좌표 공변성과 물질 모형의 회전 대칭

표현을 회전하는 것과 실험을 회전하는 것은 다르다

가로 방향에는 부드럽고 세로 방향에는 더 단단한 용수철 장치를 생각합시다. 같은 장치를 기울어진 좌표축으로 설명할 수도 있고, 장치는 그대로 두고 입자의 변위를 회전시킬 수도 있습니다. 첫 번째는 같은 물리적 상황의 표현을 바꾼 것이고 두 번째는 주변 물질에 대한 입자 상태를 바꾼 것입니다.

두 경우 모두 회전행렬을 쓰지만 서로 다른 질문입니다. 좌표 공변성은 상태와 물질 계수를 함께 변환해야 합니다. 고정된 물리 모형의 회전 대칭은 물질 계수를 그대로 두어도 회전한 상태의 예측이 대응되게 회전하는지를 묻습니다.

이 단원은 2차원 이차 퍼텐셜, 일정한 양의 스칼라 질량과 양의 고정 강성을 사용합니다. 한 상태에서 힘 법칙을 검사하며 제약 그림을 적분된 시간 궤적으로 해석하지 않습니다. 순간 토크를 직접 유도하여 각운동량 보존을 말할 수 있는 조건도 구분합니다.

방향성이 있는 물질 모형을 정한다

변위 q=(x,y)의 단위는 m입니다. 퍼텐셜과 힘을 다음과 같이 정의합니다.

$$V(q)=\frac12q^T Kq, \qquad K=\begin{pmatrix}k_x&0\\0&k_y\end{pmatrix}, \qquad F(q)=-Kq.$$

강성 kx와 ky의 단위는 N/m이고 퍼텐셜의 단위는 J입니다. 강성이 양수이면 양의 일정한 퍼텐셜에 대응하는 위치 집합은 타원입니다. 두 강성이 같으면 타원이 원이 됩니다.

행렬 K는 이 좌표계에서 물질의 강한 방향과 약한 방향을 표현합니다. 비등방성은 표기상의 불편함에 그치지 않으며 실제 방향별 응답 차이입니다. 좌표 표현을 바꿔도 그 차이는 변환된 계수 속에 남아야 합니다.

회전의 성분 규약을 먼저 명시한다

다음과 같은 평면의 순수 회전을 사용합니다.

$$R=\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}, \qquad c^2+s^2=1.$$

좌표 표현을 비교할 때 새로운 성분을 q'=Rq, v'=Rv로 정의합니다. 좌표 기저 자체의 기하학적 회전을 말할 때는 역방향 성분 변환을 사용할 수 있으므로, 어느 행렬을 곱하는지 식으로 명시하는 것이 중요합니다.

R의 전치행렬과 R의 곱은 단위행렬입니다. 따라서 벡터의 Euclidean 길이와 각도가 보존됩니다. 일정한 스칼라 질량의 운동에너지 m v의 제곱/2도 이 공간 회전에서 같은 값입니다. 이 결론을 속도에서 일정한 값을 빼는 Galilean 관측자 변환에 그대로 적용하면 안 됩니다. 두 변환은 다릅니다.

상태와 함께 강성 텐서를 변환한다

같은 퍼텐셜을 새로운 성분으로 설명하려면 q=R의 전치행렬 곱하기 q'를 대입해야 합니다. 그 결과는 다음과 같습니다.

$$K'=RKR^T.$$

성분을 전개하면 다음을 얻습니다.

$$K'_{11}=k_xc^2+k_ys^2,\quad K'_{22}=k_xs^2+k_yc^2,\quad K'_{12}=K'_{21}=(k_x-k_y)cs.$$

원래 대각행렬이었어도 새 좌표에서는 일반적으로 비대각 성분이 생깁니다. 이 성분은 같은 물질 방향을 다른 좌표로 표현하는 데 필요합니다. 임의로 0으로 지우면 물리 모형을 바꾼 것입니다.

kx=1 N/m, ky=2 N/m, c=3/5, s=4/5를 대입하면 K'11=41/25 N/m, K'22=34/25 N/m, K'12=-12/25 N/m입니다. 분수로 정확한 값입니다. 행렬의 고윳값은 여전히 1과 2이므로 물질의 방향별 차이가 사라진 것은 아닙니다.

