경계 성장·광역성·가법성

커진 물체에도 경계는 크게 남을 수 있다

상자를 크게 만드는 두 방법을 떠올려보세요. 길이·너비·높이를 함께 늘릴 수도 있고, 두께는 그대로 둔 채 넓은 면만 계속 펼칠 수도 있습니다. 격자 간격을 고정하면 두 방법 모두 많은 자리를 추가합니다. 그렇지만 표면이 부피에 비해 얼마나 작아지는지는 같지 않습니다. 매우 넓은 얇은 판은 전체 자리 수가 엄청나게 커져도 경계의 영향을 크게 간직할 수 있습니다.

상호작용을 넣으면 다른 구분도 필요합니다. 최근접 결합은 두 부분을 가르는 접합면 근처에서만 절단선을 건넙니다. 완전 그래프에서는 한쪽의 모든 자리가 다른 쪽의 모든 자리와 연결됩니다. 결합 세기를 전체 자리 수로 나누어 에너지 크기를 N에 비례하게 만들더라도, 두 거시 부분 사이의 상호작용까지 사라지는 것은 아닙니다.

이 단원은 기하, 에너지의 크기 성장, 계를 자르는 조작을 분리합니다. 합과 곱, 합의 제곱 항등식을 알면 시작할 수 있습니다. 광역성·가법성의 물리적 배경은 Campa·Dauxois·Ruffo II.A를 참고합니다. 아래의 열린 격자, 자기 쌍 제외 규칙, 유한 보정과 성장 경로는 따로 지정합니다. 계산 대상은 선택한 미시 배치의 에너지입니다. 평형 자유에너지의 극한을 증명하려면 추가 준비가 필요합니다.

기하와 고정하는 양을 먼저 정하기

두 직육면체 격자 블록을 첫 좌표 방향으로 붙입니다. 그 방향의 길이를 a,b라고 하고, 나머지 d−1개 축의 너비는 모두 w로 둡니다. 차원 d는1,2,3 중 하나입니다. 경계는 열려 있어 끝과 끝을 잇는 주기 결합이 없습니다. 그림 속 세로 막대는 블록 사이의 절단선이며, 새로운 격자 자리 한 층을 뜻하지 않습니다.

격자 간격 a_lat는 고정합니다. 한 자리가 차지하는 기준 부피가 일정하므로 물리적 부피는 자리 수에 비례합니다. 그런데 밀도를 고정한다는 사실만으로 모든 방향의 길이가 함께 커지는 것은 아닙니다. 얇은 판 비교는 바로 이 빠진 조건을 드러냅니다. 전체 N이 크다는 정보와 각 방향의 길이가 크다는 정보는 서로 다릅니다.

각 블록 내부의 고전 스핀은 sA 또는 sB로 모두 같게 정하며, 각각 +1이나−1입니다. 이것은 열적으로 표본을 뽑은 평균이 아니라 선택한 배치입니다. J는 음이 아닌 결합 세기이고 공통 에너지 단위 E0를 가집니다. 계산기는 J/E0를 정수 분자와 양의 정수 분모로 표현합니다. 공통 단위를1 J(줄)로 선택하지 않았다면 화면의 숫자를 곧바로 줄 단위라고 부르지 않습니다.

기호	의미	관례
a, b	두 블록의 접합 축 길이	양의 정수 자리 수
w	각 가로 방향의 너비	1차원에서는1
NA, NB, N	두 부분과 전체의 자리 수	N=NA+NB
BA, BB	내부 최근접 결합 수	순서 없는 결합을 한 번씩
C	절단선을 건너는 결합 또는 쌍	상호작용 그래프에 따라 다름
sA, sB	각 블록 내부의 일정한 스핀	선택한 ±1
J	결합 세기	공통 에너지 단위 E0
λ	공간 성장 계수	시간 단계가 아님

자리와 내부 결합을 직접 세기

먼저 곱셈으로 자리 수를 얻습니다. 접합 축의 길이에 가로 단면의 자리 수를 곱하면 됩니다.

$$N_A=aw^{d-1},\qquad N_B=bw^{d-1},\qquad N=(a+b)w^{d-1}.$$

블록 A 안에서 접합 축 방향으로는 각 가로 위치마다 a−1개 결합이 있습니다. 가로 축 하나를 고르면 그 축에서는 w−1개 결합이 생기고, 다른 좌표들은 자유롭게 정할 수 있습니다. 이 방향들의 수를 더하면 내부 결합 개수가 됩니다. 블록 B도 같은 방식으로 셉니다.

