초탄성의 응력·면적·객관성

하나의 힘과 두 가지 올바른 응력

부드러운 시편의 길이를 두 배로 늘려보자. 동시에 단면적이 작아질 수 있다. 가한 힘을 초기 면적으로 나눈 값과 현재 면적으로 나눈 값은 서로 다른 응력이 된다. 어느 쪽이 자동으로 틀린 것은 아니다. 한 응력의 정의에 다른 응력에 해당하는 면적이나 일의 증가량을 섞을 때 오류가 생긴다.

기하, 에너지, 응력, 힘을 모두 명시적으로 확인할 수 있는 유한 변형 탄성 예제를 만든다. 재료는 비압축성·등방성 neo-Hookean 고체이고, 균일한 일축 하중과 자유 측면 경계를 사용한다. 강체 회전은 실험실 성분을 바꾸지만 물성을 바꾸지 않는다. 이 예제로 구성방정식을 자동미분, 좌표 변환, 학습된 에너지 함수와 연결해보자.

물리 가정과 단위를 선언한다

전단계수 mu는 양의 상수다. 변형은 탄성·등온이며 공간적으로 균일하다. 점성, 소성 흐름, 손상, 관성, 온도 진화는 없다. 비압축성은 물질 체적이 일정하다는 뜻이지 모든 길이와 면적이 같다는 뜻이 아니다. 측면 traction을0으로 지정하며, 이 경계조건으로 압력에 해당하는 제약 변수를 결정한다.

양	단위	의미
lambda	1	현재 길이/기준 길이인 축 신장비
F	1	변형 기울기
W	J/m³	기준 체적당 저장 에너지
mu, p	Pa	전단계수와 비압축성 압력
sigma	Pa	현재 기하에 기반한 Cauchy 응력
P	Pa	기준 면적에 기반한 제1 Piola 응력

기준 배치는 실험 내내 같은 물질점을 식별하는 데 사용한다. 유한한 그림 구간이나 회전한 도식이 기준 배치의 물리적 뜻을 바꾸지는 않는다. 특히 기준 체적과 현재 체적이 수치상 같더라도 응력과 면적의 공액 관계까지 같다고 볼 수는 없다.

정확히 비압축인 변형을 구성한다

축 신장비는 양수다. 나머지 두 방향의 같은 신장비는 세 신장비의 곱을1로 만들어야 한다. 신장 뒤에 올바른 강체 회전 R을 적용한다. 인터랙티브 기하에서는 첫 두 좌표 방향의 회전을 사용하되 세 방향 신장을 모두 유지한다.

$$F=R\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^{-1/2},\lambda^{-1/2}), \qquad \det F=1,\qquad B=FF^T.$$

이것은 3차원 비압축 시편을 2차원 면적 보존으로 대신한 모델이 아니다. 두 횡방향이 모두 필요하다. 축 길이가 두 배이면 각 횡방향 길이는 제곱근2의 역수 배가 되고, 축에 수직인 단면적은 절반이 된다. 그림을 평면에 그리더라도 보이지 않는 세 번째 방향의 변형을 없애면 에너지와 힘의 관계가 달라진다.

응력보다 에너지를 먼저 정의한다

선택한 neo-Hookean 법칙의 저장 에너지는 변형 불변량의 스칼라 함수다. 기준 체적당 에너지이며 변형하지 않은 상태를0으로 정한다. 겹쳐 가한 강체 회전은 B의 trace를 바꾸지 않는다.

$$W=\frac\mu2(I_1-3),\qquad I_1=\operatorname{tr}(B),\qquad W(\lambda)=\frac\mu2\left(\lambda^2+\frac2\lambda-3\right).$$

전단계수는 물성이고 신장비는 상태 변수다. 하나의 양의 계수로 유용한 교육용 가족을 만들 수 있지만 모든 고무에 정확히 맞는 법칙이 되는 것은 아니다. 학습된 스칼라 에너지도 미분을 통해 응력을 만들 수 있다. 다만 정의역, 대칭성, 물리 제약을 별도로 선언해야 하며 학습 오차가 작다는 사실만으로 모두 충족되지는 않는다.

