정칙 섭동과 잔차 기반 오차 보증

1. 풀 수 있는 문제에서 출발해 무엇이 달라졌는지 묻기

늘릴수록 더 단단해지는 용수철을 생각해 보자. 이상적인 선형 용수철의 변위는 가한 힘에 비례한다. 약한 비선형 항을 추가하면 그 답이 바뀐다. 섭동이론은 먼저 풀 수 있는 용수철 문제를 기준으로 삼고, 달라진 답을 보정항으로 차례로 계산하는 방법이다.

여기서 중요한 질문은 다음 항을 계산할 수 있느냐만이 아니다. 무엇에 비해 작은 매개변수인지, 어떤 해의 가지를 따라가는지, 근사가 실제 답에서 얼마나 벗어날 수 있는지도 알아야 한다. 이 단원은 하나의 모형에서 이 질문들을 함께 확인한다.

변수 x는 실수 변위 또는 단일 모형 변수다. k는 강성, λ는 비선형 결합 계수, h는 외부 힘에 해당하는 원천이다. 실험은 k가 양수이고 λ가 음이 아닌 경우로 제한한다. 하나의 볼록 평형 문제이며, 시간에 따라 진화하는 장이나 상전이를 구현한 모형은 아니다.

2. 에너지에서 구체적인 방정식 얻기

다음 에너지와 그 도함수를 정의하자.

$$V(x)=\frac{k}{2}x^2+\frac{\lambda}{4}x^4-hx, \qquad F(x)=V'(x)=kx+\lambda x^3-h.$$

평형 조건은 F(x)=0이다. λ=0이면 해는 x=h/k다. λ가 양수이면 사차 항이 큰 변위를 더 강하게 벌주므로 평형 변위는 h와 같은 부호이며, 크기는 |h/k|를 넘지 않는다.

이를 이차 비용, 사차 정규화 항, 선형 보상으로 이루어진 간단한 최적화 문제로 읽어도 된다. h는 외부에서 지정한 계수이며 무작위로 표집한 관측값이 아니다. 에너지의 정지점을 확률분포나 열적 평균과 동일시하지 않는다.

3. 실수 평형이 정확히 하나인 이유

F의 도함수에는 전체 실수 구간에서 성립하는 양의 하한이 있다.

$$F'(x)=V''(x)=k+3\lambda x^2\ge k>0.$$

따라서 F는 엄격히 증가하고 음의 무한대에서 양의 무한대로 이어지므로 실근 x*가 하나뿐이다. 같은 부등식은 V가 k-강볼록 함수임을 뜻한다. 따라서 이 평형은 유일한 전역 최소점이다.

h>0이면 근은 0과 h/k 사이에, h<0이면 h/k와 0 사이에 있다. h=0이면 근은 정확히 0이다. 이 구간은 그래프를 보고 추측한 범위가 아니라 증명한 근 포함 구간이다. 계산기는 정확한 유리수로 구간을 이분하고, F의 부호를 이용해 근을 포함하는 절반을 남긴다.

최종 구간의 중점은 하나의 수치 근사다. 보증을 제공하는 것은 양 끝점과 그 잔차의 부호다. 구현은 최대48회 이분하며 중점이 정확한 근이면 일찍 끝난다. 계산된 중점을 정확한 근이라고 표시하지 않는다.

4. 무엇에 비해 작다는 뜻인가?

λ의 숫자가 작다는 사실만으로 약한 결합을 정의할 수는 없다. h가 크거나 k가 작으면 작은 사차 계수도 큰 영향을 준다. h가0이 아닐 때 선형 변위 척도 s=h/k를 도입하고 x=s y로 쓰면 다음 식이 된다.

$$y+g y^3=1,\qquad g=\frac{\lambda h^2}{k^3}.$$

무차원 결합 g는 보정 전 변위에서 비선형 힘과 선형 힘을 비교한 비율이다. g가 같은 두 실험은 물리적 크기가 달라도 정규화한 평형 y가 같다. h=0이면 s로 나누지 않고 정확한 영 해를 사용한다.

k=1, λ=1/100, h=4이면 g=0.16이다. k=1/10, λ=1/1000, h=1이면 g=1이다. 둘 다 λ는 작아 보이지만, 뒤에서 구할 멱급수의 수렴 원판 내부에는 있지 않다. 작은 매개변수를 선언하기 전에 먼저 기준 척도를 정해야 하는 이유다.

