짜0이 아니라 순간값에 접근해야 한다. 별도의70자리 기준값으로 이 극한을 검사한다.

가시도에는 스캔 조건이 필요하다

진폭·집단·노출을 고정하고 상대 위상을 한 주기 전체 스캔하면

$$V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} =\frac{2ab|SM|}{a^2+b^2}$$

다. 분모가0이 아니어야 한다. 공간 무늬 일부만 잘라 보면 실제 최대·최소가 없을 수 있으므로 그 범위에서 얻은 대비가 이 가시도를 추정한다는 보장은 없다. 한 경로가 없으면 대비는0이지만 정규화 상호 결맞음은 미정이며, 완전한 어둠에서는 대비도 미정이다.

구현에서는 양의 강도 표현으로 반대인 두 극값 위상을 직접 평가한다. 그중 큰 값과 작은 값으로 범위를 정한다. 큰 항의 뺄셈 반올림 때문에 가짜 음의 최소가 나오는 것을 피한다.

계산 예제: 같은 곡선의 다른 원인

균형 잡힌 경로 강도 $I_1=I_2=1$에 위상0과 $\pi$의 가중치를3:1로 주면 $M=1/2$이고

$$I(\phi)=2+\cos\phi,\qquad V=1/2$$

다. 이제 완전 결맞음이지만 경로 강도를

$$I_1=\frac{2+\sqrt3}{2},\qquad I_2=\frac{2-\sqrt3}{2}$$

로 두자. 합은2, $2\sqrt{I_1I_2}=1$이므로 전체 간섭 곡선이 같다. 이 곡선을 완벽히 측정해도 추가 경로 정보 없이 결맞음을 유일하게 알아낼 수 없다. 두 경로를 각각 측정하면 이 특정한 모호성을 해소할 수 있다.

계산 예제: 노출 대비와 집단 대비

단위 진폭과 위상0·$\pi$의3:1 집단을 유지하자. 고유한 위상 모멘트는 계속1/2다. $\omega_1=2\pi$, $\omega_2=4\pi$, $t_0=0$, $T=1.5$이면 $S=-2/(3\pi)$다. 조절 위상0의 정규화 강도는 $2+S\approx1.78779$, 위상 $\pi$에서는 $2-S\approx2.21221$이다. 전체 스캔 가시도는 $|S|/2\approx0.106103$으로, 집단만의 대비1/2와 다르다.

노출1에서는 차 진동수 항이 평균되어 사라지지만 위상 집단은 바뀌지 않았다. 무늬가 보이지 않는 이유가 광원 집단의 변화가 아니라 검출 시간 창일 수도 있다. 노출1.5에서 위상0의 실제 실수장 제곱 평균은 약0.929264다. 해석 신호 강도의 절반인 약0.893897과 다른 이유는 합 진동수 항이 아직 남기 때문이다. 노출 시간을 늘리는 것은 그림을 부드럽게 그리는 조작이 아니라 실제 관측 연산을 바꾸는 일이다. 같은 계를 비교할 때도 평균의 종류를 반드시 표시한다.

모델 조작과 독립 검증

기반 교육 모델은 진폭0–2, 진동수0–16, 중심 시각−16–16, 노출0–8, 위상 집단1–32개를 지원한다. 가중치0–16은 총합이 양수여야 하며 정규화한다. 이것은 표시용 실험의 지원 범위이며 보편적인 광학 대역폭 제한이 아니다.

독립 기준값은 실제 복소 크기와 실수 제곱을 SciPy로 적분한다. 서로 다른 세 위상에서 별도로 구한 평균으로 제품의 대비 공식을 호출하지 않고 변조와 가시도를 복원한다. 영노출·없는 경로·음의 정현비·거의 어두운 무늬·균일 위상·비식별 예제도 검사한다. AI 대리 모델이 한 밝은 무늬를 맞춘 것만으로는 부족하다. 노출·진폭·위상 집단을 독립적으로 바꿔 평가한다.

해설이 있는 연습 문제

문제 1: 같은 위상의 두 장

단위 진폭 두 장의 위상이 같으면 정규화 강도는 얼마인가요?

해설: 전체 진폭은2이므로 강도는4다. 개별 강도의 합2와 차이 나는 나머지2는 교차항이다.

문제 2: 제곱하기 전에 평균해도 될까

$a=b=1$, 위상0과 $\pi$의 같은 가중치에서 두 평균 순서를 비교하세요.

해설: 평균 둘째 장은0이어서 평균 전체 장의 제곱은1이다. 전체 강도4와0을 평균하면2다. 제곱이 비선형이기 때문에 순서를 바꿀 수 없다.

문제 3: 영노출

$T=0$이면 신호가 사라지나요?

해설: 아니다. $S=1$인 순간값 극한을 선택한다. $T$로 직접 나누는 구현은 실패하므로 연속적인 극한을 평가한다.

문제 4: 없는 경로

$b=0$, $a>0$에서 가시도와 상호 결맞음은 무엇인가요?

해설: 강도가 위상에 무관하므로 가시도는0이다. 정규화 상호 결맞음은 $ab=0$으로 나누므로 미정이다. 두 진술을 구분해야 한다.

문제 5: 노출 평균의 위상 반전

음의 $S$를 모든 곳에서 $|S|$로 바꾸면 무엇이 틀리나요?

해설: 대비는 같지만 밝고 어두운 위상 위치가 바뀐다. 부호 있는 인자는 실제 강도 식에 남겨야 한다.

문제 6: 대비로 결맞음 알아내기

$V=1/2$이면 부분 결맞음 광원이라는 증거인가요?

해설: 충분하지 않다. 균형 잡힌 부분 결맞음과 예제의 완전 결맞음·불균형 진폭이 같은 곡선을 만든다. 경로 강도를 따로 측정하거나 정당한 추가 가정을 둔다.

일차 자료와 다음 연결

TU Delft의 간섭·결맞음 교재는 복소장·관측·결맞음의 틀을 제공한다. 여기의 명시적인 위상 집단·유한 창 비교·양의 수치 표현·독립 검증은 정한 실험에서 직접 유도했다.

다음 단원은 유한한 개구의 여러 위치에서 온 기여를 합한다. 관측 무늬는 개구와 전파 근사에 모두 의존한다. 이상적인 점 위상 두 개만으로 유한 슬릿의 포락선을 대신하지 않는다.