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함수 전체를 입력으로 받는 목적
보통 목적함수는 벡터를 수로 보낸다. 범함수는 곡선·장·확률밀도 같은 함수 자체를 입력으로 받을 수 있다. 변화를 보려면 전체 함수를 yε=y+εh로 움직인다. 방향 h도 함수이고, ε는 그 크기를 정하는 스칼라다.
실습은 무차원 t∈[0,1], 양 끝값 0인 다음 에너지를 사용한다.
Sine 기저는 끝점 조건을 정확히 보존한다. 파란 선은 원래 함수, 주황 선은 섭동한 함수다. 시간에 따른 최적화 궤적과는 다르다.
일차와 이차 변분
적분하기 전에 제곱을 전개하면
일차 변분은 h에 선형이다. 방향별 Gâteaux 미분과 달리 Fréchet 미분은 정한 노름에서 모든 작은 섭동에 대한 근사 오차를 균일하게 제어한다. 이 이차 에너지는 영 경계 Sobolev 공간 H₀¹에서 유계 쌍선형 형식으로 그 성질을 확인할 수 있다. 일반 범함수에도 같은 말을 하려면 함수 공간과 노름부터 정해야 한다.
두 mode의 정확한 계산
y=a sin πt+b sin 2πt, h=c sin πt+d sin 2πt로 두자. Sine과 도함수 cosine의 직교성으로 A=π²+α, B=4π²+α를 쓰면
Sine 제곱 적분이 1/2라는 질량 계수가 중요하다. 정규화 없이 두 계수를 정규직교 좌표처럼 생각하면 계수 미분의 배율을 틀리게 된다.
유한 변화와 미분의 구별
여기서는 J[y+εh]−J[y]=εδJ+ε²δ²J/2가 정확하다. ε≠0인 차분 몫에는 δJ뿐 아니라 εδ²J/2도 남는다. 코드는 거의 같은 에너지를 빼는 대신 전개식으로 계산한다. 섭동 후 에너지는 바뀐 계수에서 직접 계산하여 곡선 전체가 상쇄될 때 정확히 0으로 남긴다. ε=0에서 몫 자체는 미정의지만 극한인 일차 변분은 존재한다.
한 방향의 일차 변분이 0이어도 범함수가 상수라는 뜻은 아니다. 직교 방향에서 이차 에너지 비용이 남을 수 있다. 정지성은 모든 허용 방향에서 일차 변분이 0이라는 조건이다.
직접 풀기와 풀이
a=c=1,b=d=α=0,ε=0.1이면 일차·이차 변분 모두 π²/2다. 유한 변화는 0.0525π²≈0.518154다. c=0,d=1로 바꾸면 일차항은 0이지만 변화는 0.01π²≈0.098696이다. 직교성으로 이유를 설명하고, ε=0에서 변화 0과 도함수 값을 구별하자. 이 방식은 경로·PDE 해·확률분포를 학습 변수로 다룰 때의 출발점이다.
더 읽기: MIT의 변분법 강의.
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