$$B_A=(a-1)w^{d-1}+(d-1)a(w-1)w^{d-2},\qquad B_B=(b-1)w^{d-1}+(d-1)b(w-1)w^{d-2}.$$

d=1에서는 가로 방향 항이 없고 w=1입니다. 쓰지 않는 가로 항에서 생기는 음의 지수를 새로운 기하학적 인자로 해석하지 않습니다. 최근접 결합은 옆자리 사이의 변이므로, 꼭짓점을 세는 계산과 변을 세는 계산을 분리해야 합니다.

a=b=2,w=3인2차원 준비를 그리면 다음과 같습니다.

+ + | - -
+ + | - -
+ + | - -

각 블록에는6자리가 있습니다. 왼쪽의 세 줄에는 가로 결합3개, 두 열에는 세로 결합4개가 있으므로 BA=7입니다. 오른쪽도 BB=7입니다. 막대를 건너는 최근접 결합은 각 줄마다 하나씩, 모두3개입니다. 열두 꼭짓점을 먼저 그리면 접합면을 새로운 열로 세거나 주기 결합을 몰래 추가하는 실수를 피할 수 있습니다. 스핀의 부호와 결합 개수는 별개의 정보입니다.

접합면과 바깥 표면을 구별하기

접합면에는 가로 위치마다 하나의 최근접 결합이 있습니다. 바깥에는 접합 축의 양 끝면 두 개와 각 가로 방향의 양 끝면이 있습니다.

$$C_{AB}^{\rm nn}=w^{d-1},\qquad F_{\rm out}=2w^{d-1}+2(d-1)(a+b)w^{d-2},\qquad \frac{F_{\rm out}}N=\frac2{a+b}+\frac{2(d-1)}w.$$

1차원에서는 여기서도 두 번째 항이 없습니다. 바깥 표면의 면과 두 블록 사이의 결합은 다른 질문에 답합니다. 접합면은 합쳐진 물체의 내부이므로 Fout에 넣지 않습니다. 모서리 때문에 결합 개수를 더 붙이지도 않습니다. 노출된 면 개수를 셀 때는 어떤 축의 어느 쪽 면인지 먼저 이름을 붙이면 중복을 확인하기 쉽습니다.

열두 자리 예제에서는 접합 결합이3개인 반면 바깥 면 개수는14입니다. 따라서 접합/자리는1/4, 바깥 면/자리는7/6입니다. 면 개수를 자리 수로 나눈 비율은1보다 클 수 있습니다. 확률이 아니기 때문입니다. 이 기하학적 양에 온도·엔트로피·표본 빈도라는 의미를 덧붙이지 않습니다. 에너지 비교 전에 기하의 규칙부터 고정해야 합니다.

더 큰 계로 가는 경로를 선택하기

열역학 극한을 묻는다면 유한한 계들을 어떻게 바꿀지 말해야 합니다. 균일 확대에서는 기준 길이와 폭을 고정한 채 공간 계수 λ를 키웁니다.

$$a=\lambda a_0,\qquad b=\lambda b_0,\qquad w=\begin{cases}1,&d=1,\\\lambda w_0,&d\ge2,\end{cases}\qquad N=\lambda^d(a_0+b_0)w_0^{d-1}.$$

d=1에서는 접합 축의 두 길이만 커지고 쓰지 않는 폭은1로 남습니다. 이 경로에서는 접합/자리와 바깥 면/자리가 모두1/λ에 비례해 줄어듭니다. 이 직육면체 가족에서 van Hove 기하라는 표시는 바로 이런 경계의 무시 가능성을 가리킵니다. 크기가 커진다는 말 속에 어떤 길이를 같이 늘린다는 조건이 들어 있는지 보세요.

고정 두께 경로는 다릅니다.

$$a=a_0,\qquad b=b_0,\qquad w=\lambda w_0,\qquad N=\lambda^{d-1}(a_0+b_0)w_0^{d-1},\qquad d\ge2.$$

이때 접합/자리는1/(a0+b0)로 유지되고, 바깥 면/자리는2/(a0+b0)로 갑니다. 밀도는 여전히 고정되어 있고 N도 발산합니다. 그렇지만 경계가 사라지는 벌크 극한이 되는 것은 아닙니다. 동시에 이 경로에서 모든 에너지 밀도의 수렴이 실패한다는 뜻도 아닙니다. 아래에서는 두께에 의존하는 유한 극한을 직접 구합니다. 극한의 존재와 경계에 대한 독립성을 하나의 명제로 섞지 마세요.

