상태공간·좌표 변환·동일한 입출력

내부 기억과 관측 출력

상태는 미래 입력이 주어졌을 때 시스템의 미래를 예측하는 데 충분한 내부 정보다. 출력은 선택한 관측 규칙이 보고하는 값이다. 둘의 차원이 같을 필요도 없고 상태 좌표가 유일할 필요도 없다. 제어기나 학습한 world model은 서로 다른 내부 좌표로 같은 입출력을 표현할 수 있다.

실습은 이산 시간 모형이다. 행렬 A는 이미 한 단계의 전이 행렬이다. 연속 시간 미분 행렬과 같다고 두거나 샘플링 모형 없이 ODE에 넣어서는 안 된다.

시간 규약부터 명시하기

현재 상태로 y_t를 계산한 뒤 상태를 갱신한다. D는 현재 입력이 현재 출력으로 직접 가는 경로다. Impulse는 u0만 선택 진폭이고 이후 입력은 0이다. Constant와 sinusoid는 표시한 규칙을 따른다. 표에는 시간 0부터 N까지를 포함한다.

시스템을 유지하며 좌표 바꾸기

가역 shear를 사용한다.

x_t=T^{-1}z_t를 대입하면

변환 행렬은 A_new=[[0.8,0.2-0.3s],[0,0.5]], B_new=(s,1)ᵀ, C_new=(1,-s)다. 초기 상태도 z0=T x0로 바꿔야 한다. A만 바꾸고 B,C나 초기 상태를 그대로 두면 일반적으로 다른 시스템을 만든다.

그림이 실제로 계산하는 것

블록 그림은 현재 상태·다음 상태·현재 출력을 구분하며 원래 x 좌표를 그린다. 변환 행렬은 수치에서 확인한다. 구현은 두 재귀를 따로 실행한다. 주황 출력을 파란 출력과 같다고 정의해서 겹치게 만든 것이 아니다. 표의 x,z 성분과 두 출력, 부동소수점 오차를 함께 확인하자.

s를 바꾸면 상태 성분은 크게 달라져도 출력 곡선은 겹친다. 이는 작동하지 않는 조작이 아니라 보존해야 할 불변량이다. 같은 이유로 잠재 좌표의 거리나 벌점은 metric까지 함께 변환하지 않으면 곧 물리량이 되지 않는다.

확인 문제와 풀이

s=2, 초기 상태 0, 단위 impulse, D=0에서 첫 상태 갱신과 다음 출력을 구하라.

풀이. x1=B=(0,1)ᵀ, z1=B_new=(2,1)ᵀ다. 출력은 Cx1=0, C_new z1=2-2=0이다. t=2에서는 x2=(0.2,0.5)ᵀ이므로 y2=0.2다. 변환 상태는 (1.2,0.5)ᵀ이고 1.2-2×0.5=0.2다. 상태 숫자는 달라도 같은 동작을 표현한다.

D=0.5로 바꾸면 시간 0에서 x0=0,u0=1이 y0=0.5로 즉시 전달된다. 상태부터 갱신한 뒤 그 출력을 y0라고 부르면 시간 규약을 바꾼 셈이다.

AI 모형과 연결하기

잠재 상태 모형, 순환 신경망, 시스템 식별에서는 상태와 관측의 정의가 중요하다. 짧은 출력 궤적 하나를 맞췄다고 유일한 내부 표현이나 최소 상태 차원을 찾은 것은 아니다. 다음 단원은 어떤 방향에 입력을 전달하고 어떤 내부 차이를 관측으로 구분할 수 있는지 검사한다. 입출력 동등성은 그 질문의 출발점이다.

원전

MIT, Dynamic Systems and Control, 6.241J. Shear 예제와 두 재귀는 직접 구성했다.