Poisson 도착·Count·잘린 꼬리

Count 경로와 Count 분포는 다르다

동차 Poisson 과정은 일정 intensity lambda와 겹치지 않는 구간의 독립 증분을 가집니다. N(T)의 평균·분산은 lambda T입니다. 한 count가 그 값과 같을 필요는 없습니다. 동전 한 번의 결과가 앞면 확률 자체가 아닌 것과 같습니다.

위 그림은 seed를 고정한 도착 경로와 이론선 lambda t입니다. 파란 jump는 실제 생성한 사건이고 주황선은 여러 실현에 대한 기대값입니다. Rate가 0이면 도착이 없고 관측 시간이 0이면 count도 0입니다.

대기시간으로 도착을 만든다

양의 intensity에서 독립 지수 대기시간은 memoryless 성질을 가집니다. 열린 구간 uniform U로 -log(U)/lambda를 만들고 관측창을 벗어나기 전까지 누적합니다. Seed는 재현성을 주지만 독립 증분의 정리를 표본으로 증명하지는 않습니다.

이 재귀로 count 확률을 직접 계산합니다. 보이는 도착 개수를 불확실성이 없는 이론값으로 바꾸어 읽지 마세요. 시뮬레이션의 안전 cap에 닿았는지도 따로 표시합니다.

잘린 그림은 빠진 질량을 남겨야 한다

파란 stem은 p0부터 pK입니다. K+1 위치의 주황 stem은 단일 count가 아니라 N(T)>K 전체 사건입니다. Cutoff를 확률 모형 변경과 혼동하지 않도록 bucket 의미를 명시합니다.

남은 양의 recurrence 항들을 더하며 파랑을 억지로 합 1로 만들지 않습니다. 재정규화하면 N(T)<=K라는 조건부 법칙입니다. 의도했을 때만 별도 모형으로 사용할 수 있습니다. Cutoff만 바꾸어도 도착 경로 자체는 바뀌지 않습니다.

Intensity 2를 손계산하기

lambda=2, T=1이면 처음 세 확률은 exp(-2), 2exp(-2), 2exp(-2)입니다. 합은 약 0.676676, 꼬리는 약 0.323324입니다. 한 경로의 도착 수가 무엇이든 이론적 count 분산은 2입니다.

직접 풀기: 두 창과 두 Cutoff

인접한 단위 구간의 count는 독립 Poisson(lambda)이고 합은 Poisson(2lambda)입니다. 이 분포 명제와 한 2단위 경로를 세는 작업을 구별하세요. lambda T=2에서 K를 2→10으로 늘리면 왜 꼬리만 줄고 도착 시간·평균은 같은지도 설명하세요. 재정규화한 세 stem이 뜻하는 조건부 법칙도 적으세요.

더 읽기: Lawler 저자의 확률미적분 노트.