횡파의 초기 자료와 양방향 전파

같은 초기 전기장, 다른 미래

한 시각의 전기장 모양을 완벽하게 안다면 미래도 알 수 있을까? 일반적으로는 초기 자기장 또는 그에 맞는 시간 변화 정보가 더 필요하다. 같은 Gaussian 전기장에서도 에너지가 한쪽으로 이동하는 경우와 양쪽으로 갈라지는 경우가 가능하다. 여기서는 에너지 흐름의 정량 계산 대신 두 장의 호환성과 전파 구조를 먼저 이해한다.

앞 단원의 정현파는 한 가지 정확한 해였다. 이제 주기적이지 않은 매끄러운 펄스를 사용하여 파동 방정식, Maxwell 일차 관계, 초기 자료를 연결한다. 목표는 파동 방정식의 해를 구한 뒤 자기장을 임의로 붙이는 오류를 피하는 것이다.

일정 계수와 횡파의 가정

ε·μ는 일정한 양의 계수이며 c=1/√(εμ)다. 진공형 SI 교육 모형을 사용한다. 기본 ε는 반올림 교육용 μ와 SI 광속으로 유도하며, 임의의 계수가 완전한 실제 매질 모형을 뜻하지는 않는다.

전기장은 x 성분, 자기장은 y 성분만 있고 공간 변화는 z에만 있다. 전파 축에 수직인 장이므로 횡파다. 그러나 모든 전자기장이 항상 횡방향이라는 일반 명제를 주장하지 않는다. 원천 근처, 도파관과 물질 경계에서는 다른 성분과 조건을 다뤄야 한다.

$$\mathbf E=(E_x(z,t),0,0),\qquad\mathbf B=(0,B_y(z,t),0),\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}.$$

두 일차 진화 식부터 시작하기

이 성분 선택에서는 두 발산이 자동으로0이다. 남는 Faraday와 Ampere–Maxwell 관계는 아래와 같다. E와 B의 공간 변화·시간 변화가 서로를 제한한다. 두 식의 부호를 회전의 성분 정의에서 직접 확인하자.

초기 B의 z 미분은 초기 E의 시간 미분을 정하고, 초기 E의 z 미분은 초기 B의 시간 미분을 정한다. 따라서 초기 장과 초기 변화율 네 가지를 독립적으로 마음대로 지정할 수 없다.

$$\partial_z E_x=-\partial_tB_y,\qquad-\partial_zB_y=\frac{1}{c^2}\partial_tE_x.$$

파동 방정식 유도와 그 한계

첫 식을 시간 미분하고 둘째 식의 z 미분을 사용하면 E의 파동 방정식을 얻는다. B도 같은 형태를 만족한다. 이 유도는 일차 식을 만족하면 이차 파동 식을 만족한다는 방향의 논증이다. 역방향이 아무 조건 없이 성립한다는 뜻은 아니다.

미분 과정에서 원래 두 장 사이의 일차 호환 조건을 잃을 수 있다. Gauss 제약과 경계·초기 자료를 확인해야 하는 것과 마찬가지로, 각 성분의 파동 잔차만 줄이는 것으로 완전한 Maxwell 검증을 대신할 수 없다.

$$\partial_t^2E_x=c^2\partial_z^2E_x,\qquad\partial_t^2B_y=c^2\partial_z^2B_y.$$

서로 반대로 진행하는 두 함수

f(z−ct)는 모양을 유지하며+z로, g(z+ct)는−z로 이동한다. 두 함수를 더하여 E를 만들 때 B에서는 진행 방향에 따라 상대 부호가 달라져야 한다. 이 부호가 두 일차 식을 동시에 만족하게 한다.

E와 B의 축을 고정했으므로 B의 부호가 바뀌는 것은 성분 방향의 변화다. 두 파동이 겹치는 곳에서는 단방향 관계 B=E/c를 전체 합에 그대로 적용할 수 없다. 진행 성분마다 관계를 적용한 뒤 합해야 한다.

$$E_x=f(z-ct)+g(z+ct),\qquad B_y=\frac{f(z-ct)-g(z+ct)}{c}.$$

같은 Gaussian 초기 모양을 나누기

진폭 A의 단위는 V/m, 폭 σ는 m이며 β는0과1 사이의 무차원 값이다. 두 진행 함수가 같은 초기 모양을 나누도록 정의한다. β=1은 오른쪽만, β=0은 왼쪽만, β=1/2는 대칭 분리다.

