복소 상태·ray·기저 진폭

1. 확률 그림이 같아도 상태는 다를 수 있다

두 준비에서 결과0과1이 각각 절반씩 관측된다고 하자. 이 확률 막대만 보면 둘이 같은 준비처럼 보인다. 그러나 양자 진폭에는 상대 위상 정보가 있고, 다른 정규직교 측정 기저를 선택하면 두 준비를 완전히 구분할 수도 있다. 이 단원은 복소 좌표 두 개로 그 차이를 직접 계산한다. 진폭 자체를 확률이라고 부르지 않는다.

처음부터 추상적인 상태, 이름을 붙인 기저에서의 좌표 벡터, 특정 측정의 결과 확률을 구분하자. 좌표를 바꾸는 것은 기술 방법을 바꾸는 일이다. 실제로 어떤 측정을 수행하는지 바꾸는 것은 실험 선택을 바꾸는 일이다.

2. 복소 내적이 만드는 기하

Hilbert 공간은 복소 내적과 그 내적이 유도하는 norm에 대해 완비인 공간이다. 완비성은 norm으로 Cauchy인 수열의 극한이 공간 안에 존재한다는 뜻이다. 유한 차원 복소 내적 공간은 이미 완비지만, 함수 공간에서는 이 조건을 따로 확인해야 한다. 이번 계산은 C²이고 다음 단원에서 무한 차원 예제를 살펴본다.

물리학의 표기를 따라 첫 인자에는 켤레 선형성, 둘째 인자에는 선형성을 사용한다. bra는 단순 전치가 아니라 켤레 전치다.

$$\langle z,w\rangle=\sum_j\overline{z_j}w_j,\qquad \langle az,w\rangle=\overline a\langle z,w\rangle,\qquad \langle z,aw\rangle=a\langle z,w\rangle.$$

z=(1,i)의 bra는(1,−i)이므로 norm의 제곱은2다. 켤레를 빼면1+i²=0이 되어 영 벡터가 아닌데도 길이가0이라는 잘못된 결과를 얻는다. 이는 표기상의 취향이 아니라 양의 정부호성을 지키는 핵심 조건이다.

3. 영이 아닌 대표를 정규화하기

원시 좌표는 먼저 방향을 지정한다. 이를 양의 norm으로 나누면 norm이1인 대표 벡터를 얻는다. 영 벡터는 정규화할 수 없으므로 입력에서 거부한다. 작은 수를 덧붙이면 사용자가 지정하지 않은 상태를 새로 만드는 셈이다.

$$N=z^\dagger z>0,\qquad |\psi\rangle=\frac{z}{\sqrt N},\qquad \langle\psi|\psi\rangle=1.$$

이름을 정한 정규직교 기저에서는 각 좌표의 절댓값 제곱이 해당 사영 측정 결과의 확률이다. 확률 합이1이 되는 이유에는 기저의 정규직교성이 들어 있다. 진폭은 음수나 허수일 수 있지만 확률은 그렇지 않다. 일반 측정과 혼합 상태는 뒤에서 별도로 다룬다.

4. 순수한 물리 상태는 ray로 나타낸다

ray는 영이 아닌 복소 배만큼 차이 나는 벡터들을 하나로 묶는다. 정규화하면 배수의 크기는 사라지고 전체에 공통인 단위 위상만 남는다. 여기서는 순수 상태를 다룬다. 모든 양자 준비나 부분계가 순수 상태인 것은 아니다.

$$z\sim cz\quad(c\ne0),\qquad |\psi\rangle\sim e^{i\gamma}|\psi\rangle.$$

모든 진폭에 i를 곱하면 같은 ray다. 한 진폭에만 i를 곱하면 일반적으로 다른 ray가 된다. 실수와 허수를 나누는 문제가 아니라, 전역 위상과 상대 위상을 구분하는 문제다. 기본 정의는 Preskill의 기초 강의를 참고하고, 아래 예제에서는 지정한 준비를 직접 계산한다.

5. 상대 위상은 간섭 확률에 들어간다

|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2로 두자. 이 정규화된 벡터로 사영하려면 복소 진폭을 먼저 더하고 그 뒤에 절댓값을 제곱한다. 교차 항에 상대 위상 정보가 남는다.

$$p_+=\frac{|z_0+z_1|^2}{2N}=\frac12+\frac{\operatorname{Re}(\overline{z_0}z_1)}N.$$

z=(1,1)이면 p+=1이고 z=(1,−1)이면 p+=0이다. 두 준비 모두 계산 기저 확률은(1/2,1/2)다. 전역 위상은 분자의 전체 진폭에 공통으로 곱해져 절댓값 제곱에서 사라진다. 진폭 대신 확률부터 평균 내면 이 간섭을 놓친다.

