장의 에너지·원천 일과 국소 수지

장의 화살표 다음에는 에너지를 따라가자

자기장이 변하면 어떤 영역 안에 저장된 에너지가 늘어날 수 있다. 경계를 넘어 들어온 전하가 없어도 가능한 일이다. 그렇다면 에너지는 어디에서 왔을까? 고정된 영역을 그리고 내부 저장량, 경계를 지나는 흐름, 내부 물질에 전달되는 일을 각각 세어 보자. 물탱크의 유입·저장·배수에 비유하면 수지를 이해하기 쉽다. 다만 전자기 에너지 흐름은 벡터장이며 물질 입자가 흘러가는 모습과 같지는 않다.

앞 단원의 유계 영역 유도장을 다시 사용한다. 내적·외적, 발산과 발산 정리, 시간 미분을 먼저 복습하자. 이번 목표는 W/m³ 단위의 국소식과 W 단위의 적분식을 연결하는 것이다. 잔차를0으로 만드는 계산보다 각 항의 부호를 읽는 능력이 먼저다.

에너지 정의보다 가정을 먼저 적자

일정한 양의 스칼라 유전율 ε와 투자율 μ, 정지한 매질을 가정한다. 이 교육 모형의 장 에너지 밀도와 Poynting 벡터는 다음과 같다. 진공 계수를 대입하면 익숙한 진공 식을 얻는다.

$$u_E=\frac{\epsilon|\mathbf E|^2}{2},\qquad u_B=\frac{|\mathbf B|^2}{2\mu},\qquad u=u_E+u_B,\qquad \mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu}.$$

u의 단위는 J/m³, S의 단위는 W/m²다. 이 식만으로 분산·이력·비선형성·움직이는 물질의 에너지를 모두 설명할 수는 없다. 그런 계에는 구성방정식과 기계적 에너지 항이 더 필요하다. J·E도 항상 열이라고 부르지 않는다. 장에서 물질로 전달되는 일률 밀도이며, 전달된 에너지가 어떤 형태가 되는지는 물질 모형이 결정한다.

국소 수지를 유도하자

Ampere–Maxwell 식에 E를 내적하고 Faraday 식에 B/μ를 내적한다. 다음 벡터 항등식으로 회전 항을 발산으로 바꾼다. 계수가 일정하므로 εE·∂tE와 B·∂tB/μ를 두 에너지 밀도의 시간 미분으로 해석할 수 있다.

$$\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B),\qquad \partial_tu+\nabla\cdot\mathbf S+\mathbf J\cdot\mathbf E=0.$$

J·E>0이면 장이 물질에 에너지를 준다. J·E<0이면 물질이나 지정한 원천이 장에 에너지를 공급한다. 발산이 양수이면 국소적으로 바깥으로 나가는 흐름이 더 크다. 따라서 장의 저장량이 늘려면 안쪽 유입이나 음의 원천 일, 또는 둘 모두가 필요하다. 각 항이 따로0이어야 하는 것은 아니다.

고정 영역에 적분하자

법선 n은 바깥쪽으로 정한다. 고정 부피를 적분하면 경계 이동에 따른 수송 항이 생기지 않는다. 발산 정리를 적용하면 다음 적분식을 얻는다.

$$U=\int_Vu\,dV,\qquad P_{\rm out}=\oint_{\partial V}\mathbf S\cdot\mathbf n\,dA,\qquad W_{\rm matter}=\int_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV,\qquad \frac{dU}{dt}+P_{\rm out}+W_{\rm matter}=0.$$

U는 J 단위이고 dU/dt, Pout, Wmatter는 모두 W 단위다. 여기서 Wmatter라는 기호는 누적된 일 J가 아니라 순간 일률을 뜻한다. Pout<0은 유입이다. 측정 영역 자체가 움직이면 별도의 수송 항이 필요하므로 이번 고정 원통 예제와 구분한다.

앞서 지정한 유도장을 다시 사용하자

지원하는 유계 영역에서 Bz=b(t)와 회전하는 E를 지정한다. Ampere–Maxwell을 만족시키는 전도 전류는 변위 전류와 반대다. 자기장은 공간적으로 균일하므로 회전이0이다.

$$b=b_0+b_1t+\tfrac12b_2t^2,\quad \mathbf B=(0,0,b),\quad \mathbf E=(b'y/2,-b'x/2,0),\quad \mathbf J=(-\epsilon b_2y/2,\epsilon b_2x/2,0).$$

이 장에는 지정한 원천과 경계 조건이 필요하다. 유한 고립 솔레노이드나 완전한 회로, 도선의 기계적 응답을 푼 해가 아니다. 수치 편미분방정식 풀이 뒤에 과정을 숨기지 않고 각 에너지 항을 직접 유도할 수 있다는 점에서 유용하다.