Gaussian은 멀리서 매우 작아지지만 수학적으로 정확히0인 꼬리를 갖지는 않는다. 또한 이 평면 장은 x·y 방향으로 무한하다. z 방향으로 국소화된 펄스라고 해서 유한한 삼차원 안테나 방사장이나 날카로운 인과적 파면이 되는 것은 아니다.

$$G(\xi)=A\exp\left(-\frac{\xi^2}{2\sigma^2}\right),\qquad f=\beta G,\qquad g=(1-\beta)G.$$

초기 자료의 호환성을 표로 읽기

t=0에서 세 경우의 E는 모두 G(z)다. 그러나 B와 ∂tE는 아래처럼 다르다. E만 찍은 한 장의 사진으로 진행 방향을 판정할 수 없는 이유다.

β	초기 E	초기 B	초기 ∂tE
1	G	G/c	−cG′
1/2	G	0	0
0	G	−G/c	+cG′

초기 B=0인 대칭 분리에서도 초기 ∂tB=−G′는 일반적으로 비영이다. 초기 자기장이0이라는 사실을 모든 시간의 자기장0으로 바꾸면 다른 모형이 된다.

$$E_x(z,0)=G(z),\quad B_y(z,0)=\frac{(2\beta-1)G(z)}{c},\quad\partial_tE_x(z,0)=c(1-2\beta)G'(z).$$

한 점에서 직접 미분해 보기

정규화 c=1, A=σ=1을 사용하고 z=1, t=0을 택하자. G=e⁻¹ᐟ²≈0.60653066, G′=−G다. 오른쪽 진행에서는 E=B=G, ∂zE=∂zB=−G, ∂tE=∂tB=+G다. 두 일차 식의 부호가 맞는다.

대칭 분리에서는 같은 E와 ∂zE가 있지만 B=∂zB=∂tE=0이다. 대신 ∂tB=+G다. 한 점에서 초기 장 값만 비교하면 놓치는 시간 변화가 있다. 정규화 계산의 B 수치를 기본 SI 계수에서의 B와 혼동하지 않는다.

펄스가 갈라진 뒤의 값

정규화 c=A=σ=1, β=1/2, t=2, z=2를 택한다. 오른쪽 진행 성분은 중심에 있고 왼쪽 성분은4만큼 떨어져 있다. 두 꼬리가 여전히 겹치므로 E가 정확히1/2이라고 말하면 안 된다. 아래처럼 작은 꼬리 기여를 포함한다.

그림을 그릴 때 E와 cB를 같은 단위로 비교하고 실제 B는 별도로 읽는 것이 편리하다. 겹친 펄스에서는 두 양의 크기가 다를 수 있으며, E가 큰 곳이라고 언제나 같은 비율의 B가 있는 것은 아니다.

$$E_x=\tfrac12(1+e^{-8})\approx0.50016773,\qquad cB_y=\tfrac12(1-e^{-8})\approx0.49983227.$$

중심의 B=0과 비영 회전

대칭 분리 장의 z=0에서는 모든 시간에 B=0이다. 그렇다고 B가 공간 전체에서0인 것은 아니다. 중심 양쪽에서 부호가 반대이고 공간 기울기는 비영일 수 있다.

정규화 c=A=σ=1, t=1에서 중심 E=e⁻¹ᐟ², B=0, ∂tE=−e⁻¹ᐟ², ∂zB=+e⁻¹ᐟ²다. 따라서 curl B의 x 성분은−∂zB로서 변화하는 E와 맞는다. 장의 한 점 값과 주변 변화의 차이는 앞 전하 밀도 예제에서도 중요했다.

파동 식을 통과하는 잘못된 자기장

오른쪽으로 이동하는 E=G(z−ct)는 유지하고 B를 모든 곳에서0으로 바꾸자. E는 여전히 스칼라 파동 방정식을 만족하고 B=0도 자신의 파동 방정식을 만족한다. 두 발산도0이다. 그러나 일반 위치에서는 ∂zE가 비영이므로 Faraday 식이 실패하며, ∂tE와 맞는 자기 회전도 없다.

이는 명시적인 음성 대조다. 원천 없는 완전한 Maxwell 해라고 표시하면 안 된다. 펄스 중심처럼 도함수가 우연히0인 표본에서는 국소 잔차가0일 수 있으므로 여러 위치와 시각을 검사한다. A=0인 완전한 영장은 별도의 유효한 예외다.

$$B_y=0:\qquad r_F=\partial_zE_x,\qquad r_A=-\frac{\partial_tE_x}{c^2}.$$

작은 두 펄스 차이의 수치 문제

β=1/2이고 시간이 아주 작으면 G(z−ct)와 G(z+ct)가 같은 부동소수점 값으로 반올림될 수 있다. 직접 빼면 B=0처럼 보여도 실제 두 진행 성분의 차이는 비영이다. 지수의 차이를 먼저 구하고 expm1을 사용하면 작은 차이를 유지할 수 있다.

