Ampere 법칙과 정상 전류 원통

질문: 전류 밀도가 있는데 자기장은 어떻게 0일까?

아주 긴 원통 도선에 축 방향으로 전류가 흐른다고 생각하자. 자기장은 축을 둘러싸는 방향으로 생긴다. 정확히 축 위에서는 모든 가로 방향이 동등하므로 어느 한쪽을 향하는 영이 아닌 자기장 벡터를 선택할 수 없다. 따라서 축의 자기장은 0이지만 전류 밀도까지 0일 필요는 없다.

모순이 아니다. 이 정적 모형에서 전류 밀도와 연결되는 것은 자기장의 공간 회전이다. 회전은 이웃 지점의 값이 어떻게 달라지는지를 나타내며 한 지점의 값 자체가 아니다. 적은 관측으로 장을 학습하는 AI에서도 중심의 값을 맞혔다는 사실과 국소 미분 법칙을 맞혔다는 사실을 구분해야 한다.

이번 단원에서는 장을 유도하고 단위와 경계를 확인한다. 이어 균일한 배경장을 더해 Ampere 법칙 자체와 그 법칙을 쉽게 푸는 대칭 가정이 어떻게 다른지 살펴본다.

먼저 무엇을 전류원으로 지정했는지 정하자

반지름 $a>0$인 무한히 긴 원통의 중심축을 $z$축으로 둔다. 총전류 $I$는 단면에 균일하게 분포하고 양의 전류는 양의 $z$ 방향으로 흐른다. 원통 내부에서는

$$J_z=\frac{I}{\pi a^2},\qquad J_x=J_y=0.$$

외부의 지정 전류 밀도는 0이다. 전류 밀도의 단위는 A/m²이고 총전류의 단위는 A이다. 일정한 투자율 $\mu$의 단위는 T·m/A이다. 교육용 기본값은 $4\pi\times10^{-7}$ T·m/A이며, 현대 SI에서 정확한 상수라고 주장하는 값이 아니라 반올림한 근삿값이다. 이 모형에서 투자율을 바꾸면 선형 계수가 바뀐다. 그것만으로 비선형 자성 재료 모형이 추가되지는 않는다.

이 계산은 이상화한 전류원을 지정한 문제다. 전기 전도도, 운반자의 충돌, 발열, 자성 재료의 응답이나 역학적 평형을 함께 풀지 않는다. 무한 원통은 유한한 회로의 끝과 귀환 경로까지 설명하는 모형도 아니다.

정상 전류에는 연속 방정식이 필요하다

전하 보존은 다음을 요구한다.

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$

정상 전류원에서는 첫 항이 0이다. 여기서 전류는 $z$ 성분만 가지며 $z$에 의존하지 않으므로 발산도 0이다. 원통 표면에서 반지름 방향으로 전류 밀도가 불연속이어도 반지름 방향 전류가 생기는 것은 아니다. 옆면을 통과하는 법선 성분은 양쪽 모두 0이다.

유한한 도선의 한쪽 끝으로 전류가 들어오기만 하고 나갈 곳이 없다면 끝에 전하가 쌓인다. 전체를 정상 상태라고 하려면 추가적인 공급·배출 장치나 귀환 회로를 설명해야 한다. 또한 순전하 밀도가 0이어도 서로 다른 전하 운반자가 다른 속도로 움직이면 전류는 존재할 수 있다. 그림이 정지해 보인다는 사실만으로 이런 전류원 조건이 보장되지는 않는다.

닫힌 선의 순환과 닫힌 면의 선속을 구분하자

지금의 정자기 가정에서 Ampere 법칙은 다음과 같다.

$$\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu I_{\mathrm{enc}}.$$

왼쪽은 방향을 정한 닫힌 선을 따르는 순환이며 단위는 T·m이다. 포함 전류는 이 선을 경계로 하는 면을 통과하는 전류다. 선의 순회 방향과 면의 법선 방향은 오른손 관례로 연결한다.

반면 전기장의 Gauss 법칙은 닫힌 면 전체에서 법선 성분을 적분한다. 원형 경로는 닫힌 Gauss 면이 아니며 원주는 면적이 아니다. 이 기하를 혼동하면 대수 계산이 그럴듯해도 반지름의 거듭제곱이 틀어진다.

Ampere 적분 법칙만으로 일반적인 한 지점의 장을 결정할 수는 없다. 다음 단계에서는 이 고립된 전류원의 회전·평행이동 대칭을 추가로 사용한다.