에너지 비교 전에 미시 배치를 고정하기

최근접 상호작용은 격자에서 바로 이웃한 자리만 잇습니다. 블록 안의 스핀 곱은1이고, 블록을 건너는 결합의 스핀 곱은 s=sA sB입니다. 순서 없는 결합을 한 번씩 세면 다음과 같습니다.

$$H_{\rm nn}=-J(B_A+B_B+s_As_BC_{AB}^{\rm nn}),\qquad H_A=-JB_A,\quad H_B=-JB_B.$$

J는 정렬을 선호하므로 평행한 결합은−J, 반대인 결합은+J를 기여합니다. 모든 스핀을 동시에 뒤집으면 전체 스핀 합의 부호는 달라지지만 각 결합의 스핀 곱은 그대로입니다. 따라서 모든 에너지도 변하지 않습니다. 그림의 색을 동시에 바꿨는데 에너지까지 바뀐다면 먼저 부호 관례를 확인해야 합니다.

이 모델에는 열저장고·온도·궤적이 없습니다. 선택한 배치를 고정한 채 결합 일부를 지운 Hamiltonian과 비교하는 것은 에너지 장부의 조작입니다. 이를 바로 측정한 열, 가역 일의 과정 또는 표면 자유에너지라고 부르지 않습니다. 특히 고정 스핀 배치의 도메인 벽 에너지와 유한 온도에서의 계면 자유에너지는 같다고 둘 수 없습니다. 어떤 평균과 과정을 정의했는지 빠져 있기 때문입니다.

국소 절단의 크기를 정확히 계산하기

각 블록 내부의 J를 그대로 두고 교차 결합만 지우면 절단 차이는 정확히 정해집니다.

$$\Delta H_{\rm nn}=H_{\rm nn}-H_A-H_B=-JsC_{AB}^{\rm nn},\qquad \frac{\Delta H_{\rm nn}}N=-\frac{Js}{a+b},\quad s=s_As_B.$$

여기 장부 차이는 합쳐진 에너지에서 제한된 에너지를 빼는 방향입니다. 같은 배치에서 결합을 지운 뒤의 에너지에서 지우기 전을 빼면 부호는 반대입니다. 평행한 블록에서는 유리한 결합을, 반대 블록에서는 불리한 결합을 제거하는 비교입니다. 거시적 분할에서 그 영향이 작아지는지 볼 때는 크기 J/(a+b)가 더 편리할 수 있습니다. 부호 있는 차이와 절댓값 크기를 같은 색의 한 곡선으로 섞지 마세요.

균일 확대에서는 자리당 크기가0으로 갑니다. 고정 두께 경로에서는 J>0일 때 J/(a0+b0)가 남습니다. 둘 다 몇 개의 점에 지수 함수를 맞춘 결과가 아니라 정확한 유한 항등식에서 나옵니다. J=0이면 기하학적 표면 비율이 남더라도 에너지 절단 비용은 정확히0입니다. 결합을 없애는 것과 기하 자체를 바꾸는 것이 다름을 여기서도 확인할 수 있습니다.

자기 상호작용 없이 모든 쌍을 세기

이번에는 그래프를 바꿉니다. 서로 다른 모든 자리의 순서 없는 쌍이 상호작용합니다. 접합면에서 멀리 떨어진 자리도 예외가 아닙니다. 내부 쌍과 교차 쌍의 수는 다음과 같습니다.

$$P_A=\frac{N_A(N_A-1)}2,\qquad P_B=\frac{N_B(N_B-1)}2,\qquad C_{AB}^{\rm all}=N_AN_B.$$

블록 내부의1/2은 같은 쌍을 두 번 세는 것을 제거합니다. 교차 쌍은 한 끝점이 A, 다른 끝점이 B로 이미 구분되므로 다시 둘로 나누지 않습니다. 각 블록에 한 자리만 있어도 내부 쌍은0인 반면 합쳐진 계에는 교차 쌍 하나가 있습니다. N과 N−1이 유한 크기에서 어디에 들어가는지 놓치지 마세요.

