원의 다양체와 두 Chart

굽은 대상에도 간단한 국소 좌표가 있습니다

원은 한 점 근처를 실수 하나로 매끄럽게 나타낼 수 있는 1차원 대상입니다. 하지만 원 전체를 하나의 실수 chart로 덮을 수는 없습니다. 각도 좌표에는 이음매가 있고 stereographic 좌표에는 제외점이 있습니다. 좌표 하나의 실패를 원 자체의 특이점으로 해석하면 안 됩니다.

매끄러운 다양체는 열린 이웃의 호환되는 chart들과 Hausdorff·second-countability 조건을 갖습니다. chart는 Euclidean 공간의 열린 부분으로 가는 위상동형이며 겹침의 전이함수로 매끄러움을 정의합니다. 실험은 표준 단위원의 두 chart를 직접 사용합니다.

첫 stereographic 좌표를 유도하기

p(θ)=(cos θ,sin θ)로 씁니다. (−1,0)에서 수직선 x=0으로 투영하면 다음과 같습니다.

정의역은 원에서 (−1,0)을 뺀 열린 부분입니다. 어떤 실수 t도 역공식으로 이 부분의 한 점을 만듭니다. θ가 π에 가까워지면 t는 커지고 θ=π에서는 정의되지 않습니다. 그래도 파란 원은 정상입니다. 빈 주황 점은 선택한 chart의 제외점, 채운 점은 현재 물리적 점입니다.

다른 chart로 빠진 점 덮기

(1,0)에서 투영하면 u=y/(1−x)이며 반대쪽 점을 제외합니다. 역공식은 x=(u²−1)/(u²+1), y=2u/(1+u²)입니다. 왼쪽 점은 t가 없지만 u=0으로 정상 표현됩니다.

두 chart가 겹치는 곳에서는 t와 u가 모두 0이 아니며 다음이 성립합니다.

이 전이함수는 겹침에서 매끄럽습니다. 음수 미분은 두 좌표의 방향이 반대라는 뜻이지 다양체가 깨졌다는 뜻이 아닙니다. 위쪽 점에서는 t=u=1, 미분은 −1입니다. 두 pole을 모두 빼면 위·아래 반원에 해당하는 두 연결 성분의 겹침이 남습니다.

직접 풀기와 풀이

θ=π에서 첫 chart를 선택하면 좌표가 없습니다. 점을 움직이지 않고 두 번째 chart로 바꾸면 u=0입니다. θ=0으로 옮기면 첫 chart의 t=0은 유효하고 두 번째가 실패합니다. 두 chart를 합하면 원 전체를 덮습니다. t=0에 전이식 1/t를 대입할 수 없는 이유도 설명하세요. 그 점은 두 chart의 겹침 밖입니다.

AI 표현에서의 좌표

국소 latent 좌표나 회전 매개화에도 chart 특이점이 있습니다. 좌표가 아주 커지는 현상이 큰 물리적 변화를 뜻하지 않을 수 있습니다. 미분하거나 표현을 비교할 때 정의역·전이 규칙을 추적해야 합니다. 그림은 동일 축척 x,y 축의 실제 원이고 좌표값은 수치 표에 따로 표시합니다. 따라서 좌표의 발산 때문에 원 자체가 커지거나 찌그러지지 않습니다.

추가 읽기: John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.