대칭을 이용하면 순환이 하나의 스칼라 식이 된다

축과 중심을 공유하는 반지름 $r>0$의 원을 택한다. 양의 $z$ 쪽에서 보았을 때 반시계 방향으로 순회한다. 전류원이 만드는 장은 원에 접하며 부호 있는 방위각 성분이 원 위에서 일정하다. 따라서

$$2\pi r B_\phi(r)=\mu I_{\mathrm{enc}}(r).$$

내부 경로가 포함하는 전류는 전체 단면 중 경로 안쪽 면적의 비율로 정해진다.

$$I_{\mathrm{enc}}(r)= \begin{cases} I(r/a)^2,&0\le r<a,\\ I,&r\ge a. \end{cases}$$

그러므로 부호 있는 장은 다음과 같다.

$$B_\phi(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu I r}{2\pi a^2},&0\le r<a,\\ \dfrac{\mu I}{2\pi r},&r\ge a. \end{cases}$$

내부에서는 포함 전류가 면적에 비례해 늘어나고 경로 길이는 반지름에 비례하므로 장은 $r$에 비례한다. 외부에서는 포함 전류가 더 늘지 않아 장이 $1/r$로 감소한다. 균일 대전 구도 내부 전기장은 선형이지만 외부에서는 $1/r^2$로 감소한다. 구의 포함 전하는 부피에 비례하고 Gauss 면적은 반지름의 제곱에 비례하기 때문이다. 내부 그래프가 비슷하다고 두 적분 법칙을 바꾸어 써서는 안 된다.

방향과 부호: 직교좌표로 쓰면 축도 매끄럽다

$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$에서 방위각 단위벡터는

$$\hat{\boldsymbol\phi}=(-y/r,x/r,0).$$

양의 전류는 양의 $B_\phi$를 만든다. 양의 $x$축에서 장은 양의 $y$ 방향이고 양의 $y$축에서는 음의 $x$ 방향이다. 전류를 뒤집으면 벡터도 뒤집힌다. 이때 음수가 될 수 없는 크기 자체는 그대로다.

내부에서 $c=\mu I/(2\pi a^2)$라고 두면 직교좌표 식이 간단해진다.

$$\mathbf B_{\mathrm{src}}=c(-y,x,0).$$

축 위에서 이 벡터는 정확히 0이다. 방위각 기저는 정의되지 않아도 실제 벡터장은 매끄럽다. 작은 반지름을 임의로 설정해 나눗셈을 피할 필요가 없다. $x,y$를 고정하고 $z$만 바꾸면 무한 원통의 이 해는 변하지 않는다.

축에서 장이 0이어도 회전은 0이 아닐 수 있다

직교좌표 식을 미분하면

$$\nabla\cdot\mathbf B_{\mathrm{src}}=0,\qquad (\nabla\times\mathbf B_{\mathrm{src}})_z=2c=\frac{\mu I}{\pi a^2}=\mu J_z.$$

축에서도 성립한다. 원통좌표로 표현하면 같은 결과는

$$(\nabla\times\mathbf B)_z=\frac{1}{r}\frac{d(rB_\phi)}{dr} =\frac{dB_\phi}{dr}+\frac{B_\phi}{r}.$$

반지름 미분만으로 회전을 계산할 수 없다. 내부에서는 두 항이 각각 $c$에 접근하므로 합은 $2c$이다. 원통좌표 식에 나타나는 축의 0 나눗셈은 직교좌표 계산에서는 사라진다. 학습 손실을 바꾸거나 축의 데이터를 버리기 전에 좌표의 특이성과 물리적 특이성을 구분하자.

단위를 포함한 계산 예제

$a=1$ m, $I=1$ A, 교육용 투자율 $\mu=4\pi\times10^{-7}$ T·m/A를 사용하자.

축으로부터 거리	포함 전류	전류원 자기장 크기	순환
0 m	0 A	0 T	0 T·m
0.5 m	0.25 A	0.1 μT	$\pi\times10^{-7}$ T·m
1 m	1 A	0.2 μT	$4\pi\times10^{-7}$ T·m
2 m	1 A	0.1 μT	$4\pi\times10^{-7}$ T·m

0.5 m와 2 m에서 장의 크기는 같지만 포함 전류와 경로 길이는 다르다. 한 지점의 장 크기만으로 관측점이 내부인지 외부인지 알 수는 없다. 이 예에서 $J_z=1/\pi$ A/m²이고 내부 회전은 $4\times10^{-7}$ T/m이다. 투자율과 전류 밀도를 곱하면 실제로 T/m가 되는지도 확인하자.

반지름이 0이면 경로가 한 점으로 퇴화한다. 순환도 0이고 실제 전류원 장도 0이지만 순환을 경로 길이로 나누면 $0/0$이 된다. 모형은 이 정규화 추론을 계산 불가로 표시한다. 퇴화한 경로에서 점의 장을 측정한 것처럼 값을 만들어 내지 않는다.