5. 전체 문제를 다시 풀기보다 계수 맞추기

k와 h를 고정하고 λ의 멱급수를 가정한다. 평형식에 대입한 뒤 같은 차수의 항을 모으면 다음 점화식을 얻는다.

$$x(\lambda)=\sum_{n\ge0}a_n\lambda^n,\qquad a_0=\frac{h}{k},\qquad a_n=-\frac1k\sum_{i+j+\ell=n-1}a_i a_j a_\ell\quad(n\ge1).$$

첫 식은 선형 용수철의 답을 재현한다. 일차 보정에서는 영차 해를 세제곱한 항이 들어간다. 이차 보정에서는 세 인자 중 어느 인자를 먼저 보정하는지에 따라 기여가 세 번 나타난다. 새로운 계수는 이미 구한 계수만으로 결정된다.

k=h=1일 때 처음 몇 항은 다음과 같다.

$$x(\lambda)=1-\lambda+3\lambda^2-12\lambda^3+55\lambda^4+\cdots.$$

양의 비선형 강성을 처음 추가하면 변위가 줄어들므로 첫 보정은 음수다. 이 예에서는 부호가 번갈아 나타난다. 그러나 교대 부호라는 사실만으로 모든 λ에서 좋은 근사가 된다고 결론낼 수는 없다.

6. 이차 근사를 손으로 확인하기

k=h=1, λ=1/10으로 두자. λ² 항까지 남기면 P₂=1−0.1+0.03=0.93이다. 원래 방정식에 대입하면 다음 값이 나온다.

$$F(P_2)=0.93+0.1(0.93)^3-1=0.0104357.$$

이 값은 방정식 잔차다. 해의 오차 P₂−x*와는 다르다. F가 증가하므로 양의 잔차는 P₂가 근보다 오른쪽에 있음을 뜻한다. 힘 그래프에서는 실제 영점이 근사점의 왼쪽에 보여야 한다.

영차 근사는1, 일차는0.9, 이차는0.93, 삼차는0.918, 사차는0.9235다. 값들이 가까워지는 모습은 유용한 관찰이다. 그러나 연속한 근사값들이 비슷하다는 사실만으로 정확도를 증명한 것은 아니다. 원래 방정식을 이용해 별도의 보증을 구해 보자.

7. 잔차를 보장된 변위 오차로 바꾸기

임의의 실수 근사 p와 근 사이에 평균값 정리를 적용한다. F(x*)=0이고 F'≥k이므로 다음 부등식이 성립한다.

$$|p-x_*|\le\frac{|F(p)|}{k}.$$

선언한 모형에서는 모든 실수 p에 대해 성립한다. 수렴 원판 밖에서 계산한 나쁜 섭동 근사라도 이 부등식 자체는 유효하다. 이차 예제에서는 |0.93−x*|≤0.0104357을 보장한다.

기하학적으로 F는 기울기 k인 직선보다 느리게 증가할 수 없다. 따라서 수직 방향 잔차로 수평 방향 근까지의 거리를 제한할 수 있다. k가 작으면 같은 잔차가 더 큰 변위 오차를 허용한다. 잔차0.001의 오차 상계는 k=1에서0.001, k=0.1에서0.01이다.

이 논증은 도함수의 양의 하한을 알고 있다는 조건을 사용한다. 일반적인 신경망 손실이나 비선형 장 방정식에서는 작은 기울기가 평평한 방향 또는 다른 정지점과 공존할 수 있다. 먼저 적절한 안정성 부등식을 증명해야 이 결론을 옮길 수 있다.

8. 에너지의 정확도는 별도 질문이다

강볼록성을 사용하면 에너지 차이도 제한할 수 있다.

$$0\le V(p)-V(x_*)\le\frac{F(p)^2}{2k}.$$

p를 기준으로 한 강볼록성 하한을 V(x*)에 적용하자. 이 식을 정리하면 에너지 차이는 p−x*에 대해 최고차 계수가 음수인 이차식으로 제한되며, 그 최대값이 F(p)²/(2k)다.

변위 오차 상계와 에너지 차이 상계는 단위도 의미도 다르다. 일반적인 고차원 문제에서 에너지 차이가 작다고 모든 좌표가 정확한 것은 아니다. 여기의 에너지 보증은 명시적으로 가정한 곡률 하한에서 나온다. 학습 실험에서도 두 값을 서로 다른 항목으로 표시한다.

9. 차수별 대수 검산

N차 절단 다항식 P_N(λ)에 대해, 수치 λ를 선택하기 전에 기호 잔차를 정의하자.

$$\mathcal R_N(\lambda)=kP_N(\lambda)+\lambda P_N(\lambda)^3-h.$$

계수를 올바르게 맞췄다면 λ⁰부터 λᴺ까지의 계수는 정확히0이다. 남은 다항식의 차수는 최대3N+1이다. 선택한 λ에서 이 다항식을 평가한 값은 원래 식에 직접 대입한 잔차와 같아야 한다.

