부분군·잉여류와 몫구조

부분구조는 연산에 닫혀야 한다

부분군은 원래 군의 연산으로 군을 이루는 부분집합입니다. 항등원과 역원도 포함되어야 합니다. 덧셈 잉여류군에서 원소 h가 생성하는 부분군은 h를 반복해서 더한 모든 결과입니다. n=6,h=2이면 0,2,4 다음에 다시 0이 됩니다. 그림의 숫자는 각 원소가 속한 잉여류의 라벨이며 크기의 측정값은 아닙니다.

잉여류는 무엇을 같은 것으로 보는가

x+H는 x에 부분군 원소를 모두 더한 집합입니다. x와 y의 차이가 H 안에 있으면 두 잉여류는 같습니다. 기준에서는 짝수들이 H, 홀수들이 1+H입니다. {0,2,4}와 {1,3,5}는 서로 겹치지 않고 원래 집합을 모두 덮습니다. 어느 원소를 대표로 고르든 같은 집합을 얻는지 표에서 확인하세요.

몫 연산과 정규성

몫에서는 원소 대신 잉여류를 더합니다. 대표원을 바꿔도 결과가 같아야 연산이 정의됩니다. 현재 군은 아벨군이라 모든 부분군이 정규부분군이고 문제가 없습니다. 일반 비가환군에서는 아무 부분군으로나 몫군을 만들 수 없습니다. 군의 정규부분군에 대응하여 환의 몫환에서는 아이디얼 조건이 필요합니다. 단어만 비슷하다고 부분환을 그대로 몫으로 사용하지 마세요.

극단 사례와 구조 보존

h=0이면 H={0}이어서 원래 원소를 구분하는 정보가 모두 남습니다. h=1이면 H=G여서 몫은 한 원소입니다. 기준 몫은 Z2와 동형이고 자연스러운 사상 x↦x mod 2의 핵은 H입니다. 이처럼 무엇을 같게 취급할지 정하면 어떤 정보가 사라지는지 명확해집니다. AI에서 대칭에 대한 표현을 만들 때 유용한 관점이지만, 원하는 예측값도 같은 동치류에서 같아야 정보를 지우는 것이 타당합니다.

확인 문제와 해설

1. Z8에서 ⟨2⟩의 크기는? 4이고 몫 크기는 2입니다.
2. 잉여류 두 개가 일부만 겹칠 수 있나요? 아니요. 같거나 완전히 분리됩니다.
3. 부분군과 몫의 원소 수가 같아야 하나요? 아니요. 둘의 곱이 원래 크기입니다.

추가 읽기: Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.