고정·이동 경로의 전자기 유도

변하는 장과 움직이는 측정 경로

직사각형 도선을 책상 위에 고정한 채 자기장을 바꾸는 경우와, 일정한 자기장 안에서 도선의 한쪽 변을 움직이는 경우를 상상하자. 두 경우 모두 경로를 통과하는 자속이 변할 수 있지만, 전하에 작용하는 힘을 설명할 때 필요한 항은 다르다.

앞 Maxwell 단원은 고정 경로의 전기장 순환을 다뤘다. 여기서는 경로의 운동을 별도의 입력으로 넣어 두 기여를 분리한다. 목표는 자속 변화라는 한 문장 안에 장의 시간 변화, 면의 변화, 방향 선택을 숨기지 않는 것이다. 벡터곱·선적분·연쇄 법칙을 먼저 복습하자.

기전력의 정의와 단위

이름에 힘이 들어가지만 기전력은 N 단위의 힘이 아니다. 경로를 따라 전하당 힘의 접선 성분을 적분한 양이며 단위는 V다. 아래 u는 도선 요소의 지정한 속도다. E 항과 u×B 항을 각각 계산한다. 얇은 도선과 비상대론적 운동을 가정하며 운반자의 도선 접선 방향 표류에 대한 자기력의 접선 성분은 별도로 더하지 않는다.

일반적인 유도 상황에서 기전력을 두 끝점의 단일 스칼라 전위차와 동일시하지 않는다. 특히 닫힌 경로의 E 적분이 비영이면 정전기적 경로 독립 전위차만으로 전체 전기장을 나타낼 수 없다.

$$\mathcal E(t)=\oint_{C(t)}\left(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B\right)\cdot d\boldsymbol\ell,\qquad [\mathcal E]=\mathrm V.$$

고정 경로와 움직이는 경로의 식

고정된 열린 면 S와 그 경계 C에서는 Faraday 법칙이 E 순환과 자기 선속의 시간 변화율을 연결한다. 매끄럽게 움직이는 경로와 그에 맞는 면을 사용하면 운동 항을 포함한 식을 얻는다. 경로·면의 방향은 항상 오른손 규칙으로 연결한다. 시간 미분을 적분 안으로 옮길 때 면 자체가 변한다는 사실을 놓치지 말자.

경로가 찢어지거나 연결 방식이 바뀌는 상황까지 이 간단한 식이 자동으로 다루는 것은 아니다. 이 단원에서는 매끄러운 직사각형 운동을 명시하여 그런 기하학적 문제를 피한다.

$$\begin{aligned}\oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell&=-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S&&\text{fixed }S,\\\oint_{C(t)}(\mathbf E+\mathbf u\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol\ell&=-\frac{d}{dt}\int_{S(t)}\mathbf B\cdot d\mathbf S&&\text{moving }S(t).\end{aligned}$$

선택한 장과 필요한 원천

유계 영역 안에서 z 방향으로 균일한 자기장을 지정한다. 자기장의 시간 의존성은 이차 다항식이다. 그 변화에 맞는 회전 전기장을 함께 선택한다. 이것은 유한 솔레노이드의 전 공간 해를 구한 것이 아니라 지정한 영역의 제조해다. 외부 원천과 경계 자료가 필요하다.

전기장 성분을 보면 y>0에서 Ex는 b′의 부호를 따르고 x>0에서 Ey는 그 반대다. b′>0이면 xy 평면에서 시계 방향으로 도는 전기장이다. 법선+z의 양의 경로가 반시계 방향이므로 순환은 음수다.

$$b(t)=b_0+b_1t+\tfrac12b_2t^2,\quad\mathbf B=(0,0,b(t)),\quad\mathbf E=\left(\tfrac12b'(t)y,-\tfrac12b'(t)x,0\right).$$

Faraday 법칙만 맞추면 충분한가

전기장의 회전은−b′ ez이고 자기장의 회전은0이다. 그런데 b₂≠0이면 전기장이 변하므로 변위 전류가 생긴다. B의 회전0과 맞추려면 반대인 전도 전류를 지정해야 한다. 이를 생략한 채 원천 없는 완전한 Maxwell 해라고 부르면 틀린다. 두 발산과 전류 발산은0이며 ρ=0이다.

실제 물질에서 이런 전류가 어떻게 공급되는지는 별도의 구성 법칙과 구동 장치 문제다. 여기서는 필요한 J를 분명히 보여주고 원천·장 사이의 일관성만 검사한다.

$$\nabla\times\mathbf E=(0,0,-b'),\quad\mathbf J=-\epsilon\partial_t\mathbf E=\left(-\tfrac12\epsilon b_2 y,\tfrac12\epsilon b_2 x,0\right),\quad\mathbf J+\epsilon\partial_t\mathbf E=0.$$

시간 의존 퍼텐셜과 연결하기

앞 전위 단원에서는 정적인 경우를 다뤘다. 지금은 A가 시간에 따라 바뀌므로 E에−∂tA가 필요하다. 아래의 특정 선택은 B와 E를 함께 만든다. Faraday 순환만 안다고 국소 전기장이 유일하게 결정되는 것은 아니다. 다른 경계·원천과 함께 실제 curl-free 전기장을 더할 수 있으며 이는 물리적 장을 바꾸는 선택이다.

