횡파 펄스의 에너지·흐름 수지

고정된 창을 통과하는 펄스를 보자

서로 반대 방향으로 진행하는 두 빛 펄스가 고정된 관측 창을 통과한다고 상상하자. 겹치는 곳에서 전기장 그래프에 큰 봉우리가 보일 수 있다. 에너지가 새로 생겼다는 뜻일까? 어느 순간 자기장이0이면 전자기 에너지도 없는 것일까? 전기 저장·자기 저장·부호 있는 에너지 흐름을 따로 그리며 답해 보자.

앞 단원의 매끄러운 횡파 Gaussian 펄스를 이어서 사용한다. 초기 E/B의 호환성, 제곱 노름, Gaussian 적분, 고정 부피의 Poynting 수지를 먼저 복습하자. 이 파동은 가로 방향으로 무한하다. z축 적분은 모두 가로 단위 면적당 에너지이며, 유한3차원 안테나의 총 에너지가 아니다.

매질과 초기 조건을 정하자

일정한 양의 ε와 μ를 사용하고 c=1/√(εμ)로 정한다. G는 부호 있는 전기 진폭 A와 폭 σ를 가진 Gaussian이다. β∈[0,1]로 초기 전기장을 오른쪽과 왼쪽 진행 성분으로 나눈다.

$$G(\xi)=A\exp\!\left(-\frac{\xi^2}{2\sigma^2}\right),\quad f=\beta G(z-ct),\quad g=(1-\beta)G(z+ct),\quad E_x=f+g,\quad cB_y=f-g.$$

t=0에서 모든 β의 전기장은 같은 G다. 하지만 자기장은 서로 다르다. β=1은 오른쪽 진행, β=0은 왼쪽 진행, β=1/2은 초기 자기장이0이며 이후 대칭으로 갈라지는 상태다. 이들은 서로 다른 전자기 초기 상태다.

전기 저장과 자기 저장을 분리하자

일정 계수의 에너지 식에 장을 대입하자. 1/(μc²)=ε이므로 자기 항을 f−g로 쓸 수 있다. 장 진폭의 부호가 음수여도 두 저장량은 음수가 아니다.

$$u_E=\tfrac12\epsilon(f+g)^2,\qquad u_B=\tfrac12\epsilon(f-g)^2,\qquad u=\epsilon(f^2+g^2).$$

전기 저장의 +2fg와 자기 저장의 −2fg가 총 에너지에서 상쇄한다. 개별 전기·자기 그래프에서까지 없어지는 항은 아니다. 대칭 분할의 t=0에서는 B=0이고 에너지가 모두 전기장에 있다. 장 에너지가 없다는 뜻이 아니다.

흐름은 부호 있는 차이다

외적은 z축 방향이다. 부호는 어느 진행 성분이 더 큰지 알려 준다. 총 흐름에도 혼합 항은 남지 않는다.

$$S_z=\frac{E_xB_y}{\mu}=\epsilon c(f^2-g^2),\qquad |S_z|\le cu.$$

f²=g²이면 국소 순흐름은0이지만 두 진행 성분은 반대 방향으로 에너지를 나를 수 있다. 양방향 차량 수가 같아 순교통량이0이라고 모든 차가 멈춘 것은 아닌 것과 비슷하다. 이 비유는 수지를 설명하며 장의 입자 해석을 주장하지 않는다.

조건부 에너지 흐름 비율

u>0인 곳에서 S/u는 속도 단위를 가지며 −c와 c 사이에 있다. 오른쪽 단일 성분은+c, 왼쪽 단일 성분은−c다.

$$v_{\rm energy}=\frac{S_z}{u}=c\frac{f^2-g^2}{f^2+g^2},\qquad u>0.$$

이 국소 비율은 자동으로 입자 속도나 일반 매질의 군속도, 정보 속도가 되지 않는다. 진폭이 정확히0이면 u=0이라 비율은 정의되지 않는다. 절대 에너지가 수치적으로 표현되지 않을 때는 모형에서 유도한 해석적 비율과 실제 관측 수치의 몫도 구분해야 한다.

국소 보존식을 확인하자

오른쪽 성분은 ft=−cfz, 왼쪽 성분은 gt=+cgz를 만족한다. 총 에너지와 흐름을 미분하면 상쇄가 직접 보인다. 이 무원천 모형에서는 J=0이다.

$$\partial_tu=2\epsilon c(-ff_z+gg_z),\qquad \partial_zS_z=2\epsilon c(ff_z-gg_z),\qquad \partial_tu+\partial_zS_z=0.$$

같은 지정 모형에서 유도한 해석적 일관성 검사다. 별도 유한차분과 실제 장의 구적은 추가적인 독립 근거를 준다. 공유된 도함수 항등식 하나가 구현의 모든 부분이나 모든 Maxwell 식을 검증하지는 않는다.

