Euler–Lagrange·고정 경계와 자연 경계

내부 방정식에는 경계 가정이 붙는다

상수 하중 q≥0에 대해 J[y]=∫₀¹[(y′)²/2−qy]dt를 최소화하자. 도함수 항은 기울기의 크기를 벌하고 하중 항은 큰 y를 선호한다. 어떤 곡선과 변분을 허용할지는 끝점 조건으로 결정한다.

실습은 양 끝값 0인 경우와 왼쪽만 0으로 고정하고 오른쪽은 자유인 경우를 비교한다. 내부 적분식이 같아도 서로 다른 최적화 문제다.

Euler 방정식 유도

매끄러운 후보와 방향 h에 대해 부분적분하면

내부에만 지지를 갖는 임의 방향을 허용하면 정지 곡선은 −y″−q=0을 만족해야 한다. Sobolev 약해에서는 적분 항등식으로 시작하며, 점별 미분에는 정칙성이 더 필요하다. 여기의 다항 예제는 매끄러워 두 표현이 일치한다.

양 끝값이 고정되면 h(0)=h(1)=0이라 경계항이 자동으로 사라진다. 왼쪽만 고정하면 h(1)은 자유다. 따라서 자연 조건 y′(1)=0도 필요하다. 끝점이 자유라는 말을 끝점 변분이 0이라는 뜻으로 읽으면 반대로 이해한 것이다.

두 경계값 문제의 해

양 끝 고정에서는 y*=(q/2)t(1−t), J*=−q²/24다. 오른쪽 자유에서는 y*=q(t−t²/2), J*=−q²/6이다. 후자는 오른쪽 함수값이 0이 아니지만 기울기가 0이다.

q=2이면 각각 t(1−t), 2t−t²이고 최솟값은 −1/6, −2/3이다. 제약을 풀면 가능집합이 커지므로 자유 경계의 최솟값이 더 낮은 것은 자연스럽다.

정지성과 최소성

Euler 방정식은 일반적으로 정지성 조건이지 모든 문제의 전역 최소 정리가 아니다. 여기서는 볼록성이 더 강한 결론을 준다. 허용되는 h=y−y*에 대해 일차항이 사라져

왼쪽 끝이 고정되어 비영 상수 차이도 허용되지 않으므로 등호는 같은 곡선에서만 성립한다. 일반 문제에서는 경계·함수 공간에 따라 유일성과 존재성도 별도로 확인해야 한다.

직접 풀기와 풀이

후보는 다항 기저에 b sin πt를 더한 형태다. 자유 경계에서 q=a=2,b=0.2이면 오른쪽 기울기는 −0.2π≈−0.628319다. 내부 잔차도 π²·0.2 sin πt로 비영이다. 목적 초과는 0.01π²≈0.098696이다.

b=0으로 두어 두 잔차가 사라지는지 보자. 경계 모드를 바꾸고 a도 q/2로 바꿔야 다른 문제의 해를 얻는다. 같은 내부 미분방정식만 사용하고 경계를 바꾸지 않으면 왜 잘못된 문제를 푸는지 설명하자. 변분 PDE·물리 기반 학습에서도 동일하게 필요한 구별이다.

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