이에 비해 A와 V를 함께 바꾸어 E·B를 유지하는 게이지 변환은 표현의 변화다. 두 경우를 혼동하지 않는다. 게이지의 전역 조건과 선택 문제는 후속 주제에서 더 다룬다.

$$\mathbf A=\left(-\tfrac12by,\tfrac12bx,0\right),\quad V=0,\quad\mathbf B=\nabla\times\mathbf A,\quad\mathbf E=-\nabla V-\partial_t\mathbf A.$$

움직이는 직사각형의 기하

직사각형의 꼭짓점을 (0,0)→(L,0)→(L,H)→(0,H) 순서로 돈다. 법선은+z다. 높이는 고정하고 폭 L=L₀+ut만 바꾼다. u는 m/s이며 전기장이나 운반자 속도와 다른 입력이다.

계산 모형은 L₀∈[1,2] m, u∈[−0.25,0.25] m/s, t∈[−2,2] s를 지원한다. 따라서 전체 지원 구간에서0.5≤L≤2.5 m다. 높이는0≤H≤4 m다. 폭이 무너져 경로의 정칙성이 사라지는 경우를 몰래 보정하지 않고 이 모형의 범위에서 제외한다.

$$L(t)=L_0+ut,\qquad\Phi_B(t)=b(t)L(t)H.$$

네 모서리의 전기장 적분

아래 변에서는 y=0이므로 Ex=0이다. 오른쪽 변에서는 Ey=−b′L/2를 +y로 적분한다. 위 변에서는 Ex=b′H/2를−x로 적분한다. 왼쪽 변에서는 x=0이므로 Ey=0이다. 두 비영 항이 각각−b′LH/2를 주며 합은−b′LH다.

경로가 움직이더라도 이 계산은 그 시각의 E만 경로에서 적분한 값이다. 아직 경로 속도 항을 포함하지 않았다. 순간 면적과 E 적분을 계산한 뒤 이를 전체 움직이는 선속 변화율이라고 이름 붙이지 말자.

$$\oint_{C(t)}\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-b'(t)L(t)H.$$

운동 항을 네 모서리에서 읽기

오른쪽 변이+x로 움직이면 u×B는−y 방향이다. 따라서 +y로 도는 오른쪽 변의 기여는−ubH다. 수평 변에서는 운동 자기력이 경로 접선과 수직이어서 내적이0이고 왼쪽 변은 움직이지 않는다.

모형은 경계 위 속도장을 (ux/L,0,0)으로 연속적으로 잡는다. 이는 수평 변을 늘리는 표현이다. 경로의 접선 방향 재배치는 같은 면적 변화를 주며 이 경우 운동 적분을 바꾸지 않는다. 실제 레일·도선의 미시적 연결 운동을 푼 모형은 아니다.

$$\oint_{C(t)}(\mathbf u\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol\ell=-u\,b(t)H,\qquad\mathcal E=-H\big[b'L+bu\big]=-\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

단위를 유지하는 손계산

b₀=1 µT, b₁=0.5 µT/s, b₂=0.2 µT/s², L₀=1 m, u=0.2 m/s, H=2 m, t=1 s를 택한다. b=1.6 µT, b′=0.7 µT/s, L=1.2 m다. 자속은3.84 µWb, 전기 순환은−1.68 µV, 운동 기여는−0.64 µV이고 총 기전력은−2.32 µV다.

처음 자속은2 µWb이므로0→1 s의 변화는1.84 µWb다. 이 구간의 기전력 시간 적분은−1.84 µV·s다. 순간 기전력−2.32 µV를 단순히1초와 곱하면 정확한 구간 적분이 아니다. 기전력이 시간에 따라 달라지기 때문이다.

자기력은 일을 하지 않는데 기전력은 왜 생기는가

개별 전하의 총속도 v에 대해 자기력 qv×B는 항상 v와 수직이다. 따라서 자기장만이 그 전하에 하는 순간 일률은0이다. 이를 움직이는 도선의 전기 에너지 증가가 불가능하다는 뜻으로 읽으면 안 된다. 도선 운동을 유지하는 외부 장치가 기계적 에너지를 공급할 수 있다.

도선과 운반자의 상대 운동을 분해하면 경로 방향의 전하당 힘과 도선 운동에 대응하는 힘 사이에 에너지 교환이 나타난다. 실제 전류·저항 발열·구동력을 구하려면 회로 및 역학 조건을 추가해야 한다. 현재 모형은 그 응답을 계산하지 않는다.

$$(q\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v=0.$$

방향 반전과 퇴화 면

경로를 반대로 돌면 전기·운동 적분, 총 기전력, 대응 자속이 모두 부호를 바꾼다. 실제 Bz는 바뀌지 않는다. 자속을 방향 있는 면적 성분으로 나눈 평균 Bz도 유지된다.