전체 N스핀의 합을 S라고 합시다. 제곱을 전개하면 각 스핀의 자기 항이 모두1이므로 N이 생깁니다. 이를 빼면 쌍 에너지를 독립적으로 검산할 수 있습니다.

$$S=s_AN_A+s_BN_B,\qquad \sum_{i<j}\sigma_i\sigma_j=\frac{S^2-N}2,\qquad H_{\rm raw}=-\frac J2(S^2-N).$$

이 유한 모델에서 N을 빼는 항은 선택 사항이 아닙니다. 자기 항을 포함하면 정규화 전 Hamiltonian은 JN/2, 전체 Kac Hamiltonian은 J/2만큼 낮아집니다. 고정 N에서는 배치와 무관한 이동이지만 크기에 대한 의존성은 다릅니다. 참고 문헌의 수치를 가져오거나 계를 자를 때 이 관례를 유지해야 합니다. 큰 N에서 자리당 차이가 작아진다는 이유로, 유한 장부에서 상수항을 먼저 지우면 아래의 정규화 비교가 맞지 않습니다.

선형 에너지 크기는 열역학 정리 자체가 아니다

완전 그래프에 Kac 정규화를 적용하면 각 쌍의 결합은 J가 아니라 J/N입니다.

$$H_{\rm Kac}=-\frac JN\sum_{i<j}\sigma_i\sigma_j=\frac{H_{\rm raw}}N.$$

에너지의 크기를 파악하는 한 방법은 고정 그래프의 모든 스핀 배치에 대한 최대 절댓값입니다. 이 최대값은 현재 그림에 선택한 균일 블록 두 개의 배치에만 제한하지 않습니다. 삼각부등식으로 각 결합 크기의 합이 상한이 되고, 모든 스핀이 평행한 배치가 그 상한을 실제로 달성합니다.

$$\|H_{\rm nn}\|_\infty=J(B_A+B_B+C_{AB}^{\rm nn}),\qquad \|H_{\rm raw}\|_\infty=\frac{JN(N-1)}2,\qquad \|H_{\rm Kac}\|_\infty=\frac{J(N-1)}2.$$

J>0에서 최근접 계와 Kac 계의 에너지 노름은 허용한 성장 경로를 따라 N에 선형으로 커집니다. 정규화 전 완전 그래프의 노름은 N²에 이차로 커집니다. 이 비교는 에너지의 광역적인 크기 척도와 초광역적인 크기 척도를 구별합니다. J=0이면 모든 노름이 정확히0이므로 이차 발산이라고 표시하지 않습니다.

에너지 노름의 제어는 유용하지만, 그 자체로 평형 자유에너지 밀도의 수렴, 경계 조건에 대한 독립성, 통계 ensemble 사이의 동등성을 증명하지는 않습니다. 그런 질문에는 명시적인 통계적 준비와 별도의 가정이 필요합니다. 이 단원은 에너지 그림으로 그 증명을 대체하지 않습니다. 한 배치에서 에너지가 작아 보인다는 관찰과 모든 배치에 대한 노름의 성장도 따로 보아야 합니다.

Kac 정규화 뒤에도 남는 거시적 교차항

Kac Hamiltonian을 두 블록에 제한할 때 원래의 분모 N을 유지합시다. 교차 에너지를 자리 수로 나누면 다음과 같습니다.

$$\frac{H_{AB}^{\rm Kac}}N=-Js\frac{N_AN_B}{N^2} =-Js\frac{a_0b_0}{(a_0+b_0)^2}.$$

두 성장 경로 모두 각 블록이 차지하는 비율을 보존합니다. 따라서 위 크기는 λ와 무관하고, J>0이면0으로 사라지지 않습니다. 같은 크기의 블록이면 그 크기는 J/4입니다. 에너지의 대표 크기를 광역적으로 정규화했다고 해서 거시적인 두 부분의 상호작용까지 제거된 것이 아닙니다.

이것이 가법성 논의를 위한 구체적 구분입니다. 전체 에너지 크기를 선형으로 만들면서도 N차수의 절단 상호작용을 남길 수 있습니다. 계의 크기만 키운다고 완전 그래프가 국소 그래프로 바뀌지 않습니다. 조밀한 그림에서 보기 편하게 몇 개의 선만 그린다면 선을 생략한 것이지 Hamiltonian에서 쌍을 없앤 것이 아닙니다. 그림의 선 수보다 정확한 쌍 개수와 정규화 규칙을 먼저 확인하세요.

