벡터장·발산·회전

위치마다 다른 벡터

벡터장 F는 위치에 벡터를 대응합니다. 유체 속도, 힘, 학습 동역학의 방향처럼 해석할 수 있지만 각 해석의 단위를 따로 정해야 합니다. 실습은 선형장 F(x,y)=(ax+by,cx+dy)입니다. 화살표는 격자 위치의 F를 0.3배로 그립니다.

입자 궤적은 r′(t)=F(r(t))라는 미분방정식을 풀어 얻습니다. 한 위치의 직선 화살표 전체가 실제 궤적이라는 뜻은 아닙니다. 그림은 시간 적분을 수행하지 않습니다.

Jacobian의 서로 다른 요약

발산은 작은 영역에서의 순 유출 또는 국소 부피 팽창률과 연결됩니다. 단일 벡터의 크기나 determinant와 같지 않습니다. 매끄러운 흐름의 작은 시간 변환 I+hJ는 determinant=1+h tr J+O(h²)이므로 trace가 일차 면적 변화율을 줍니다.

2차원 curl은 3차원으로 F_z=0을 보았을 때 z 성분입니다.

이는 국소 순환 밀도이지 화살표 하나의 기울기 각도가 아닙니다. 발산과 curl은 다른 미분 조합입니다.

세 가지 장을 비교하기

회전장 (−y,x)은 div=0,curl_z=2입니다. 화살표가 원 주위를 돌아도 순 유출은 없습니다. 방사장 (x,y)은 div=2,curl=0입니다. 전단장 (y,0)은 div=0,curl_z=−1입니다. 전단도 국소 회전 성분을 가질 수 있습니다.

대칭·반대칭 분해는 이 구분을 설명합니다.

첫 부분은 국소 변형, 둘째는 회전 성분과 연결됩니다. 2차원 선형장의 회전 각속도 성분은 curl_z/2입니다. curl 자체와 각속도를 같은 수치로 읽지 마세요.

Curl이 0이면 퍼텐셜인가

충분히 매끄럽고 단일 연결인 적절한 영역에서는 curl-free 장과 퍼텐셜의 관계를 증명할 수 있습니다. 이 실습의 선형장은 전체 R²에 정의되어 b=c이면 φ(x,y)=a x²/2+bxy+d y²/2의 gradient입니다. 정의역에 구멍이 있는 일반 장에는 같은 결론을 조건 없이 적용할 수 없습니다.

방향장 그림의 유한 화살표만으로 curl-free나 보존성을 증명한 것은 아닙니다. 실습은 정확한 Jacobian 원소로 판정합니다.

AI 연결과 확인 문제

연속 정규화 흐름의 밀도 변화에는 속도장의 발산이 나타납니다. 평면 회전 직관만으로 고차원 밀도 변화식을 유도하지 말고 Jacobian·연속 방정식의 가정을 확인하세요. gradient 흐름은 매끄러운 스칼라 목적함수에서 대칭 Hessian을 갖지만 임의의 학습 갱신장이 항상 그 형태인 것은 아닙니다.

1. (−y,x)의 발산과 curl은? 0과 2입니다.
2. (x,y)의 퍼텐셜은? (x²+y²)/2입니다.
3. 화살표를 두 배 길게 그리면 같은 장의 curl이 바뀌나요? 그림 배율만 바꿨다면 수학적 장은 그대로입니다.

추가 읽기: MIT 공식 강좌 안내. 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결하며, 아래의 작은 예제와 논증은 직접 구성했습니다.