H=0이면 이 모형의 면적·선속·적분은0이지만 선속/면적은0/0이라 정의하지 않는다. 한편 L=0에서 u≠0인 경로 붕괴는 같은 단순 퇴화로 다루지 않는다. 순간 면적0이라도 형상의 한쪽 변화율은 비영일 수 있으며 정칙한 움직이는 경로 가정이 깨진다.

작은 자속 차이를 안정적으로 계산하기

자속은 시간의 삼차 다항식이다. 두 큰 끝값을 따로 계산해 빼면 작은 변화가 사라질 수 있다. 상수 항을 먼저 소거하고 Δt를 묶으면 변화량을 유지할 수 있다. 예를 들어 b₀=4 T, b₁=10⁻¹⁶ T/s, 고정 단위 면적에서0→1 s의 직접 뺄셈은0일 수 있지만 변화는10⁻¹⁶ Wb다.

일정 B의 물리적 배경은 전위의 게이지 상수와 다르다. u≠0이면 b₀도 자속 변화와 운동 기전력에 기여하므로 무조건 소거하면 안 된다. 계산 가능한 작은 값, 정확한0, 비영 중간값의 산술 손실을 구분한다. 모형은 일부 표현의 손실을 보수적으로 사용 불가로 표시하며 다른 계산 순서가 값을 회복할 가능성까지 부정하지 않는다.

$$\begin{aligned}\Phi_B&=H(p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3),\\p_1&=b_0u+b_1L_0,\quad p_2=b_1u+\tfrac12b_2L_0,\quad p_3=\tfrac12b_2u,\\\Delta\Phi_B&=H\Delta t\left[p_1+p_2(t_0+t_1)+p_3(t_0^2+t_0t_1+t_1^2)\right].\end{aligned}$$

AI 모형과 독립 검증

센서의 이동 경로를 포함하는 학습 모형에서는 장 예측과 측정 기하를 함께 기록해야 한다. 고정 경로 손실을 움직이는 센서 자료에 그대로 적용하면 운동 항을 장의 오류로 오인할 수 있다. 전도 전류·변위 전류와 경계 조건도 분리해서 확인하자.

모형의 다항식 잔차가0이라는 사실은 독립 증명이 아니다. 별도 Python 계산은 네 모서리의 실제 벡터 내적을 공간 적분하고, 시간 적분 및 선속의5점 시간 차분과 비교한다. 고정 B·이동 경로와 고정 경로·변화 B를 각각 음성 대조에 사용한다. 관측 차이는 선택한 조건의 수치 결과이며 엄밀한 오차 상한이 아니다.

연습과 해설

먼저 법선을 정한 뒤 전기·운동 기여를 나누어 계산하자.

연습 1: 일정 자기장과 이동 경로

B=2 T, u=0.3 m/s, H=0.8 m이고 b′=0이면 +z 방향 경로의 기전력은? 해설: E 순환은0, 운동 항은−0.48 V다. 고정 경로 식의 E 항만 사용하면 이 기여를 놓친다.

연습 2: 폭을 고정하기

u=0이고 b′>0이면 어떤 기여가 남는가? 해설: 운동 항은0이며 E 순환−b′LH만 남는다. 이는 자속의 변화율−d(bLH)/dt와 같다.

연습 3: 경로 반전

손계산 예제에서 경로를 반대로 돌리면 총 기전력과 Bz는? 해설: 기전력은+2.32 µV로 반전하지만 Bz=1.6 µT는 유지된다. 부호가 바뀌는 것은 측정 방향이다.

연습 4: 빠뜨린 원천

b₂≠0인데 J=0, B의 공간 회전0을 동시에 유지할 수 있는가? 해설: 일반적으로 아니다. ε∂tE가 비영이므로 Ampere–Maxwell 식을 맞추려면 이 제조해에서는 J=−ε∂tE가 필요하다.

연습 5: 자기장 배경과 게이지

b₀를 바꿔도 b′가 같으면 모든 기전력이 유지되는가? 해설: 고정 경로의 E 순환은 같지만 u≠0인 운동 기전력은 달라진다. 실제 B를 바꾼 것이므로 게이지 변화가 아니다.

연습 6: 순간값과 구간 적분

손계산의 최종 기전력−2.32 µV에1 s를 곱하면 정확한 자속 변화의 음수가 되는가? 해설: 아니다. 기전력이 시간에 따라 달라지므로 적분해야 하며 결과는−1.84 µWb다. V·s=Wb 단위도 확인하자.

참고 자료와 다음 연결

MIT 8.02 Chapter 10의 §10.1–10.3과 대조했다. 다음은 원천 없는 장에서 두 진화 식이 초기 E·B를 어떻게 연결하고 횡파를 전파시키는지 살펴본다.