좌표 공변성을 직접 계산한다

올바르게 변환한 힘은 다음 관계를 만족합니다.

$$F'(q')=-K'q'=-RKR^TRq=R[-Kq]=RF(q).$$

가운데의 R의 전치행렬과 R이 소거됩니다. 퍼텐셜도 다음과 같습니다.

$$\frac12q'^T K'q'=\frac12q^T Kq.$$

회전한 속도까지 사용하면 이 공간 좌표 비교에서 총 에너지의 숫자도 같습니다. 이러한 관계는 등방성뿐 아니라 비등방성 K에서도 성립합니다. 같은 물리 모형을 일관되게 설명한 것이며, 물질 자체가 모든 회전에 대칭이라는 증명은 아닙니다.

수치 검사에서는 새 좌표의 힘을 원래 힘에 R을 곱한 값과 비교합니다. 서로 다른 좌표 성분 배열을 회전 없이 직접 비교하면 원래 의도와 다른 질문이 될 수 있습니다.

물질을 고정한 능동 회전은 별도의 검사이다

이번에는 K를 고정하고 입자 상태만 회전시킵니다. 회전한 위치에서 고정 모형의 힘은 F(Rq)=-KRq입니다. 이 회전에 대한 전역적인 힘의 등변성은 모든 q에서 다음이 성립하는 것입니다.

$$F(Rq)=RF(q).$$

이는 KR=RK와 같습니다. 현재 한 점에서의 결함은 F(Rq)-RF(q)=(RK-KR)q입니다. 전역 모형 대칭을 말하려면 한 점의 결함이 0인 것보다 강한 조건인 교환자 행렬 전체의 0이 필요합니다.

대각 2차원 K에서 s가 0이 아닌 회전이 K와 교환하려면 kx=ky여야 합니다. 반면 항등회전과 반 바퀴 회전 R=-I는 비등방성 K와도 교환합니다. 특정 한 회전에 대한 전역 대칭과 모든 연속 평면 회전에 대한 대칭은 구분해야 합니다.

인터페이스에서도 현재 한 점의 힘 일치, 선택한 회전에 대한 모든 상태의 대칭, 모든 평면 회전에 대한 대칭을 별도로 표시하는 것이 좋습니다. 하나의 성공 표시로 합치면 이 단원의 핵심 차이가 사라집니다.

힘이 다르지만 에너지는 우연히 같은 예

kx=1 N/m, ky=2 N/m이고 q=(1,1) m라고 합시다. 원래 힘은 (-1,-2) N입니다. 90도 회전하면 Rq=(-1,1) m이고 원래 힘을 회전한 값은 RF=(2,-1) N입니다.

물질 행렬을 고정한 채 Rq에서 힘을 다시 계산하면 (1,-2) N입니다. 두 힘의 차이는 (-1,-1) N이므로 고정 모형은 이 회전에 대칭이 아닙니다. 반면 좌표 표현과 함께 K'=diag(2,1)로 바꾸면 새 좌표의 힘은 (2,-1) N이고 좌표 공변성이 성립합니다.

흥미롭게도 이 위치에서는 원래 상태와 능동 회전 상태의 퍼텐셜이 모두 1.5 J입니다. 그 숫자가 같다고 힘 대칭의 실패가 사라지지는 않습니다. 하나의 스칼라 출력이 우연히 일치해도 벡터 힘 법칙은 다를 수 있습니다. 검증하려는 성질을 실제로 구분하는 출력을 봐야 합니다.

운동 방정식을 명시하고 토크를 유도한다

실제 동역학을 m q의 두 번째 시간 미분=-Kq로 정하고 질량이 일정한 스칼라라고 합시다. 원점에 대한 각운동량은 L=m(x vy-y vx)입니다. 미분한 뒤 운동 방정식을 대입하면 다음과 같습니다.

$$\dot L=xF_y-yF_x=(k_x-k_y)xy.$$

kx=ky이면 힘이 중심력이고 모든 상태에서 토크가 0입니다. 따라서 이 모형의 모든 해에서 각운동량이 일정합니다. 이것은 순간 그림의 모양만 보고 얻은 주장이 아니라 미분 항등식과 전체 힘 법칙을 사용한 결론입니다.

kx와 ky가 달라도 x=0 또는 y=0인 상태에서는 순간 토크가 0일 수 있습니다. 그것만으로 임의의 상태나 전체 미래 운동에서 각운동량이 보존된다고 결론낼 수 없습니다. 물질 축을 따라 움직이는 특수 궤적이 별도의 성질을 갖는 것과 모형 전체의 연속 회전 대칭은 다릅니다.

반 바퀴 대칭만으로 연속 회전의 보존을 얻지 않는다

비등방성 이차 퍼텐셜도 q를 -q로 바꾸면 값이 같습니다. 힘도 F(-q)=-F(q)를 만족합니다. 반 바퀴 회전은 실제로 이 고정 모형의 대칭입니다.

