자유 입자의 작용·경계항·게이지

비교하는 대상은 점이 아니라 경로다

마찰이 없는 직선 레일 위 수레를 두 번 촬영했다고 생각해 보자. 첫 사진은 시각 0의 위치를, 두 번째 사진은 시각 T의 위치를 알려 준다. 위치–시간 그래프에서 직선은 일정한 속도이고, 같은 두 점을 잇는 굽은 선은 중간에 가속하는 운동이다. 변분 문제에서는 주어진 경계 조건을 유지하면서 이런 함수 전체를 비교한다.

두 사진을 연결하는 매끄러운 곡선이라고 해서 실제 운동인 것은 아니다. AI가 관측을 잘 연결하는 궤적을 출력해도 힘의 법칙까지 만족하는지는 별도로 확인해야 한다. 이 단원에서는 작용의 값, 경로를 바꿀 때의 미분, 운동방정식의 잔차를 구분한다.

물리적 시간과 경로 변화량을 구분하기

질량 m과 관측 기간 T는 양수다. 무차원 시간 s=t/T를 사용하고 다음 두 모양을 정의한다.

$$f_1(s)=s(1-s),\qquad f_2(s)=s(1-s)(2s-1),$$ $$q(s)=a+(b-a)s+A f_1(s)+B f_2(s).$$

두 함수는 s=0과 s=1에서 모두 0이므로 A와 B를 바꾸어도 시작 위치 a와 끝 위치 b는 변하지 않는다. A는 가운데가 대칭으로 휘는 정도이고 B는 가운데를 기준으로 반대 방향으로 휘는 정도다. a, b, A, B의 단위는 모두 m이다.

물리적 속도는 q_s/T이고 가속도는 q_ss/T²이다. s에 대한 미분을 곧바로 속도라고 부르면 안 된다. T를 바꾸었을 때 같은 모양을 얼마나 빠르게 따라가는지도 함께 달라지기 때문이다.

라그랑지안과 작용의 단위

자유 입자의 라그랑지안은 운동에너지 L₀=mv²/2로 잡는다. 라그랑지안의 단위는 J이고 이를 시간에 대해 적분한 작용의 단위는 Js다.

$$S_0[q]=\int_0^T L_0\,dt =\frac{m}{2T}\left[(b-a)^2+\frac{A^2}{3}+\frac{B^2}{5}\right].$$

이 식은 q_s를 제곱하고 dt=T ds를 적용하여 얻는다. 각 모양 함수의 미분은 구간 전체에서 적분하면 0이다. 두 모양 미분의 곱도 중점을 기준으로 부호가 반대여서 적분이 0이다. 제곱의 적분은 각각 1/3과 1/5이므로 혼합항 없는 이차식이 남는다. 작용은 커서가 가리키는 순간의 에너지가 아니라 경로 전체의 적분이다.

정상 경로와 최솟값을 찾기

A와 B에 대한 작용의 기울기는 각각 mA/(3T), mB/(5T)다. 둘이 동시에 0이려면 A=B=0이어야 한다. 이때 q는 직선이고 속도는 (b−a)/T이며 가속도는 0이다. 헤시안 대각 성분 m/(3T), m/(5T)는 양수이므로 이 경로는 선택한 두 모양 안에서 유일한 최소다.

더 일반적인 경로에서도 증명할 수 있다. 임의의 허용 경로를 q_cl+η로 쓰고 η의 양 끝값을 0으로 둔다. η는 제곱 적분 가능한 도함수를 갖는다고 가정한다. 작용을 전개하면 교차항은 일정한 속도와 ηdot의 적분의 곱이다. 이 적분이 η(T)−η(0)=0이므로

$$S_0[q_{\mathrm{cl}}+\eta]-S_0[q_{\mathrm{cl}}] =\frac m2\int_0^T\dot\eta^2\,dt\geq0.$$

등호가 성립하려면 η가 상수이고 양 끝에서 0이어야 하므로 η=0이다. 두 매개변수만 비교한 결과를 임의의 함수에 대한 정리로 곧바로 확대하지 않고, 별도의 논증으로 연결한 것이다.

전미분을 더하면 무엇이 달라질까

Fγ(q)=γq²/2를 두자. γ의 단위는 kg/s이고 Fγ의 단위는 Js다. 시간 미분은 γqv이므로 다음 라그랑지안을 만들 수 있다.

$$L_\gamma=L_0+\frac{dF_\gamma}{dt}=L_0+\gamma qv, \qquad S_\gamma=S_0+\frac\gamma2(b^2-a^2).$$

양 끝 위치가 고정되면 추가되는 값은 모든 후보 경로에 동일하다. 따라서 A와 B에 대한 기울기나 정상 경로는 바뀌지 않는다. 작용 값 자체는 음수가 될 수도 있다. 음의 작용을 음의 운동에너지나 불안정한 운동으로 해석하면 안 된다.

정준 운동량은 pγ=mv+γq로 바뀌지만 기계적 운동량은 여전히 mv다. d(pγ)/dt에서 ∂Lγ/∂q를 빼면 γ에 관한 항이 상쇄되고 m qddot만 남는다. 이 예에서는 Fγ에 명시적 시간 의존성이 없어 pγv−Lγ가 운동에너지와 같다. 다만 임의로 지정한 가속 경로에서 그 값이 보존된다고 주장할 수는 없다.