부분계를 다시 정규화하는 것은 두 번째 조작이다

계를 나눈 뒤 A에는 J/NA, B에는 J/NB를 적용하고 싶은 유혹이 생깁니다. 각 부분의 내부 스핀은 평행하므로 그 에너지는 다음과 같습니다.

$$H_A^{\rm sep}=-\frac{J(N_A-1)}2,\qquad H_B^{\rm sep}=-\frac{J(N_B-1)}2,\qquad H_A^{\rm sep}+H_B^{\rm sep}=-\frac{J(N-2)}2.$$

이 비교도 잘 정의되어 있습니다. 다만 교차 쌍을 제거하는 동시에 내부 결합 세기를 바꿉니다. 원래 제한된 내부 합에서 각각 다시 정규화한 내부 합을 뺀 차이를 T라고 두겠습니다.

$$T=(H_A^{\rm res}+H_B^{\rm res})-(H_A^{\rm sep}+H_B^{\rm sep}) =J\frac{N_AN_B}N-\frac J2.$$

전체 차이에는 이 보정항과 원래의 교차 상호작용이 모두 들어갑니다.

$$H_{\rm Kac}-H_A^{\rm sep}-H_B^{\rm sep} =T-Js\frac{N_AN_B}N =J(1-s)\frac{N_AN_B}N-\frac J2.$$

평행한 두 블록에서는 그 차이가−J/2에 불과하지만 원래의 교차 에너지/자리는0이 아닙니다. 작은 차이는 두 조작의 큰 항이 상쇄된 결과입니다. 반대 블록에서는 오히려 거시적 항2JNA NB/N이 남습니다. 정확한 장부는 각 내부 에너지가 어느 분모의 정규화를 사용하는지 이름을 붙입니다. 절단만 비교한 값과 정규화 변경까지 비교한 값을 같은 열에 넣어 읽지 마세요.

유한 장부와 두 성장 경로를 손으로 확인하기

d=2,a=b=2,w=3,J=1E0,sA=+1,sB=−1로 둡니다. 다음 장부의 각 행에서는 합쳐진 계에 지정한 원래 결합을 사용합니다. 에너지는 E0, 자리당 에너지는 E0/자리 단위입니다.

상호작용	제한된 A	제한된 B	교차항	전체 에너지	자리당 에너지	최대 에너지 절댓값
최근접	−7	−7	3	−11	−11/12	17
완전 그래프·정규화 전	−15	−15	36	6	1/2	66
완전 그래프·전체 J/N	−5/4	−5/4	3	1/2	1/24	11/2

각 부분을 다시 정규화한 내부 합은−5입니다. 정규화 변경 보정항5/2에 Kac 교차 에너지3을 더하면 전체와 별도 합의 차이11/2가 됩니다. 강자성 결합이라도 선택한 한 배치의 전체 에너지는 양수일 수 있습니다. 불리한 교차 쌍이 유리한 내부 쌍보다 많이 기여할 수 있기 때문입니다.

같은 기준 기하를 키워봅시다. 국소 에너지 밀도와 교차 크기는 경로의 차이를 드러냅니다.

성장 경로	λ	N	최근접 H/N	자리당 국소 교차 크기
균일 확대	1	12	−11/12	1/4
균일 확대	2	48	−35/24	1/8
균일 확대	4	192	−83/48	1/16
고정 두께	1	12	−11/12	1/4
고정 두께	2	24	−13/12	1/4
고정 두께	4	48	−7/6	1/4

이 분수들은 맞춤이나 외삽으로 얻은 근사값이 아닙니다. 그림의 가로축에는 공간 성장 또는 자리 수를 적고, 각 점이 어느 경로에서 나온 것인지 유지해야 합니다. 두 경로의 λ가 같다고 N도 같은 것은 아닙니다. 표에서 같은 λ의 행을 나란히 읽고 N이 어떻게 달라지는지 먼저 확인해보세요. 그렇지 않으면 서로 다른 계의 에너지를 같은 크기의 계라고 비교하게 됩니다.