압력은 제약과 경계조건에서 결정한다

비압축성에서는 체적 에너지 벌점 대신 압력과 비슷한 변수가 등장한다. 일반 Cauchy 응력에는 아직 정하지 않은 등방 성분이 있다. 지금의 자유 측면 조건을 사용해 그 값을 정한다.

$$\sigma=\mu B-pI,\qquad \sigma_{\perp}=\frac\mu\lambda-p=0 \quad\Longrightarrow\quad p=\frac\mu\lambda.$$

여기서 압력은 신장비마다 마음대로 맞추는 추가 재료 상수가 아니다. 다른 경계값 문제에서는 다른 압력을 얻을 수 있다. 에너지를 안다는 이유만으로 압력을0으로 두면 선언한 자유 측면과 맞지 않는 응력이 생긴다. 에너지 함수라는 재료 정보와 압력을 결정하는 경계조건의 역할을 분리해서 읽자.

축 Cauchy 응력과 nominal 응력을 유도한다

mu B의 축 성분에서 압력을 빼자. Jacobian이1인 조건에서 F의 역전치를 사용하면 제1 Piola 응력으로 변환된다. 주축 좌표에서는 자유 측면 조건에 의해 축 응력만 남는다.

$$\sigma_{ax}=\mu(\lambda^2-\lambda^{-1}),\qquad P_{ax}=\mu(\lambda-\lambda^{-2}),\qquad P=\sigma F^{-T}.$$

축 nominal 응력은 축 신장비에 대한 축소 에너지의 미분과도 같다. 이는 재료 응답과 일을 연결하는 독립적인 확인 방법이다. 유한한 신장에서 Cauchy와 nominal 응력의 숫자가 같아야 한다는 뜻은 아니다. 이름 없이 응력이라고만 적힌 데이터를 사용할 때는 어떤 정의인지 먼저 확인해야 한다.

올바른 면적으로 힘을 확인한다

기준 단면적과 길이를 A-zero, L-zero라 하자. 현재 기하는 변형에서 따라온다. Cauchy 응력에는 실제 현재 면적을, nominal 응력에는 기준 면적을 사용한다.

$$A=\frac{A_0}{\lambda},\qquad L=\lambda L_0,\qquad AL=A_0L_0,\qquad F_{\rm axial}=A\sigma_{ax}=A_0P_{ax}.$$

Cauchy 응력에 초기 면적을 곱하는 계산은 일부러 틀리게 만든 대조로 유용하다. 인장에서 힘을 lambda배 과대평가한다. 측정한 힘을 응력 데이터로 바꾸면서 어느 면적을 사용했는지 저장하지 않아도 같은 오류가 생긴다. AI 모델이 서로 일관되지 않은 응력 표본을 잘 맞추더라도 물리적 힘을 올바르게 예측한다는 보장은 없다.

객관성은 성분을 바꾸되 물성을 바꾸지 않는다

신장한 시편과 대응하는 물질 면을 함께 회전하자. 에너지는 그대로이고 실험실 응력 성분은 공변적으로 변환된다. 현재 단위 법선 n에 작용하는 traction은 응력 곱하기 법선이다. 법선 성분과 접선 성분은 같은 단위 면적당 힘 벡터의 서로 다른 관측이다.

$$W(RF)=W(F),\qquad \sigma_{\rm rotated}=R\sigma R^T,\qquad t(n)=\sigma n,\qquad \sigma_n=n^T\sigma n.$$

두 회전 실험에서 같은 실제 면을 비교하려면 관측 법선도 함께 회전해야 한다. 실험실 법선을 고정하면 관측하는 상대 면이 달라진다. 그 법선 응력이 바뀌었다고 구성법칙이나 물성이 변한 것은 아니다. 객관성과 물질 등방성은 관련되지만 서로 다른 조건이며, 지금의 선택한 법칙은 둘을 모두 가진다. 학습 모델에서도 좌표 회전과 재료 방향의 회전을 구분하는 검사가 필요하다.