한 점의 저장과 흐름을 계산하자

r²=x²+y²로 적자. E를 제곱하면 b′²r²/4가 나온다. E×B를 계산하면 bb′>0일 때 반지름 안쪽으로 향하는 흐름을 얻는다. b′를 유지하면서 b의 부호를 바꾸면 흐름이 뒤집힐 수 있다.

$$u_E=\frac{\epsilon b'^2r^2}{8},\quad u_B=\frac{b^2}{2\mu},\quad \mathbf S=-\frac{bb'}{2\mu}(x,y,0),\quad \mathbf J\cdot\mathbf E=-\frac{\epsilon b'b_2r^2}{4}.$$

b′>0이면 전기장 화살표는 시계 방향으로 돌지만, b도 양수이면 Poynting 화살표는 반지름 안쪽을 향한다. 두 그림은 다른 물리량을 나타낸다. 외적은 방향뿐 아니라 단위도 바꾸므로 E 화살표를 눈으로 돌리는 것만으로 정량적 에너지 흐름을 얻을 수는 없다.

두 상쇄를 따로 읽자

자기 저장 변화율은 S의 발산과 상쇄한다. 전기 저장 변화율은 원천 일과 상쇄한다. 이 두 쌍을 따로 표시하면 큰 항이 작은 누락을 가리는 일을 막을 수 있다.

$$\partial_tu_B=\frac{bb'}{\mu},\quad \nabla\cdot\mathbf S=-\frac{bb'}{\mu},\qquad \partial_tu_E=\frac{\epsilon b'b_2r^2}{4},\quad \mathbf J\cdot\mathbf E=-\partial_tu_E.$$

b₂=0이면 전기 에너지 저장은 일정하고 J·E=0이다. 그래도 자기 에너지의 증가는 경계 유입으로 공급될 수 있다. 국소 원천 일이0이라는 사실이 전자기 에너지 전달까지0이라는 뜻은 아니다.

고정 원통을 계산하자

z축 방향의 반지름 R, 높이 h인 원통을 정한다. Sz=0이므로 위·아래 면의 선속은0이다. 반지름에 따라 달라지는 에너지 밀도는 부피 요소 2πrh dr로 적분한다. 옆면 넓이는2πRh이고 법선은 바깥 반지름 방향이다.

$$U_E=\frac{\epsilon\pi hR^4b'^2}{16},\quad U_B=\frac{\pi R^2hb^2}{2\mu},\quad P_{\rm out}=-\frac{\pi R^2hbb'}{\mu},\quad W_{\rm matter}=-\frac{\epsilon\pi hR^4b'b_2}{8}.$$

UE와 UB를 미분해 두 일률과 비교하자. 전기 저장은 R⁴에, 자기 저장은 R²에 비례한다. 따라서 반지름을 두 배로 바꿀 때 모든 값이 같은 부피 비율로 증가하지 않는다.

정규화 계수의 계산 예제

계산을 읽기 쉽게 ε=1 F/m, μ=1 H/m, b₀=1 T, b₁=0.5 T/s, b₂=0.2 T/s², t=1 s로 정하자. 진공 상수가 아니라 교육용 계수다. b=1.6 T, b′=0.7 T/s다. r=1 m에서 uE=0.06125 J/m³, uB=1.28 J/m³, 전기 저장 변화율0.035 W/m³, 자기 저장 변화율1.12 W/m³, 발산−1.12 W/m³, J·E=−0.035 W/m³를 얻는다.

R=h=1 m인 원통에서는 UE=0.0962113 J, UB=4.021239 J다. 변화율은 각각0.0549779 W와3.518584 W다. Pout=−3.518584 W, Wmatter=−0.0549779 W이므로 각 쌍의 수지가 닫힌다. 한 점의 밀도와 원통 전체의 적분량을 구분하자.

필요한 전류를 의도적으로 제거하자

E와 B를 유지하고 전도 전류만0으로 만들자. Faraday는 계속 맞지만 b₂≠0이면 일반적으로 Ampere–Maxwell이 어긋난다. 에너지 잔차는 전기 저장 변화율이 된다. r=0에서는 우연히0이므로 한 점의 성공으로 전체 장을 검증할 수 없다.

$$R_{\rm energy}^{J=0}=\partial_tu_E=\frac{\epsilon b'b_2r^2}{4}.$$

물리 SI 계수와 마이크로테슬라 크기의 b에서는 자기 변화율이 약7.125×10⁻⁷ W/m³인 동안 빠진 전기 항은 약3.683×10⁻²⁶ W/m³일 수 있다. 일반적인 부동소수점 합산은 작은 항을 잃어 총 잔차를0으로 표시한다. 구현에서는 성분별 쌍과 안정적인 묶음 합산을 보통 합산과 함께 비교한다. 해석적 항등식을 재배열했다고 독립 검증을 마친 것은 아니며 별도 기준값이 필요하다.