이로써 두 종류의 검사를 얻는다. 점화식의 부호나 인덱스가 틀리면 낮은 차수의 잔차가 남기 쉽다. 수치 평가가 잘못되면 독립적으로 전개한 잔차 다항식의 값과 달라질 수 있다. 정확한 분수를 사용하면 반올림으로 생긴 작은 숫자와 대수적으로 정확한 소거를 구별할 수 있다.

10. 수렴 반경은 해의 해석적 가지에서 나온다

독립적인 계수 공식은 다음과 같다.

$$a_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\binom{3n}{n}\frac{h^{2n+1}}{k^{3n+1}}.$$

y+g y³=1을 Lagrange 역전개하면 얻는다. 양의 조합 계수에서 연속한 두 계수의 비는27/4로 수렴한다. 따라서 h가0이 아닐 때 정규화한 Taylor 급수의 수렴 반경은4/27이다.

역함수 관계 g=(1−y)/y³에서도 같은 장애물을 볼 수 있다. 그 도함수는 y=3/2에서0이며, 대응하는 결합은 g=−4/27이다. y(0)=1에서 출발하는 가지가 음의 실수 결합축에서 해석적 장애물을 만난다. 실험이 음이 아닌 결합만 사용하더라도 그 장애물은0을 중심으로 한 급수의 수렴 반경을 제한한다.

|g|<4/27에서는 급수가 선택한 해의 가지로 수렴한다. g>4/27에서는 차수를 무한히 늘릴 때 발산한다. 매끄럽고 유일한 실수 해가 존재해도0에서 출발한 Taylor 급수는 실패할 수 있다. 경계값은 별도로 표시하며, 이 분류 자체를 유한 차수 오차 보증으로 사용하지 않는다.

11. 서로 다른 두 극한 구별하기

N을 고정하고 k와 h도 고정한 채 λ를0으로 보내면 나머지는 O(λᴺ⁺¹)이다. 이는 점근적 진술이다. 충분히 작은 결합에서 남겨 둔 항들이 순서대로 보정의 크기를 설명한다.

반대로 λ를 고정하고 N을 늘리는 것은 부분합이 정확한 답으로 수렴하는지 묻는 문제다. 여기서는 무차원 변수 g의 수렴 반경이 이를 결정한다. 차수 기호나 처음 몇 항의 좋은 모습만으로 현재 입력에서의 수렴을 증명할 수는 없다.

실험은 정확한 항, 부분합, 방정식 잔차, 근까지 거리의 구간, 증명된 잔차 상계를 나눠 보여주도록 설계한다. 거리 구간은 따로 포함시킨 근 구간에서 얻으며, 실제 오차를 정확한 기호식으로 계산했다는 뜻은 아니다.

12. 선형 응답과 조건 민감도

평형식을 원천 h에 대해 미분하자.

$$\frac{dx_*}{dh}=\frac{1}{k+3\lambda x_*^2},\qquad 0<\frac{dx_*}{dh}\le\frac1k.$$

이 감수율은 h가 변할 때 실제 평형이 얼마나 움직이는지를 나타낸다. 비선형 강성은 선형 모형에 비해 응답을 줄인다. 유리수 근 구간에서 |x*|의 상하한을 구하면 감수율의 상하한도 구할 수 있다.

k→0 극한은 새로운 분석이 필요하다. k=0이고 λ>0이면 답은 h/λ의 세제곱근 척도로 변한다. 기존의 k로 나누는 식은 사용할 수 없다. 따라서 입력에서 k=0을 거부한다. 가정의 경계에 도달하면 실패한 식을 계속 사용하는 대신 우세한 항과 기준 척도를 다시 선택해야 한다.

13. 차이를 직접 드러내는 실험

먼저 기본 입력에서 절단 차수를 올려 보자. 근사점과 근 구간의 거리, 잔차로 보장한 상계를 비교한다. 다음으로 k=h=1을 유지하고 λ=1로 둔다. 근은 여전히 하나지만 높은 차수의 부분합은 결국 수렴하지 않고 커진다.

기본 입력을 k=2, λ=1/5, h=2인 입력과 비교하자. 평형식 전체를 두 배 한 것이므로 부분합의 변위와 g는 모두 같다. 잔차는 두 배지만 k로 나누면 변위 오차 보증은 그대로다. 모형이 보존해야 하는 유용한 불변성 검사다.

