Euler·Runge–Kutta·암시적 시간 적분

미분식에서 컴퓨터가 실행할 step으로

미분방정식은 매 순간의 변화율을 정하지만 컴퓨터는 유한 개의 상태를 저장합니다. 예를 들어 온도 차이가 줄어드는 y′=-λy를 생각하면 정확해는 y(t)=y₀ exp(-λt)입니다. 같은 최종 시간 T에 도착하더라도 어떤 중간 기울기를 사용하느냐에 따라 계산 값과 계산 비용이 달라집니다. 이 단원은 라이브러리 이름만 비교하지 않고 실제 step을 반복합니다.

가로축은 물리 시간입니다. 파랑은 수치 상태를 연결한 선이며 연결선 자체가 연속 정확해는 아닙니다. 주황은 정확한 지수 함수입니다. N을 바꾸면 h=T/N이 달라지지만 비교하는 최종 시간은 같습니다.

Euler와 Runge–Kutta의 기울기

Forward Euler는 시작 기울기를 끝까지 유지합니다. 명시적 midpoint는 반 step 위치를 예측해 그 위치의 기울기를 사용합니다.

고전적 RK4는 k₃=f(yₙ+hk₂/2), k₄=f(yₙ+hk₃)를 더 계산하고 h(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6을 더합니다. 네 기울기는 단순히 같은 위치의 평균이 아니라 서로 다른 예측 상태에서 평가합니다. 매끄러운 f와 적절한 안정성 아래 전역 차수는 각각 1, 2, 4입니다. 한 step의 평가 수와 전체 step 수도 비용 비교에 포함해야 합니다.

암시적 식과 안정성 함수

Backward Euler는 아직 모르는 다음 상태의 기울기를 사용합니다. 선형 감쇠에서는 식을 정확하게 풀 수 있습니다.

첫 번째 등호 사슬은 방정식과 그 해를 나타냅니다. 일반 비선형식은 Newton 등으로 따로 풀어야 하며 이 실험은 그런 비선형 해법을 구현했다고 주장하지 않습니다. 음의 실수 z=-λh에서 backward Euler는 감쇠하지만 정확한 exp(z)를 그대로 재현하지는 않습니다. 안정성은 작은 교란의 증폭, 정확도는 목표 해와의 차이입니다.

손계산과 직접 풀기

λ=T=y₀=1, N=2이면 Euler는 1→1/2→1/4입니다. 정확한 마지막 값은 exp(-1)≈0.367879이므로 오차는 약 0.117879입니다. Backward Euler는 1→2/3→4/9이고 오차는 약 0.076565입니다. 두 방법의 오차 부호가 반대임도 확인하세요.

직접 풀기: 같은 h=1/2에서 RK4의 한 step multiplier를 계산하세요. 풀이: 1-h+h²/2-h³/6+h⁴/24=0.6067708333이고 두 step 뒤에는 이 값을 제곱합니다. 일반 f에서는 이 다항식을 외워 곱하는 대신 네 stage를 평가해야 합니다. 실험은 실제 stage 계산으로 결과를 만듭니다.

AI 계산으로 연결하기

Neural ODE의 연속 모형이 같아도 적분기·허용 오차·관측 시간이 다르면 손실과 gradient가 달라질 수 있습니다. 유한 step의 함수와 연속 방정식의 해를 구분해 기록하세요. 평가 횟수, 오차, 안정성과 같은 T를 함께 보고해야 solver 비교가 의미를 갖습니다. 다음 단원은 한 step의 결함이 최종 오차로 어떻게 누적되는지 다룹니다.

참고: SciPy 공식 IVP 적분기 설명. 이 실험은 고정 step의 작은 모형이며 해당 패키지의 적응형 solver 구현과 동일하지 않습니다.