극한을 취하기 전에 유한 보정식을 유도하기

국소 결합 개수를 모으면 모든 허용 유한 크기에서 성립하는 식을 얻습니다.

$$\frac{H_{\rm nn}}N=-J\left[d-\frac{2-s}{a+b}-\frac{d-1}w\right].$$

L=a0+b0로 쓰면 두 경로의 식은 다음과 같이 됩니다.

$$\begin{aligned} \text{uniform:}\quad &\frac{H_{\rm nn}}N=-Jd+\frac J\lambda\left[\frac{2-s}L+\frac{d-1}{w_0}\right],\\ \text{fixed thickness:}\quad &\frac{H_{\rm nn}}N=-J\left[d-\frac{2-s}L\right]+\frac{J(d-1)}{w_0\lambda}. \end{aligned}$$

균일 확대의 극한은−Jd이고, 고정 두께 극한에는 L과 접합면 양쪽 스핀 방향이 남습니다. 두 번째 경로에서도 유한 극한은 존재합니다. 남겨둔 얇은 방향에 대한 의존성이야말로 경계에 독립적인 벌크 명제를 세우려면 검토해야 할 내용입니다. 큰 λ에서 몇 개의 소수 자리가 비슷하다는 사실 대신 정확한1/λ 보정항을 비교할 수 있습니다.

완전 그래프에서는 선택한 배치의 공간 평균 스핀이 두 경로 모두 일정합니다. 이것은 평형 ensemble에서 선택한 자발 자화가 아닙니다.

$$m_{\rm cfg}=\frac{s_Aa_0+s_Bb_0}{a_0+b_0},\qquad \frac{H_{\rm raw}}N=-\frac{JN m_{\rm cfg}^2}2+\frac J2,\qquad \frac{H_{\rm Kac}}N=-\frac{Jm_{\rm cfg}^2}2+\frac J{2N}.$$

균형 잡힌 반대 블록에서는 m_cfg=0입니다. 이때 정규화 전 자리당 에너지는 모든 크기에서 정확히 J/2이지만, 정규화 전 노름/자리는 발산합니다. Kac 에너지/자리는0으로 가도 교차 크기/자리는 J/4로 남습니다. m_cfg가0이 아니고 J>0이면 정규화 전 에너지/자리는 음의 무한대로 갑니다. 이는 해석적으로 구한 경로 극한이며 유한 에너지의 부동소수점 overflow가 아닙니다. 한 상태의 취소와 전체 Hamiltonian의 성장률을 계속 구별해야 합니다.

산술 표현과 적용 범위를 읽기

계산기는 기준 길이·폭·성장 계수를1부터1,000,000까지의 정수로 받습니다. 결합 분자는0부터1,000,000, 분모는1부터1,000,000입니다. 1차원에서 폭이1이 아니거나 고정 두께 경로를 선택한 경우, 분수 길이, 영 분모는 거부합니다. 이는 계산의 입력 계약이지 물리적으로 가능한 계의 크기에 대한 제한이 아닙니다.

곱으로 얻은 기하 개수는 binary64가 정수를 정확히 표현하는 범위를 넘을 수 있어 정확한 십진 문자열로 보존합니다. 유한 에너지에는 같은 유리수 양 끝점을 제공합니다. 반올림 숫자와 근사 로그는 표시용이고, 해석적 무한대는 부호 있는 별도 태그입니다. 짧은 소수 표시가 같다고 정확히 같다고 추론하지 않습니다. 아래 큰 수 예제는 부동소수점 underflow 사례가 아닙니다. 정수 표현의 정밀도와, 유한 모형 범위 안에서 작게 표시되는 보정항의 문제를 보여줍니다.

크기 기록은 요청 계수까지의2의 거듭제곱과 정확한 마지막 요청값을 포함합니다. 마지막 행이 현재 기하입니다. 무작위 궤적이나 열적 완화, 측정한 애니메이션 주기는 없습니다. 시각화에서는 성장 경로·그래프·결합 정규화·선택 배치를 드러내고 그 의미들을 하나의 매끈한 곡선에 섞지 않아야 합니다. 숫자 표와 그림이 같은 준비를 가리키는지도 확인해야 합니다.

성장 경로와 절단을 실제 실험에서 비교하자

기본 열두 자리 예제의 두 블록을 서로 반대인 스핀으로 두세요. 접합을 건너는 최근접 결합은3개이고 N=12이므로 자리당 절단 크기는1/4입니다. 넓은 종이의 크기를 모두 늘리는 것과 두께를 고정한 채 옆으로 펼치는 것을 구별하면, 왜 큰 N만으로 경계가 작아졌다고 말할 수 없는지 보입니다.