그런데 kx=1, ky=2, q=(1,1)이면 토크는 -1 N·m입니다. 주어진 운동 법칙에 따라 그 순간 각운동량이 변합니다. 반 바퀴라는 이산 대칭만으로 연속 회전에 연결된 각운동량 보존을 얻을 수 없음을 직접 보여 줍니다.

Noether 정리는 적절한 작용의 연속 대칭과 그 운동 방정식 아래의 보존량을 연결합니다. 이 예는 왜 연속이라는 조건을 구분해야 하는지 보여 줍니다. 여기서는 토크를 직접 계산하여 결론을 확인하며, 모든 숫자의 일치나 이산 변환을 곧바로 보존 정리로 취급하지 않습니다.

그림의 평면과 정확한 검사의 범위를 읽는다

위치 평면은 일정한 퍼텐셜 타원과 선택한 위치를 보여 줄 수 있습니다. 별도의 힘 평면은 F(Rq)와 RF(q)를 비교할 수 있습니다. 위치의 단위는 m이고 힘의 단위는 N입니다. 두 값을 같은 종류의 양인 것처럼 단위 없는 공통 축에 놓지 않아야 합니다.

변환된 타원은 같은 물질 모형을 새 성분으로 표현한 것입니다. 타원을 고정하고 상태만 돌린 그림은 능동적인 상태 변경입니다. 각 패널은 어떤 연산을 다루는지 명시해야 하며 정적인 그림만으로 시간 궤적을 추론하지 않습니다.

실습은 90도 회전과 3/5·4/5 같은 유리수 회전을 사용하여 변환한 계수, 힘 결함, 에너지 관계와 토크를 분수로 정확하게 검사할 수 있습니다. 표본 타원의 소수 좌표는 근사적인 그림 표현이며 정확한 힘 법칙 판정과 구분합니다.

등변 신경망의 문맥을 점검한다

학습한 힘 법칙의 등변성을 검사할 때는 어떤 외부 조건도 함께 변환하는지 먼저 정해야 합니다. 비등방성 강성 텐서가 있다면 상태와 텐서를 함께 회전하는 것은 좌표 공변성 검사입니다. 텐서를 고정하고 상태만 회전하는 것은 그 물질 환경 자체의 대칭을 묻는 검사입니다.

물질 방향을 입력에서 숨기고 모든 회전에 대한 대칭을 강제하면 실제 방향별 차이를 지울 수 있습니다. 반대로 모델이 비등방성 텐서를 입력으로 받고 출력을 일관되게 회전시키는 것은 등방성 물리를 가정하는 것과 다릅니다.

평가에서는 문맥의 변환, 모든 입력에 대한 주장과 현재 한 점의 오차를 따로 기록합니다. 특히 q=0에서는 모든 선형 힘이 0이므로, 그 점의 성공만으로 전역 회전 대칭을 인증할 수 없습니다.

연습문제와 해설

1. 문제: q'=Rq에서 같은 물질을 표현하는 계수는 무엇인가요? 해설: K'=R K Rᵀ입니다. 일반적으로 비대각 성분을 유지해야 합니다.
2. 문제: 좌표 공변성에 kx=ky가 필요한가요? 해설: 아닙니다. K를 함께 올바르게 바꾸면 비등방성 모형도 공변적으로 표현됩니다.
3. 문제: kx=1, ky=2, q=(1,1)의 90도 회전에서 두 힘은? 해설: F(Rq)=(1,-2) N, RF(q)=(2,-1) N이며 결함은 (-1,-1) N입니다.
4. 문제: 이 예에서 퍼텐셜이 둘 다 1.5 J이면 힘 등변성도 성립하나요? 해설: 아닙니다. 스칼라 값이 우연히 같아도 힘 벡터는 다릅니다.
5. 문제: 비등방성 모형이 반 바퀴 회전에 대칭이면 각운동량이 항상 보존되나요? 해설: 아닙니다. 토크 (kx-ky)xy는 일반적인 상태에서 0이 아닙니다.
6. 문제: q=0에서 힘 결함이 0이면 무엇을 확인했나요? 해설: 그 점의 일치만 확인했습니다. 교환자 행렬이 0이 아니면 선택한 회전에 대한 전역 대칭은 성립하지 않습니다.

참고 자료와 적용 범위

David Tong, Classical Dynamics 2장은 좌표 변화와 연속 대칭의 배경을 설명합니다. 이차 강성 모형, 텐서 성분, 힘 반례와 토크는 직접 유도했습니다. 한 표본의 일치를 일반 보존 법칙의 증명으로 해석하지 않습니다.