끝점을 움직이는 문제는 다르다

경로 변화 방향을 다음처럼 잡는다.

$$\xi(s)=u_0(1-s)+u_1s+C f_1(s)+D f_2(s), \qquad q_\epsilon=q+\epsilon\xi.$$

ε는 무차원이고 서로 다른 경로를 구별하는 매개변수다. 시간을 앞으로 진행시키는 값이 아니다. u₀=u₁=0일 때만 원래의 양 끝 위치를 유지한다. 부분적분하면

$$\delta S_\gamma=[(mv+\gamma q)\xi]_0^T -\int_0^T m\ddot q\,\xi\,dt.$$

일정한 속도 경로에서는 내부 적분이 0이지만, 끝점 변화가 허용되면 경계항이 남을 수 있다. 전미분을 더해도 같은 운동방정식을 얻는다는 사실은 고정 경계 문제의 동등성을 뜻한다. 끝점이 자유로운 문제까지 같다고 하려면 자연 경계 조건도 함께 변환해야 한다. 여기서는 끝 시각 자체를 바꾸지 않는다.

유한한 변화도 정확히 계산하기

d=b−a, Δu=u₁−u₀라 쓰면

$$\delta S_\gamma=\frac mT d\Delta u +\gamma(bu_1-au_0)+\frac{mAC}{3T}+\frac{mBD}{5T},$$ $$\delta^2S_\gamma=\frac mT\left[(\Delta u)^2+\frac{C^2}{3}+\frac{D^2}{5}\right] +\gamma(u_1^2-u_0^2).$$

작용이 이차식이므로 S(qε)=S(q)+εδS+ε²δ²S/2는 근사가 아니라 정확한 등식이다. A와 B로 미분한 기울기의 단위는 Js/m이고 무차원 ε로 미분한 값의 단위는 Js다. 선택한 한 방향이 기울기에 수직이면 정상 경로가 아니어도 일차 변화가 0일 수 있다.

숫자로 확인하는 경계항

m=T=1, a=0, b=1, A=B=0이면 속도는 1 m/s, 운동에너지는 1/2 J, 작용은 1/2 Js다. 고정 끝점 변화 C=1, D=0을 적용하면 일차 변화는 0이고 작용 증가량은 ε²/6 Js다. ε=1/2에서는 작용이 13/24 Js가 된다.

이제 γ=−2 kg/s로 바꾸면 경계항은 −1 Js이므로 원래 경로의 작용은 −1/2 Js가 된다. 위치·속도·운동에너지·뉴턴 방정식 잔차는 그대로다. 반면 u₀=0, u₁=1, C=D=0으로 끝점을 움직이면 일차 변화는 γ=0에서 1 Js, γ=−2에서 −1 Js다. 서로 다른 경계 조건을 비교하고 있음을 먼저 확인해야 한다.

시각화를 읽는 순서와 계산의 범위

먼저 위치 그래프에서 직선 기준 경로와 선택한 후보를 비교한다. 다음으로 속도와 뉴턴 잔차를 확인한다. 라그랑지안은 J, 누적 작용은 Js이므로 다른 축으로 표현한다. 작용–ε 그래프의 가로축은 경로 변화량이며 물리적 시간이 아니다.

유리수 조절값에 대한 다항식 계산은 약분된 유리수로 수행한다. 독립 검증에서는 다섯 점 Boole 적분을 사용한다. γqv는 최대 5차 다항식이어서 이 적분법이 정확히 적분할 수 있다. 화면에 그리는 소수값과 운동방정식을 수치적으로 푸는 알고리즘은 구분한다.

해설이 있는 연습 문제

1. m=T=1, a=0, b=1, A=B=1의 S₀는? 답은 23/30 Js다. 기준 경로의 1/2 Js보다 4/15 Js만큼 크므로 실제 자유 운동 경로가 아니다.
2. 같은 경우 γ=−2를 적용하면? 경계항 −1 Js를 더해 −7/30 Js다. 기준 경로도 같은 만큼 이동하므로 작용 차이 4/15 Js는 보존된다.
3. A=1, B=0에서 C=0, D=1인 고정 끝점 변화의 일차 변화는? 0이다. 그러나 A 방향 기울기는 0이 아니므로 전체 정상성을 뜻하지 않는다.
4. A=0, B=1이고 s=1/2이면 뉴턴 잔차는? 그 점에서는 0이지만 다른 시각에서는 0이 아니다. 경로 전체 잔차 제곱의 적분으로 구분한다.
5. γ=0에서 T를 두 배로 하면? 속도는 절반, 운동에너지는 1/4, 작용은 절반이다. 같은 모양을 두 배 오래 따라가므로 적분 시간까지 반영해야 한다.
6. 끝점이 자유로울 때 뉴턴 방정식만으로 충분하지 않은 이유는? 경계항도 모든 허용 끝점 변화에 대해 0이어야 한다. 자유 끝점에서는 정준 운동량에 관한 추가 조건이 생긴다.

AI 연구와 연결하기

궤적 학습에서는 끝점 오차와 미분방정식 잔차를 함께 손실에 넣을 수 있다. 이 예제는 두 손실이 서로 다른 조건을 검사하고, 한 시각의 잔차만으로는 위반을 놓칠 수 있음을 보여 준다. 라그랑지안을 학습할 때는 전미분만큼 다른 표현이 같은 고정 경계 운동을 만들 수 있다. 작용 숫자의 일치보다 유도되는 방정식과 경계 조건을 먼저 비교하자. 다음 단원에서는 이 논리를 여러 일반화 좌표의 Lagrange 방정식으로 확장한다.