조작	확인할 관측	설명할 질문
‘모든 방향 네 배’와 ‘두께 고정·가로 네 배’를 비교한다	N은 각각192와48, 최근접 교차 크기/자리는1/16과1/4이다	같은 공간 배율4가 같은 자리 수나 같은 경계 비율을 뜻하는가?
결합 그래프를 최근접·완전 정규화 전·전체 Kac로 바꾼다	같은 선택 배치의 에너지와 최악 에너지, 교차항	전체 크기의 제어와 두 부분 사이 상호작용의 소멸은 어떻게 다른가?
평행 스핀 예제에서 Kac 별도 정규화 장부를 읽는다	교차 에너지와 정규화 보정항, 전체−별도 합	작은 최종 차이가 원래의 교차항까지 작았다는 뜻인가?

‘공간 크기 한 단계’는 요청 배율을 두 배로 늘리고 마지막 단계에서는 허용 최대 배율에서 멈춥니다. ‘공간 확대 기록 선택’은 이미 계산한 기록 하나를 고르며 요청 최대 배율을 바꾸지 않습니다. 그림에 그려진 완전 그래프의 점선 수 대신 정확한 쌍 수 표를 읽고, 에너지에는 공통 단위 E0를 유지하세요. 크기 순회는 같은 준비의 공간 비교이며 열적 완화나 시간 궤적이 아닙니다.

해설이 있는 여섯 연습문제

1. 열두 자리 장부 복원하기

기본 반대 스핀 준비에서 내부·교차 최근접 결합을 센 뒤, 제한된 두 부분으로부터 Kac 에너지를 복원해보세요.

해설. 각 블록에는 접합 축 방향3개와 가로 방향4개의 결합이 있으므로 BA=BB=7입니다. 교차 결합은3개이고 국소 에너지는−7−7+3=−11E0입니다. 완전 그래프의 내부 쌍은15개씩, 교차 쌍은36개입니다. 전체 N=12로 정규화하면 제한된 내부는 각각−5/4, 교차항은3이 되어 Kac 전체 에너지1/2E0를 얻습니다. 세 항이 모두 같은 분모를 사용한다는 점이 중요합니다. 접합면을 새로운3자리로 세면 N과 정규화가 함께 틀어집니다.

2. 서로 다른 경로로 크기를 늘리기

λ=2에서 균일 확대와 고정 두께의 N 및 국소 절단 에너지/자리를 비교하세요. 두 경로 모두 유한 에너지 밀도 극한을 가진다는 사실이 경로의 동등성을 뜻할까요?

해설. 균일 확대는 a=b=4,w=6,N=48을 만들고 교차 크기/자리는6/48=1/8E0입니다. 고정 두께는 a=b=2,w=6,N=24이므로6/24=1/4입니다. 국소 에너지 밀도는 각각−35/24와−13/12입니다. λ를 무한히 늘리면−2와−5/4E0/자리로 갑니다. 둘 다 극한이 존재하지만 기하학적으로 다른 계열입니다. 존재만으로 표면이 무시 가능해지거나 두 극한값이 같아지지 않습니다. 어느 길이를 고정했다는 조건부터 답에 포함해야 합니다.

3. 평행 블록의 작은 차이를 설명하기

기본 기하에서 sB=+1로 바꾸면 전체 Kac 에너지에서 별도 정규화한 두 에너지를 뺀 값이−1/2E0입니다. 이것으로 원래 두 부분의 상호작용이 무시 가능하다고 결론 내릴 수 있을까요?

해설. 그렇지 않습니다. 원래 교차 에너지는−3E0이고 자리당 크기는1/4입니다. 제한된 내부 합은−5/2인 반면 별도 정규화 합은−5입니다. 그 보정항+5/2가−3의 대부분을 상쇄하여−1/2를 남깁니다. 합쳐진 에너지는−11/2입니다. 작은 최종 차이는 절단과 내부 결합 변경을 함께 기술한 값이며 원래 절단만의 값이 아닙니다. 균일 확대 뒤에도 이 상쇄는 유지되고 교차 크기/자리는 여전히1/4입니다.

4. 오해하기 쉬운 유한 배치 검사하기

균형 잡힌 반대 블록은 정규화 전 H/N=1/2E0입니다. 같은 기준 폭에서 a0=2,b0=3으로 바꾸고 λ=1과2의 Hraw/N을 구하세요. 이 배치 경로와 정규화 전 에너지 노름의 차이를 설명해보세요.