표면: 장은 연속이지만 한쪽 미분은 다르다

전류가 0이 아니면 $r=a$에서 내부와 외부 장의 값은 같다. 하지만 반지름 미분은 다르다.

$$B_\phi'(a^-)=\frac{\mu I}{2\pi a^2},\qquad B_\phi'(a^+)=-\frac{\mu I}{2\pi a^2}.$$

내부 회전은 $\mu I/(\pi a^2)$이고 외부 회전은 0이다. 경계에서는 하나의 고전적 미분이나 고전적 회전이 존재하지 않는다. 양쪽 미분을 평균 내면 실제 장에 없는 점별 미분을 만들어 넣게 된다.

단일 경계에서 전류 밀도를 어떤 값으로 대표하더라도 적분은 바뀌지 않는다. 이 단원에서는 그 대표값을 지정하지 않는다. 연속인 장은 여전히 적분 법칙을 만족하며 적절한 약한 의미에서 미분 법칙도 만족한다. $I=0$이면 불연속 자체가 사라져 전류원 장과 미분은 이전의 경계를 포함한 모든 곳에서 0이다.

계산 예제의 한쪽 반지름 미분은 $+2\times10^{-7}$과 $-2\times10^{-7}$ T/m이다. 경계를 가로지르는 중심 차분을 매끄러운 함수의 미분처럼 해석해서는 안 된다. 한쪽 극한과 장의 연속성을 따로 검사하자.

배경장 실험: 법칙은 유지되어도 지름길은 실패한다

균일한 배경장 $\mathbf B_{\mathrm{bg}}$를 더하자. 이 장의 발산과 회전은 0이고 닫힌 경로의 순환도 0이다.

$$\mathbf B_{\mathrm{tot}}=\mathbf B_{\mathrm{src}}+\mathbf B_{\mathrm{bg}},\qquad \oint_C\mathbf B_{\mathrm{bg}}\cdot d\boldsymbol\ell=0.$$

예제에서 $(0.5,0,0)$ m의 전류원 장은 $(0,0.1,0)$ μT이다. 배경장을 $(0,0.3,0)$ μT로 설정하면 전체 점별 장은 $(0,0.4,0)$ μT가 된다. 그러나 순환을 원주로 나눈 값은 여전히 0.1 μT다. 이는 원 전체의 평균 접선 성분이지 바뀐 점별 값이 아니다.

전체 장은 이제 원래의 회전 대칭을 갖지 않는다. Ampere 법칙은 여전히 성립한다. 잘못된 단계는 전체 접선 장이 일정하다고 간주해 적분 밖으로 꺼내는 것이다. 축에서도 전류원 벡터는 0이지만 배경장 때문에 전체 장은 0이 아닐 수 있다. 계산과 화면에서 전류원·배경·전체 벡터를 구분해야 한다.

배경장을 더하면 실제 물리장이 바뀐다. 벡터 퍼텐셜의 게이지 변환이 아니다. 벡터 퍼텐셜과 게이지 자유도는 별도 단원에서 다룬다.

외부 회전이 0인데 순환은 왜 남을까?

$r>a$에서는 전류원 장의 국소 회전이 0이다. 그런데 원통을 둘러싼 경로의 순환은 $\mu I$다. Stokes 정리와 모순되지 않는다. 보통 사용하는 내부 원판은 전류가 흐르는 영역을 가로지르고 그곳의 회전은 0이 아니다.

정의역을 원통 외부로 제한하면 이 원판은 정의역 안에 포함되지 않는다. 외부에서 국소 회전이 0이라는 사실만으로 구멍을 감싸는 순환이 0이라고 결론 낼 수 없다. AI 장 복원에서도 국소 미분 잔차만으로 전역 순환 제약과 정의역의 위상을 모두 확인할 수 없다. 문제에 필요하다면 방향 있는 적분 관측이나 적절한 경계 정보를 함께 사용해야 한다.

무한 전류원의 이상화로 결론 낼 수 없는 것

외부의 $1/r$ 형태는 지정한 무한 전류원에 대한 해다. 유한한 회로에는 끝, 실제 기하와 귀환 전류가 있으며 이것들이 먼 거리의 장을 바꿀 수 있다. 현재 모형은 그 보정을 예측하지 않는다.

고립된 무한 전류의 총 자기 에너지가 유한하다고 결론 낼 수도 없다. 외부 영역의 단위 길이당 에너지만 보아도 적분 바깥 반지름이 늘어날 때 로그 형태로 누적된다. 총에너지를 해석하려면 유한한 장치나 귀환 경로를 먼저 지정해야 한다. 이후 에너지와 경계값 문제에서 필요한 도구를 추가로 배운다.

