다중격자 Smoothing·Coarse Correction

미세 격자에서 느린 오차가 남는 이유

반복 선형 해법에서 오차의 크기만이 아니라 공간 모양이 수렴 속도를 좌우합니다. 이웃을 평균내는 relaxation은 급격히 교대하는 성분을 빠르게 줄이지만 천천히 변하는 성분에는 거의 손대지 못할 수 있습니다. 다중격자는 미세 격자에서 매끄러운 오차를 더 거친 격자에서 저렴하게 표현해 보정합니다.

현재 정확해는 0이며 초기 오차 e(x)=sin(mπx)를 둡니다. 따라서 별도의 정확한 PDE solver를 참값으로 삼지 않아도 오차 자체를 알 수 있습니다. 파랑은 실제 cycle 뒤의 오차이고 주황은 초기 오차입니다. 표에는 h가중 L2 오차와 잔차를 따로 기록합니다.

Smoothing과 잔차 방정식

Dirichlet Poisson의 A는 대각 2/h², 이웃 -1/h²입니다. Weighted Jacobi는 다음과 같습니다.

저주파 sine의 고유값은 작아 한 번의 갱신이 조금만 바뀝니다. 고주파에서는 더 큰 보정이 생기며 weight를 적절히 골라야 합니다. 가장 큰 weight가 항상 가장 좋은 smoothing을 의미하지 않습니다. 여기서는 전후 smoothing 횟수를 똑같이 설정합니다.

실제 Coarse Operator 조립

P는 coarse 절점 사이를 선형 보간하고 R=Pᵀ/2는 full weighting입니다. Coarse 행렬을 임의의 다른 stencil로 대체하지 않고 현재 A와 transfer로 계산합니다.

Coarse 식은 pivoting을 사용하는 작은 직접 해법으로 풉니다. 이어 post-smoothing을 적용하며 cycle 수만큼 실제 반복합니다. Restriction과 prolongation의 차원, 경계 0의 처리, 잔차 부호가 모두 중요합니다. 잘못된 부호는 오차를 제거하는 대신 더합니다.

손계산과 직접 풀기

m=1인 매끄러운 sine와 m=7인 진동 sine를 같은 fine 격자에서 비교해 보세요. Jacobi의 mode multiplier는 1-ω(1-cos(mπh))입니다. 작은 mπh에서는 거의 1이라 변화가 느리고, 선택된 큰 주파수에서는 절댓값이 작아질 수 있습니다. Coarse correction은 smoothing이 남긴 매끄러운 부분을 주로 줄입니다.

직접 풀기: fine 오차가 정확히 Pz 형태이고 smoothing이 없으면 한 coarse correction 뒤 어떻게 되나요? 풀이: r=-APz, e_H=(RAP)^{-1}R(-APz)=-z이므로 e+Pe_H=0입니다. 반대로 coarse 공간에 없는 모든 성분까지 한 번에 사라진다는 결론은 낼 수 없습니다.

다중스케일과 AI 연결

Mesh 기반 network의 pooling·upsampling이 multigrid와 시각적으로 비슷하더라도 같은 잔차 방정식을 푼다는 뜻은 아닙니다. 어떤 operator와 norm을 보정하는지 확인해야 합니다. 물리 homogenization은 또 다른 문제로, 작은 구조의 유효 계수를 얻으려면 scale separation, cell problem 등의 가정이 필요합니다. 여기서는 실제 두 수준 선형 보정까지만 계산하며 물리적 coarse-graining 전체를 구현했다고 주장하지 않습니다.

검증에서는 Galerkin 항등식, coarse 공간 제거, 여러 격자의 오차 감소와 실제 작업량을 함께 봅니다. 한 격자의 작은 잔차만으로 격자 독립 수렴이나 O(N) 복잡도를 증명하지 않습니다.

참고: MIT 수치 PDE 강의.