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필터는 주파수마다 다르게 반응합니다
두 tap의 finite impulse response h=[1−r,r]를 생각합니다. r은 0부터 1 사이이며 현재 입력과 한 표본 지연된 입력을 섞습니다. 모든 정수 시각에서 정의한 정상 입력에 대해서는 다음과 같습니다.
x[n]=exp(iωn)을 대입하면 공통 지수함수가 빠지고 H가 남습니다. 이동 불변 선형 시스템에서 복소 지수함수는 고유함수이며, 실수 cosine은 이에 따라 크기가 바뀌고 위상이 이동합니다.
크기와 위상을 숫자로 해석하기
r=0.5, ω=π/2이면 H=(1−i)/2입니다. 크기는 1/√2≈0.707, 위상은 −π/4입니다. 입력 cosine이 이 비율로 줄고 위상이 이동합니다. 응답 보기에서 tone 보기로 바꾸면 파랑 입력과 실제 두 tap 합으로 계산한 주황 출력을 비교할 수 있습니다.
입력은 n=−1에도 정의되며 양방향으로 계속됩니다. 따라서 정상 응답 계산입니다. n<0에서 0이고 n=0에 켜지는 신호라면 시작 과도 응답과 첫 출력이 다릅니다. 현재 그림에서 그 과도 응답을 추론하면 안 됩니다.
영점에는 위상이 없습니다
평균 필터 r=0.5에서 다음 인수분해가 성립합니다.
Nyquist의 교대 입력 [1,−1,1,−1,…]은 정확히 상쇄됩니다. 출력은 0이고 위상은 정의되지 않습니다. 이는 측정된 위상 지연 0과 다릅니다. 화면은 이 정확한 영점에서 위상을 비워 둡니다. 영점 가까이에서도 크기가 작으면 작은 계산·측정 변화에 위상 추정이 민감해질 수 있습니다.
세 가지 경우를 비교하기
r=0은 항등 필터입니다. r=1은 한 표본 순수 지연이며 모든 주파수에서 크기가 1이므로 크기 그림만으로는 항등과 구별되지 않습니다. r=0.5는 평균을 내 고주파를 억제합니다. 어느 r에서도 tap 합이 1이므로 DC gain은 1입니다.
직접 풀기와 AI 연결
상수 입력의 정상 출력은 같은 상수입니다. DC 수치를 확인한 뒤 r=0과 r=1의 tone 보기를 비교해 같은 gain에 숨은 위상 차이를 찾으세요. ω=π, r=0.25이면 H=0.5이므로 교대 출력은 위상 변화 없이 진폭 절반을 유지합니다.
학습한 시간·공간 kernel도 선형 이동 불변 연산자로 볼 수 있을 때 주파수 응답을 가집니다. 비선형 활성화·위치별 다른 가중치·경계 처리는 이 단순한 전역 해석을 깨뜨릴 수 있습니다. 필터 하나의 그래프로 신경망 전체를 설명하기 전에 가정을 명시하세요.
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