고정 slab와 바깥 법선을 그리자

a≤z≤b 구간을 정하자. 왼쪽 면의 바깥 법선은−z, 오른쪽은+z다. UA를 가로 단위 면적당 저장 에너지로 적으면 두 경계의 흐름은 서로 다른 부호로 들어간다.

$$U_A(t)=\int_a^b u(z,t)\,dz,\qquad P_{{\rm out},A}=S_z(b,t)-S_z(a,t),\qquad \frac{dU_A}{dt}+P_{{\rm out},A}=0.$$

UA는 J/m², 경계 일률의 면적당 값은 W/m²다. 고정된 가로 면적을 곱하면 각각 J와 W가 된다. 펄스가 진행하는 동안 a와 b는 고정한다. 관측 창을 펄스와 함께 움직이면 수송 계산이 달라진다.

유한 관측 창의 계산 예제

정규화 ε=μ=1, A=1, σ=1, β=1, c=1, t=0.3에서 a=−1, b=1로 정하자. 실제 장 에너지를 적분하면 UA≈1.42842866 J/m²다. 경계 값으로 Pout,A≈0.42810687 W/m²를 얻고 저장 변화율은 약−0.42810687 W/m²다.

왼쪽에서 들어오는 양보다 오른쪽에서 나가는 양이 더 커 관측 창의 에너지가 줄어든다. 전체 펄스의 에너지가 사라진 것이 아니라 일부가 창 밖에 있다. 에너지가 감소한다고 말할 때 고정 영역인지 전체 모형 축인지 꼭 명시하자.

전체 축을 적분하자

제곱한 Gaussian을 적분하면 σ√π가 된다. 평행 이동은 이 적분을 바꾸지 않는다. 호환되는 모형에서 전체 축의 가로 단위 면적당 에너지는 시간에 무관하다.

$$U_{A,\mathbb R}=\epsilon A^2\sigma\sqrt\pi\,[\beta^2+(1-\beta)^2].$$

정규화 단위 계수에서 β=1이면 √π≈1.77245385 J/m², β=1/2이면 √π/2≈0.88622693 J/m²다. 초기 E가 같아도 초기 B가 다르면 초기 에너지가 다르다. 같은 에너지 예산을 재분배하는 실험으로 설명하면 안 된다.

분할 펄스의 한 점을 계산하자

정규화 단위 계수의 대칭 분할에서 z=1, t=1이면 f=0.5, g≈0.06766764다. Ex≈0.56766764 V/m, cBy≈0.43233236 V/m를 얻는다. 총 밀도는 약0.25457891 J/m³, 흐름은 약0.24542109 W/m²다. 비율은 약0.96402758 m/s로 c=1 m/s보다 작다.

같은 z의 t=0에서는 E≈0.60653066 V/m, B=0, u≈0.18393972 J/m³, S=0이다. 이후 국소 증가가 보존 위반은 아니다. 그 주변으로 에너지가 들어온 것이다. 한 점의 값을 같은 위치에 붙어 있어야 하는 물질 물체의 에너지처럼 해석하지 말자.

실제 자기장과 호환 기준을 구분하자

음성 대조에서는 진행하는 E를 유지하고 실제 B와 J를0으로 강제한다. 실제 자기 에너지와 Poynting 흐름은0이다. 호환되는 기준 B를 실제 계산에 몰래 대신 넣어서는 안 된다. E의 스칼라 파동 식은 여전히 맞지만 일차 Maxwell 관계와 일반적으로 에너지 수지가 실패한다.

실제 B=0 모형의 전체 축 에너지도 달라진다. 두 Gaussian 성분의 전기 에너지만 적분하면 다음 식을 얻으며, 두 성분이 겹치는 동안 일정할 필요가 없다.

$$U^{B=0}_{A,\mathbb R}=\frac{\epsilon A^2\sigma\sqrt\pi}{2}\left[\beta^2+(1-\beta)^2+2\beta(1-\beta)e^{-(ct/\sigma)^2}\right].$$

β=1에서는 이 적분이 우연히 일정하다. 그래도 S=0인 채로 분포가 움직이므로 국소 에너지 잔차는 일반적으로0이 아니다. 전체 축 보존만 보는 것은 국소 보존보다 약하다. A=0이면 명목상 음성 대조도 유효한 영장으로 바뀐다. 일부 봉우리 표본의 잔차가0인 것 역시 비영 모형 전체를 검증하지 않는다.