기계 일에는 공액인 양을 사용한다

이 축소 경로에서 nominal 응력은 기준 체적 에너지의 신장비 공액량이다. 실제 신장비로 적분하거나 로그 신장비로 적분할 때 그 좌표 Jacobian을 포함해야 한다. 기준 체적을 곱하면 시편의 에너지가 된다.

$$\frac{dW}{d\lambda}=P_{ax},\qquad \int_{\lambda_a}^{\lambda_b}P_{ax}\,d\lambda=W(\lambda_b)-W(\lambda_a),\qquad E_{\rm specimen}=A_0L_0W.$$

Cauchy 응력에 신장비 증가량을 곱한 것은 같은 일 밀도가 아니다. 올바른 Cauchy 전력 표현에는 대응하는 현재 체적과 변형률 속도 측도가 필요하다. 닫힌 탄성 변형 경로의 순일은0이지만 열린 한 구간에서는 재료가 에너지를 저장하거나 돌려줄 수 있다. 저장 에너지 감소를 음의 소산이라고 해석하지 않는다. 이 예제에는 점성 소산 자체가 없다.

길이를 두 배로 늘리는 손계산

mu=2Pa, 신장비2를 택하자. 특정 상용 재료를 나타내려는 값이 아니라 계산을 위한 값이다. 기준 면적2m², 기준 길이3m를 사용하면 면적·체적 변환도 쉽게 확인할 수 있다.

$$\lambda=2,\quad \mu=2\ \mathrm{Pa},\quad W=2\ \mathrm{J/m^3},\quad P_{ax}=3.5\ \mathrm{Pa},\quad \sigma_{ax}=7\ \mathrm{Pa}.$$

현재 면적은1m²이고 현재 길이는6m다. 두 힘 계산은 모두7N을 준다. 기준 체적은6m³이므로 시편 저장 에너지는12J다. 7Pa에 초기 면적2m²를 곱하면14N이라는 잘못된 힘을 얻는다. 시편을 회전하면 힘 벡터의 성분은 달라지지만 대응하는 축 방향 힘의 크기7N은 같다. 힘·응력·에너지의 단위와 기준 기하를 함께 적으면 이런 오류를 손으로도 찾을 수 있다.

작은 변형 접선과 안정성 주장의 범위

nominal 응답을 한 번 더 미분하자. 양의 기울기는 이 일축 경로의 성질이다. 변형하지 않은 상태에서는 비압축 고체의 작은 일축 탄성계수를 얻는다.

$$\frac{dP_{ax}}{d\lambda}=\mu(1+2\lambda^{-3})>0,\qquad P_{ax}\approx3\mu(\lambda-1)\quad(\lambda\approx1).$$

이 일차원 결과를 모든 다축 안정성, 전역 유일성, 시편 좌굴 방지의 증명으로 확대하면 안 된다. 재료 접선의 성질, 기하 불안정성, 경계 구속은 서로 다른 질문이다. 선형 근사는 신장비1 근처에서 유용하지만 큰 신장에서 강제로 지켜야 할 법칙이 아니다. 실제 비선형 응력과 비교해 어디서 오차가 커지는지 관찰해야 한다.

변형하지 않은 상태 근처의 안정적인 에너지

직접 에너지 식은3에 가까운 양들을 뺀다. 실제 양의 값이 반올림으로 사라지거나 약한 음수처럼 보일 수 있다. 인수분해하고 로그 신장비를 입력으로 삼으면 지수값이1로 반올림되어도 작은 변화량을 따로 유지할 수 있다.

$$\ell=\log\lambda,\qquad \delta\lambda=\operatorname{expm1}(\ell),\qquad W=\frac{\mu(\lambda-1)^2(\lambda+2)}{2\lambda}.$$

안정 에너지와 직접 반올림 뺄셈은 별도 관측으로 남긴다. mu B−p I를 직접 만들 때도 명목상 순수 회전에서 작은 산술 응력이 남을 수 있다. 해석적 가족에서 신장 변화0의 응력은 정확히0이다. 반올림 행렬의 진단을 물리적인 잔류 응력으로 읽으면 안 된다. 반대로 작은 비영 신장을 반올림 행렬만 보고 없는 것으로 취급하는 것도 피해야 한다.