수치 표현 가능성과 독립 검증

구현은 내부의 매끄러운 직교좌표 장을 직접 계산한다. 아주 작은 영이 아닌 반지름에서는 반지름 제곱에 비례하는 포함 전류가 부동소수점에서 0으로 언더플로할 수 있다. 반지름에 선형인 장은 여전히 표현 가능할 수 있다. 잃어버린 포함 전류를 실제 영전류로 표시하지 않고 수치 범위의 한계로 구분한다. 순환, 벡터 성분, 정규화 추론과 미분의 계산 가능 상태도 각각 관리한다.

이 극단 입력은 산술 계약을 검사하기 위한 것이다. 물리적으로 의미 있는 길이보다 작은 영역까지 연속체 원통을 주장하지 않는다. 정확한 영전류, 퇴화한 경로, 정의되지 않는 좌표 방향, 표현할 수 없는 영이 아닌 수는 서로 다른 경우다.

해석적인 Ampere 잔차는 내부 일관성 확인에는 유용하다. 양쪽이 같은 공식을 공유한다면 독립 검증은 아니다. 기준값 생성기는 대신 무한 필라멘트의 Biot–Savart 기여를 단면 전체에서 적분한다. 관측점을 중심으로 한 광선과 원판의 교차 기하를 사용한다. 별도 검사는 배경장을 포함한 실제 전체 벡터를 경로를 따라 수치 적분한다. 이런 검사를 대칭, 부호, 단위와 경계 검사에 함께 사용하자.

해설이 있는 연습문제

문제 1 — 반지름의 절반

$r=a/2$에서 포함 전류와 장은 각각 전체 전류와 경계 장의 몇 배인가?

해설. 포함 면적은 4분의 1이므로 전류는 $I/4$이다. 이를 절반 길이의 원주로 나누면 장은 경계 값의 절반이다. 면적 비율을 반지름 비율로 대체하지 말자.

문제 2 — 전류를 뒤집기

양의 $x$축에서 $I<0$이면 전류원 장은 어디를 향하는가?

해설. 음의 $y$ 방향이다. 부호 있는 방위각 장은 뒤집히지만 크기는 음수가 되지 않는다. 크기 그래프만 보면 방향 반전을 놓칠 수 있다.

문제 3 — 장이 0인 관측

축에서 전류원 장이 0이면 전류 밀도도 0인가?

해설. 아니다. 대칭 때문에 벡터 값은 0이지만 이웃의 값에는 $\mu I/(\pi a^2)$의 회전이 있다. 한 점의 값만으로 공간 미분을 결정할 수 없다.

문제 4 — 경계에서 평균 내기

표면의 양쪽 반지름 미분을 평균 내어 고전적 미분으로 정의해도 되는가?

해설. 영전류로 불연속이 사라진 경우가 아니라면 안 된다. 영이 아닌 전류에서는 양쪽 미분을 보존하고 고전적 미분을 계산 불가로 표시한다. 연속인 장과 적분 법칙은 따로 확인한다.

문제 5 — 균일한 장 더하기

예제의 양의 $x=0.5$ m 지점에서 양의 $y$ 방향으로 0.3 μT를 더하면 무엇이 달라지는가?

해설. 전체 점별 장은 양의 $y$ 방향 0.4 μT가 된다. 순환과 이를 원주로 나눈 평균은 변하지 않는다. 정규화된 전류원 기여는 0.1 μT다. 전체 장의 회전 대칭은 깨졌다.

문제 6 — 연구용 검증 설계

예측기의 외부 회전이 거의 0인데 도선을 감싸는 순환은 틀렸다. 국소 검사 결과와 반드시 모순되는가?

해설. 아니다. 외부에는 전류원 주변의 구멍이 있으며 국소 회전 검사만으로 전역 순환을 강제하지 않는다. 방향 있는 경로 적분, 전류원·경계 데이터와 정의역 가정을 확인하자. 유한 도선에 적용하기 전에는 끝과 귀환 전류도 지정해야 한다.

출처와 재현 가능한 검사

MIT 8.02T, Sources of Magnetic Fields의 §9.1, §9.3과 예제9.3은 Biot–Savart, Ampere 법칙과 균일 전류 도선 예제를 제공한다. NIST 2022 CODATA 상수표는 투자율을 불확실성과 함께 제시한다. 과거의 교육용 값을 정확한 현대 SI 값으로 주장하지 않는다.

제품 모형은 learning-electro-magnetostatics.ts이고 generate-electro-magnetostatics-references.py는 독립 수치 기준값을 생성한다. 인터랙티브 실험에서 축·경계·외부·대칭을 깨는 배경 예제를 비교하자. 벡터·순환·계산 가능 상태의 표를 따로 읽으며 장의 값0, 회전0, 순환0이 왜 서로 다른 주장인지 설명해 보자.