작은 흐름을 유지하고 꼬리를 만들어내지 말자

β=1/2에서 반올림된 제곱을 빼 f²−g²를 구하면 작은 비영 흐름을 잃을 수 있다. 앞 펄스 단원에서 유도한 안정적인 Gaussian 차이에 Gaussian 합을 곱하자.

$$S_z=\frac{\epsilon c}{4}(G_+-G_-)(G_++G_-),\qquad G_\pm=G(z\mp ct).$$

정규화 단위 계수, z=1, t=10⁻¹⁸이면 흐름은 약3.67879441×10⁻¹⁹ W/m²지만 직접 제곱 차감은0을 줄 수 있다. 작은 지수 차에는 expm1을 사용한다. 표현 범위보다 작은 Gaussian 꼬리는 사용 불가이지 실제 유한 지지의0이 아니다. A=10⁻²⁰⁰이면 장은 표현 가능해도 제곱한 에너지는 표현되지 않을 수 있다.

얇은 창은 조심해서 적분하자

거의 같은 Gaussian 원시함수 두 값을 빼면 얇은 slab의 에너지를 잃을 수 있다. 실제 물리 폭을 적분 밖에 유지하고 단위 좌표에서 적분하자. 구현은 σ/2보다 넓지 않은 소구간에8점 Gauss 구적을 적용한다. 제곱 Gaussian 끝값의 안정 차감으로 경계 식도 따로 계산한다.

$$\int_a^b u(z)\,dz=(b-a)\int_0^1u\bigl(a+(b-a)s\bigr)\,ds.$$

독립180자리 기준으로 얇은 slab9조건과 작은 균형 흐름을 검사한다. 실제 장의 SciPy 구적과5점 차분으로는 선택한 펄스54조건을 확인한다. 관측한 검사 결과이며 인증된 구적 오차 상한은 아니다. 폭이 정확히0인 적분과 양의 폭에서 산술 손실이 생긴 경우는 다르다.

학습된 장을 평가하는 데 연결하자

AI 장 생성 모형은 전기장 한 장면을 맞추면서 자기 상태와 에너지 예산을 틀릴 수 있다. 초기 E와 B, 전기·자기 저장, 부호 있는 경계 흐름, 유한 영역의 저장 변화, 일차 Maxwell 관계를 함께 비교하자. 국소 결함을 가리거나 호환 기준을 실제 출력과 혼동한 결과에 총 에너지 손실0이라는 이유로 좋은 점수를 주지 말자.

풀이가 있는 연습문제

연습 1: 같은 E와 다른 에너지

같은 A와 σ에서 β=1과 β=1/2의 t=0을 비교하자. 해설: 초기 E는 같지만 단방향 상태는 초기 B가 비영이라 전체 축의 면적당 에너지가 두 배다.

연습 2: 같은 반대 성분

f=g≠0이면 u와 S는? 해설: u=2εf²>0, S=0이다. 순흐름0은 저장 에너지0이 아니다.

연습 3: 왼쪽 경계의 부호

S(a)=2 W/m², S(b)=5 W/m²이면 저장 변화율은? 해설: Pout,A=3 W/m², dUA/dt=−3 W/m²다. 왼쪽 면의 바깥 법선은−z다.

연습 4: 영진폭

A=0에서 S/u는? 해설: 분자와 분모가 모두0이므로 정의되지 않는다. 속도0을 대입하면 정규화 불가능성을 숨긴다.

연습 5: B=0인 진행 E

전체 축의 전기 에너지가 일정하면 이 장을 인증할 수 있는가? 해설: 아니다. 단방향 E는 국소 저장량이 변하지만 S=0이고 Maxwell 호환성이 일반적으로 실패한다.

연습 6: 너무 작은 에너지

절대 에너지가 언더플로되어도 해석적 흐름 비율이 의미 있을 수 있는가? 해설: 호환 모형의 성질로 따로 표시하면 가능하다. 표현 가능한 배정밀도 에너지 관측값을 나눈 몫은 아니다.

참고 자료와 다음 연결

국소 에너지 수지는 Feynman II 제27장, 장의 저장과 전달은 Haus–Melcher 제11장과 대조한다. 위 펄스 식은 명시한 Gaussian 초기 조건에서 직접 계산한 결과다. 후속 매질·경계 단원에서는 구성방정식과 경계 조건이 핵심이 된다.