마지막으로 h의 부호를 뒤집자. 평형과 모든 부분합의 부호는 바뀌지만 g와 오차 상계의 크기는 같다. h=0에서는 정확한 영 해를, λ=0에서는 선형 모형을 확인한다. 특별한 경우를 무리하게 일반식의 나눗셈에 넣지 않는지도 검사한다.

14. 시각화에서 확인할 것

힘 그래프는 F(x), 유일한 근의 포함 구간, 선택한 부분합, 수직 잔차를 보여야 한다. 차수 그래프는 부호 있는 항과 오차를 명시한 척도로 보여야 한다. 높은 차수의 항이 커졌다고 그래프 범위를 조용히 잘라서는 안 된다.

에너지 곡선에는 실제 사차 에너지를 사용하고 설명용 개념도와 구별한다. 카메라 이동이나 표시 옵션 변경이 계산 결과를 바꾸어서는 안 된다. 긴 유리수 표는 값 전체를 유지하면서 패널 내부에서 스크롤하도록 한다.

수학적 판정은 정확한 표에서 읽고, 그림은 그 기하학적 의미를 이해하는 데 사용하자. 화면에서 표시가 크거나 작다는 사실이 보고한 구간이나 오차 보증을 대신하지는 않는다.

15. AI 연구와 연결하기

학습한 평형 해법이 p를 출력한다고 하자. 방정식 잔차뿐 아니라 안정성을 보장하는 가정과 그로부터 얻은 오차 상계를 함께 보고하자. 손실만 비교하면 k에 따른 민감도를 놓칠 수 있다. k를 바꾸면 점점 부드러워지는 방향을 해법이 잘 처리하는지 검사할 수 있다.

섭동 근사는 학습 모형이 국소 전개 이상으로 무엇을 배웠는지 살펴볼 기준선이 된다. 같은 절단 차수와 독립적인 근 구간을 기준으로 비교하고, Taylor 수렴 원판 밖의 결합도 포함하자. 보간 정확도와 수학적 보증은 구별한다. 연구 기록에는 λ, k, h, 차수와 평가 정밀도를 남긴다.

이 단일 변수 예제가 신경망 최적화나 비선형 편미분방정식의 전역 보증을 제공하는 것은 아니다. 옮겨 갈 수 있는 것은 근사 결과를 명시한 방정식, 가정, 안정성 추정, 독립 기준값과 연결하는 습관이다.

16. 해설 문제

1. λ=0.001이면 항상 약한 결합인가? k=0.1, h=1이면 g=1이다. 보정 전 변위에서 비선형 힘과 선형 힘의 비율이 같은 차수이므로 λ의 숫자만으로 판단할 수 없다.
2. 일반적인 k와 h에서 첫 보정은 무엇인가? a₀=h/k를 세제곱 항에 넣으면 a₁=−h³/k⁴이다. 실제 보정항은 a₁λ다. 계수와 해당 입력에서 평가한 항을 구별해야 한다.
3. 잔차가 양수이면 p는 근의 어느 쪽인가? F가 엄격히 증가하므로 근보다 크다. 급수의 교대 부호가 아니라 방정식의 단조성을 사용하는 결론이다.
4. k=1/4이고 잔차가0.002이면 무엇을 보장하는가? 변위 오차는 최대0.008, 에너지 차이는 최대0.000008이다. 어느 값도 실제 오차 그 자체를 뜻하지 않는다.
5. 급수가 발산해도 물리적 답은 잘 정의될 수 있는가? k=h=λ=1이면 방정식은 엄격히 단조지만 g=1이 수렴 반경4/27을 넘는다. 유일성과 Taylor 수렴은 다른 성질이다.
6. k, λ, h를 함께 두 배 하면 무엇이 바뀌는가? 방정식과 잔차는 두 배다. 근, 모든 부분합의 변위, g, |F(p)|/k는 그대로다.
7. k=0을 허용하고 같은 보증을 쓰면 안 되는 이유는? 증명에 양의 기울기 하한이 필요하고 k로 나눈다. 제외한 극한에서는 우세한 항의 균형을 다시 잡아야 한다.

17. 참고 자료와 다음 단계

NIST DLMF §2.1은 점근 기호를, §2.2는 역전개를, §2.11은 나머지 통제의 중요성을 설명한다. 이 단원의 점화식, 사차 모형의 오차 보증, 구체적인 수렴 반경은 선언한 모형에서 직접 유도했다.

다음에는 양의 결합에서 매번 발산하는 섭동급수를 가진 유한 적분을 다룬다. 이어 경계층과 장시간 세속항으로 확장한다. 정칙 예제 하나를 마쳤다는 사실만으로 섭동이론 원주제 전체를 완료 처리하지 않는다.