expm1(x)는 exp(x)−1을 작은 x에서 안정적으로 계산하는 함수다. 큰 sinh와 작은 exp를 곱하는 표현은 중간 오버플로를 만들 수 있으므로 피한다. 아래 식은 zct≥0인 가지이며 반대 부호에서는 다른 Gaussian을 기준으로 대응하는 식을 사용한다. z=0 또는 t=0의 정확한 대칭 영점은 수치 소실과 구분한다.

$$d=\frac{2zct}{\sigma^2},\qquad G(z-ct)-G(z+ct)=G(z-ct)\big[-\operatorname{expm1}(-d)\big]\quad(d\ge0).$$

영진폭·꼬리·지원 범위 구분하기

A=0이면 장은 정확히0이다. A≠0인 Gaussian 꼬리가 산술 범위 밖에서0으로 반올림되면 수학적으로 영장이라고 선언하지 않는다. 모형은 사용 불가로 표시한다. 한편 대칭으로 정확히 B=0이라는 사실은 E의 꼬리가 표현 불가여도 알 수 있는 경우가 있다. 각 양의 계산 가능성을 독립적으로 다룬다.

순수 모형은 A∈[−4,4] V/m, σ∈[0.1,4] m, z∈[−4,4] m, t∈[−4,4] s와 |ct|≤8 m를 지원한다. 기본 SI 광속에서 수초는 이 이동 범위를 벗어나므로 ns 규모의 시간을 사용해야 한다. 입력을 몰래 자르거나 주기로 감아 다른 펄스로 바꾸지 않는다. 이것은 계산 모형의 선언한 범위이며 물리 법칙 자체의 한계가 아니다.

AI 장 모형에서 검사할 것

E의 값과 파동 잔차만 학습하면 호환되지 않는 B를 놓칠 수 있다. 초기 E·B, 일차 진화 식, 발산, 경계 자료를 각각 검사하자. 손실 항의 단위도 다르므로 무차원화와 가중치를 기록한다. 한 점의 잔차와 전체 가족의 판정을 구분하고 음성 대조가 실제로 실패하는지 확인한다.

제품 모형의 도함수는 같은 해석 가족에서 유도한 진단이다. 독립 검증은 별도 Python 공간·시간5점 차분, 실제 장 선적분과 선속 변화율,160자리 mpmath 기준을 사용한다. 차분 오차·상쇄·꼬리 표현 한계를 수학적 오류나 물리적 영점과 혼동하지 않는다. 에너지·Poynting 흐름과 매질 경계는 다음 원래 주제로 남긴다.

연습과 해설

각 문제에서 초기 값, 시간 미분, 공간 미분을 따로 적어보자.

연습 1: 같은 초기 E

초기 E=G이고 B=G/c이면 이 가족의 β는? 해설: β=1이다. 오른쪽 진행이며 초기 ∂tE=−cG′가 따라온다. E만 같고 B=0인 경우는 β=1/2다.

연습 2: 초기 영자기장

β=1/2에서 초기 B=0이면 초기 ∂tB도0인가? 해설: 일반적으로 아니다. ∂tB=−G′이며 z≠0에서 비영일 수 있다. 초기 값과 시간 변화율을 구분한다.

연습 3: 두 파동 식의 통과

이동하는 E에 B=0을 붙여 두 파동 잔차가0이면 충분한가? 해설: 아니다. Faraday의 ∂zE=−∂tB와 Ampere의−∂zB=∂tE/c²를 따로 검사해야 한다.

연습 4: 중심의 B=0

대칭 분리에서 z=0의 B가 모든 시간0이면 그곳의 curl B도0인가? 해설: 아니다. 중심 양쪽의 B가 반대 부호로 변하여 ∂zB가 비영일 수 있다. 이것이 중심의 ∂tE와 맞는다.

연습 5: 펄스의 작은 차이

β=1/2, c=σ=A=z=1, t=10⁻¹⁸에서 직접 뺄셈이0이면 B도 정확히0인가? 해설: 아니다. 안정식과 고정밀 기준은 cB≈e⁻¹ᐟ²×10⁻¹⁸을 유지한다. 정확한 대칭 t=0과 구분한다.

연습 6: 폭과 곡률

A가 같을 때 σ를 절반으로 줄이면 초기 중심 E의 공간 이계 미분은? 해설: Ezz(0,0)=−A/σ²이므로 크기는4배다. 원래 일차 관계를 만족하는 가족에서 Ett=c²Ezz도 함께 바뀐다.

참고 자료와 다음 연결

Feynman Lectures II Chapter 20의 §20–1, 식20.24–20.25와 대조했다. 축을 z 진행·x 전기장·y 자기장으로 바꾸어 사용했다. 다음 장의 에너지·Poynting 흐름 단원에서 전파 방향과 에너지 수송을 정량적으로 연결한다.