6. 완전한 정규직교 기저로 사영하기

영이 아닌 쌍(u,v)를 고르고 B=|u|²+|v|²로 두자. 아래 행렬의 열은 정규직교 기저다. 이 기저에서의 좌표를 구하려면 정규화한 상태에 U가 아니라 U†를 적용한다.

$$U=\frac1{\sqrt B}\begin{pmatrix}u&-\overline v\\v&\overline u\end{pmatrix},\qquad U^\dagger U=I,\qquad \beta=U^\dagger\frac z{\sqrt N}.$$

서로 다른 두 열의 내적은 정확히 상쇄된다. Uβ로 재구성하면 원래 대표를 얻는다. 수동적인 좌표 변환이라면 같은 실험을 기술하는 다른 대상도 함께 일관되게 변환해야 한다. 반면 열들이 동일한 준비에 대해 실제로 수행할 다른 측정을 뜻한다면 계산 기저와 다른 결과 확률을 예측할 수 있다.

7. 진폭 겹침과 fidelity를 비교하기

정규화한 두 상태의 내적은 복소 진폭이다. 그 위상은 대표 벡터의 선택에 의존한다. 이 단원은 순수 상태 fidelity를 절댓값의 제곱으로 정의한다.

$$F(\psi,\phi)=|\langle\psi|\phi\rangle|^2=\frac{|z^\dagger w|^2}{(z^\dagger z)(w^\dagger w)},\qquad 0\le F\le1.$$

이 범위는 Cauchy–Schwarz 부등식에서 나온다. F=1이면 같은 ray이고, 좌표 벡터까지 같아야 하는 것은 아니다. F=0이면 직교하는 ray다. 한 측정의 확률이 같다는 사실만으로 어느 쪽도 결론 낼 수 없다. 문헌마다 제곱하지 않은 겹침 크기를 fidelity라고 부르기도 하므로 손실이나 오차 경계를 비교하기 전에 약속을 확인하자.

8. Bloch 구는 이 차원에서 사용한다

순수 C² ray에는 단위 구 위의 세 실수 좌표가 유용하다. 이 좌표는 전역 위상을 바꾸어도 같다.

$$r=\frac1N\left(2\operatorname{Re}(\overline z_0z_1),\;2\operatorname{Im}(\overline z_0z_1),\;|z_0|^2-|z_1|^2\right),\qquad r\cdot r=1.$$

현재 부호 약속에서 양의 y 상태는(1,i)/√2다. 이 구는 입자가 공간의 어느 지점에 있는지를 그린 것이 아니다. 임의 차원의 모든 순수 상태를 같은 세 숫자로 나타내는 것도 아니다. 극점에서는 한 진폭이0이므로 그 진폭의 위상은 정의되지 않는다. 계산은 이 조건을 기록하며 임의의 각도를 배정하지 않는다.

상태 대표	결과0 확률	+x 확률	+y 확률
(1,1)/√2	1/2	1	1/2
(1,−1)/√2	1/2	0	1/2
(1,i)/√2	1/2	1/2	1
(1,−i)/√2	1/2	1/2	0

9. 정규직교가 아닌 기저에는 Gram 행렬이 필요하다

b₀=e₀,b₁=e₀+e₁로 두자. 벡터 z의 이 기저 좌표는 d=(z₀−z₁,z₁)이다. 물리적인 norm은 좌표 절댓값 제곱의 단순 합과 다르다.

$$G_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle,\qquad G=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad \|z\|^2=d^\dagger Gd.$$

정규화한 상태 e₁의 좌표는 d=(−1,1)이다. 좌표 제곱의 합은2지만 Gram norm은1이다. 이 두 좌표를 두 결과의 확률로 읽을 수 없다. 정규직교가 아닌 feature dictionary, 유한요소, 일반화 고유값 문제에서도 같은 기하를 만난다.

정규화한 물리 벡터	(b₀,b₁) 좌표	단순 좌표 제곱 합	Gram norm
e₀	(1,0)	1	1
e₁	(−1,1)	2	1
(e₀+e₁)/√2	(0,1/√2)	1/2	1

10. 벡터 거리와 ray 거리는 다른 질문이다

동일한 ray를 나타내는 두 단위 대표도 벡터로는 멀리 떨어져 있을 수 있다. 위상을 정렬한 거리는 중복되는 전역 위상에 대해 최소화한다.

$$\|\psi-\phi\|^2=2-2\operatorname{Re}\langle\psi|\phi\rangle,\qquad \min_\gamma\|\psi-e^{i\gamma}\phi\|^2=2-2|\langle\psi|\phi\rangle|.$$

φ=iψ이면 정렬 전 제곱 거리는2이고 정렬 후에는0이다. φ=−ψ이면 각각4와0이다. 상태 비교 목적함수에서는 전역 위상이 그 문제에 의미 있는 정보인지 먼저 정해야 한다. 원시 좌표의 손실은 물리적으로 중복인 변화에도 벌점을 줄 수 있다.