해설. 공간 평균 스핀은−1/5이고 N=15λ²입니다. 항등식에서 Hraw/N=1/2−N/50을 얻습니다. λ=1에서는1/5, λ=2에서는−7/10E0/자리입니다. 양의 유한 값이 보였다고 양의 극한이나 유한 극한을 뜻하지 않습니다. 이 불균형 경로는 음의 무한대로 갑니다. 반면 균형 경로는 정확한 상쇄로1/2에 머물지만 두 경우 모두 모든 배치에 대한 최악 절댓값은 N(N−1)/2E0입니다. 이차 노름 성장은 표시된 한 배치가 아니라 Hamiltonian의 성질입니다.

5. 자기 쌍 관례와 영 결합 유지하기

d=1,a=b=w=1이고 스핀이 반대일 때 정규화 전 에너지와 Kac 에너지를 구하세요. 이어2차원 고정 두께 예제에서 J=0이 무엇을 바꾸는지 설명하세요.

해설. 한 자리씩인 두 부분에는 내부 쌍이 없습니다. 교차 쌍 하나가 있어 정규화 전 에너지는 J, 전체 Kac 에너지는 J/2입니다. N−1을 분모로 쓰거나 자기 쌍을 넣으면 다른 유한 모형을 정의하게 됩니다. J=0에서는 모든 에너지·절단 비용·최악 에너지 노름이 정확히0입니다. 그렇지만 고정 두께 직육면체의 바깥 면 비율은 여전히 남습니다. 에너지에 대한 분류는 변해도 결합이 없다는 이유로 기하가 van Hove 경로가 되는 것은 아닙니다.

6. 거대한 개수와 작은 보정항 읽기

d=3,a0=b0=w0=10^6,λ=10^6, 반대 스핀과 J=10^−6E0를 선택합니다. N, 국소·Kac 교차 크기/자리, 균형 Kac 에너지 밀도를 구하세요.

해설. 실제 각 길이와 폭이10^12이므로 N=2×10^36입니다. 국소 교차 크기/자리는 J/(2×10^12)=5×10^−19E0입니다. Kac 교차 크기는 J/4=2.5×10^−7E0/자리입니다. 균형 전체 에너지 밀도는 J/(2N)=2.5×10^−43E0/자리입니다. 마지막 값은 작지만0이 아니고 binary64 지수 범위 안에 있습니다. N을 정확한 정수 문자열로 보관하고 에너지의 유리수 끝점을 읽어야 합니다. 짧은 소수 표시는 보정항을 가릴 수 있지만 정확한0으로 바꾸거나 거시적 교차 상호작용의 소멸을 증명하지는 않습니다.

시각적 비교에서 연구 질문으로 이어가기

시각 실험은 열두 자리 격자에서 시작해 에너지 장부를 보기 전에 교차 결합3개를 직접 세게 할 수 있습니다. 다음에는 블록 색과 스핀 방향을 유지한 채 국소 그래프와 완전 그래프를 바꿔봅니다. 완전 그래프에서는 그려진 몇 개의 선이 전체 상호작용이라고 오해하지 않도록 정확한 쌍 개수를 표시해야 합니다. 절단 크기/자리와 최악 에너지/자리는 따로 그리고, 두 성장 경로와 Kac 정규화 표시를 유지합니다. 같은 점을 다른 법칙의 근거로 섞지 않는 것이 그림을 예쁘게 움직이는 것보다 중요합니다.

AI의 정규화된 조밀 상호작용을 논의할 때도 전체 크기의 제어와 블록 사이 영향의 제거는 구별할 질문입니다. 하지만 이 에너지 계산이 attention·학습 알고리즘·샘플러·계산 속도에 관한 정리가 되는 것은 아닙니다. 연구 주장은 자기 문제의 변수, 가정과 극한 개념을 갖춰야 합니다. 비슷한 수식 모양이 나온다는 이유만으로 한 분야의 결론을 다른 분야로 옮기지 마세요.

현재 비교를 평형 통계역학으로 확장하려면 전체 허용 배치 공간, 기준 측도와 온도를 정하고 분배함수를 정의한 뒤 필요한 수렴과 경계 제어를 증명해야 합니다. 미분이나 반응이 필요하면 적절한 연산 교환 조건을 확인해야 합니다. 보기 좋은 극한 곡선을 조건 없이 미분하는 것으로 대신할 수 없습니다. 다음 두 가족은 요동의 집중과 유한 분배함수의 반올림을 살핍니다. 현재 교재에서는 같은 준비의 성장 경로와 정확한 장부를 조작하며 비교할 수 있습니다. 도서 → Interactive Book에서 다음 두 가족으로 이어가세요.