에너지 잔차만으로 부족한 이유

정적인 E=(0,x,0), B=J=0을 생각하자. 에너지 시간 변화, Poynting 벡터, 원천 일이 모두0이라 에너지 잔차는0이다. 그러나 curl E의 z성분은1이라 Faraday를 위반한다. 에너지 수지는 호환되는 전체 식에서 따라오는 결과이며 모든 식을 대체하지 않는다.

AI 장 예측 모형에서는 벡터 Maxwell 잔차, 원천의 일관성, 경계 조건, 에너지 성분, 독립 적분 관측을 함께 점검하자. 큰 자기 항 하나로만 정규화하면 중요한 전기 결함이 학습 목적에서도 사라질 수 있다.

수치 결과와 독립 검증의 의미

Python 기준 생성기는 벡터 내적으로 에너지를, 실제 외적으로 S를 계산한다. 선택한81조건에서 공간·시간5점 차분, 반지름 부피 구적, 방향을 반영한 옆면 구적을 비교한다. 별도180자리 계산은 작은 SI 결함을 검사한다. 관측된 차이는 엄밀한 오차 상한이 아니다.

TypeScript 모형은 비영 중간값이 표현 범위를 벗어나면 물리적0으로 채우지 않고 사용 불가로 표시한다. 빈 원통의 정확한0과, 실제로는 작지만 부피를 표현할 수 없는 원통을 구분한다. 좌표와 계수의 지원 범위도 입력을 몰래 잘라내는 방식이 아니라 명시적인 제한이다.

저장과 흐름의 그림을 읽자

에너지 수지 그림에서 원통을 하나의 상자로 그리자. 경계 흐름 화살표는 표면에, 원천 일 화살표는 내부에 붙인다. 저장 변화는 상자 안에 표시하고 Pout과 Wmatter는 바깥 전달을 양수로 정한 통로로 읽는다. 정규화 예제의 일률을 넣으면 그림을 정량적으로 해석할 수 있다.

통로	일률 W	해석
자기 저장 변화	+3.518584	자기 에너지가 증가한다
바깥 경계 흐름	−3.518584	옆면으로 에너지가 들어온다
전기 저장 변화	+0.0549779	전기 에너지가 증가한다
장에서 물질로 하는 일	−0.0549779	지정한 원천이 에너지를 공급한다

먼저 b₂를 없애면 어느 쌍이 사라지는지 보자. 다음에는 b₂를 복원하고 J만 없애자. 전기 저장은 계속 늘지만 원천 일 화살표가 사라진다. 빨간 잔차 표시 하나보다 어떤 에너지 통로가 빠졌는지를 설명할 수 있어야 한다.

풀이가 있는 연습문제

연습 1: 부호를 해석하자

Pout=−3 W, Wmatter=1 W이면 dU/dt는? 해설: 2 W다. 3 W가 들어오고1 W가 물질에 전달되어2 W가 장에 저장된다.

연습 2: 가속도 항을 없애자

b₂=0이고 bb′>0이면 장 에너지가 일정한가? 해설: 아니다. 전기 저장은 일정하지만 자기 저장은 경계의 유입으로 증가한다.

연습 3: 원통 반지름을 바꾸자

다른 값을 고정하고 R을 두 배로 만들면 UE와 UB는? 해설: 각각16배와4배다. 전기장은 반지름에 따라 커진다.

연습 4: 전류를 누락하자

r=1, 정규화 ε=1, b′=0.7, b₂=0.2에서 J=0으로 만들면 남는 에너지 결함은? 해설: 0.035 W/m³다. Faraday만으로 빠진 원천 항을 공급할 수 없다.

연습 5: 하나의 잔차로 모형을 인증하자?

정적 E=(0,x,0), B=J=0은 에너지 수지가 맞으니 Maxwell 해인가? 해설: 아니다. curl E≠0인데 ∂tB=0이므로 Faraday가 실패한다.

연습 6: 반올림된0을 읽자

전류가 빠진 SI 모형에서 총 잔차가0일 수 있는 이유는? 해설: 큰 자기 변화율에 작은 전기 변화율을 먼저 더하며 작은 항을 잃기 때문이다. 성분을 따로 보고 안정 합산과 독립 고정밀 계산을 비교해야 한다.

참고 자료와 다음 연결

수지와 부호는 Feynman II 제27장 §§27–2–27–3, Haus–Melcher 제11장 §§11.1–11.4와 대조한다. 다음에는 횡파 펄스에 같은 수지를 적용하고 유한 구간 에너지와 가로 단위 면적당 에너지를 구분한다.