11. 대수적 근거와 그림 좌표를 구분하기

준비는 크기10⁶ 이하의 소유 정수16개를 사용한다. 상태·비교 상태·기저 쌍은 각각 영이 아니어야 한다. 위상 쌍과 실수 배율도 영이 아니고 배율 분모는 양수다. 이 제한은 교육용 유한 입력 가족의 범위이며 모든 양자 상태를 뜻하지 않는다.

확률·겹침 제곱·ray 분류·Gram norm·재구성 항등식은 정확한 복소 유리수로 계산한다. 정규화한 실수·허수 좌표에는 제곱근이 필요할 수 있어 방향성512bit 구간을 제공한다. 반올림한 좌표를 일반 실수 연산으로 제곱하면 합이 정확히1이 아닐 수 있다. 허용 오차나 잘라내기가 아니라 정확한 정규화 항등식이 근거다.

12. AI 표현의 기하와 연결하기

정규화한 복소 feature 벡터는 위상에 불변인 유사도를 살펴보는 통제된 예제가 된다. 한 가지 유사도는 다음과 같다.

$$k(x,y)=|\langle\psi(x)|\psi(y)\rangle|^2.$$

같은 식을 정보 손실의 관점에서도 읽을 수 있다. 이 유사도는 전역 위상을 의도적으로 지운다. 한 고정 기저에서의 진폭 제곱만 남기면 상대 위상도 더 잃을 수 있다. feature map이나 손실을 고르기 전에 필요한 불변성을 정하자. 이 유한 상태 벡터 계산만으로 양자 장치의 계산 우위, 데이터 적재 비용, 학습 이론의 보장을 얻지는 않는다.

13. 여섯 가지 풀이로 확인하기

1. (3+4i,0)을 정규화하라. norm은5다. 대표는((3+4i)/5,0)이고 계산 기저 확률은(1,0)이다. 첫 좌표가 복소수여도 e₀와 같은 ray다.

2. plus와 minus를 비교하라. 계산 기저 확률은 둘 다(1/2,1/2)이지만 내적은0이고 +x 확률은 각각1과0이다. 확률 그림 하나만으로 ray를 식별하지 못했다.

3. 켤레의 부호를 확인하라. ψ=(1,i)/√2의 bra는(1,−i)/√2이고 +y 확률은1이다. 내적 첫 인자에 i를 곱하면 내적에는−i가 곱해진다. 둘째 인자에 i를 곱하면 i가 그대로 곱해진다.

4. 전역 위상을 적용하라. ψ를 iψ로 바꾸면 모든 선택 기저의 확률과 fidelity1이 유지된다. 대표 제곱 거리는2다. −ψ의 대표 거리는4이며 두 경우 모두 위상을 정렬하면 거리는0이다.

5. e₁을 기울어진 기저로 나타내라. e₁=d₀e₀+d₁(e₀+e₁)을 풀면 d=(−1,1)이다. 단순 제곱 합은2다. G를 곱하면 d†Gd=1로 올바른 norm을 얻는다.

6. 허수 기저를 선택하라. (u,v)=(1,i),ψ=(1,1)/√2에서 U†를 적용하면 β=((1−i)/2,(1−i)/2)다. 두 절댓값 제곱은 각각1/2이고 재구성은 ψ다. 켤레를 빠뜨린 전치는 다른 잘못된 계산을 만든다.

14. 유한 좌표에서 함수로 나아가기

유한 벡터 실험은 위상과 기저 선택을 눈으로 확인하게 한다. 무한 차원에서는 완비성이 본격적인 문제가 된다. 다음 단원은 L² 파동함수·확률 적분·유한 사영을 이용해 샘플 격자나 계수 절단이 전체 상태 공간과 어떻게 다른지 살펴본다.

TU Delft의 내적·기저 설명은 표기를 복습하는 데 도움이 된다. 일반 관측량·자기수반 정의역·혼합 상태·텐서곱·동역학은 후속 주제다. 이 유한 실험이 Hilbert 공간의 전체 연구 범위를 완료하는 것은 아니다.