작은 경로의 상쇄와 연구 실험

부호 있는 로그는 선형 표현 범위 밖의 양의 에너지와 부호 있는 힘을 보존한다. 에너지 밀도는 제공 불가여도 시편 체적을 결합하면 표현 가능한 전체 에너지가 회복될 수 있다. 경로 일에서는 양·음 기여가 거의 상쇄될 수 있다. 대칭인 적분 항들을 합산 전에 짝지으면 검증하려는 끝점 에너지에서 일을 정의하지 않고도 작은 물리적 차이를 보존할 수 있다.

독립 참조는 에너지 미분, 전체 행렬, 실제 면 traction, 신장 좌표 적분을 제품의 스칼라 식과 별도로 계산한다. 먼저 신장비를 바꾸며 두 면적으로 계산한 힘을 비교하자. 다음에는 시편과 법선을 함께 회전하자. 마지막으로 작은 로그 신장과 되돌아오는 닫힌 경로를 살펴보자. 학습된 에너지와 자동미분 파이프라인에서도 유용한 검사다. 좋은 적합도와 좌표·일·면적의 일관성은 따로 확인해야 한다.

풀이가 있는 연습

연습 1 — 같은 시편 힘

신장비2에서 Cauchy 응력에 곱할 면적은 무엇인가?

해설: 현재 면적이며 기준 면적의 절반이다. 이때 Cauchy 응력은 축 nominal 응력의 두 배이므로 두 면적을 올바르게 사용하면 같은 힘을 얻는다.

연습 2 — 압력 결정

에너지 함수를 알고 있으므로 압력을0으로 두어도 되는가?

해설: 아니다. 비압축성 압력은 경계값 문제에서 결정된다. 선언한 자유 측면에는 p=mu/lambda가 필요하다. 압력을 임의 재료 상수로 바꾸면 측면 조건이 달라진다.

연습 3 — 관측 면 회전

시편을 회전한 뒤 고정 실험실 법선의 법선 응력이 반드시 같아야 하는가?

해설: 아니다. 상대적으로 다른 면을 관측한다. 같은 실제 면을 비교하려면 법선도 시편과 함께 회전한다. 공변 응력 변환은 그 대응 관측을 보존한다.

연습 4 — 일 공액성

축 Cauchy 응력을 d lambda에 대해 적분하면 기준 체적 에너지 변화인가?

해설: 일반적으로 아니다. 이 경로의 공액량은 축 nominal 응력이다. Cauchy 전력 표현에는 대응하는 현재 체적의 변형률 속도 측도가 필요하다.

연습 5 — 반올림된 영 에너지

신장비1 근처에서 직접 뺄셈이0을 주면 안정적인 양의 에너지를 버려야 하는가?

해설: 아니다. 직접 식이 작은 이차 값을 잃었을 수 있다. 안정 인수분해, 반올림 대조와 로그 관측을 각각 보존해야 한다.

연습 6 — 양의 접선

일축 접선이 양수이면 모든 시편과 경계조건의 안정성이 인증되는가?

해설: 아니다. 지금의 하중 경로를 기술한 결과다. 다축 재료 조건과 기하 불안정성은 별도의 해석이 필요하며 하나의 양의 기울기로 인증할 수 없다.

자료와 적용 범위

A. F. Bower의 Applied Mechanics of Solids §3.5은 에너지 기반 초탄성 법칙, 응력 측도, 비압축성 제약을 설명한다. 여기의 자유 측면 일축 가족은 직접 유도했다. 일반 유한요소 해, 모든 재료에 대한 보정 결과, 전역 안정성 인증을 제공하는 것은 아니다.