변위 전류·전하 보존·초기 제약

전하가 쌓이면 어디에서 오는가

작은 영역의 전하가 증가한다면 경계로 들어온 전하가 나간 전하보다 많아야 한다. 이 직관이 연속 방정식이다. 그런데 시간에 따라 전기장이 변할 때에는 전도 전류만으로 자기 회전을 설명할 수 없다. Maxwell의 변위 전류 항이 두 관계를 연결한다.

이 단원에서는 원점 주위의 전기장이 시간에 따라 강해지는 예제를 계산한다. 같은 예제에서 전하 보존, 전도·변위 전류, Gauss 제약을 따로 검사한다.

전도 전류와 변위 전류의 단위

전도 전류 밀도 J는 전하 운반자의 수송을 기술한다. ε∂tE도 A/m² 단위이지만 같은 의미의 입자 흐름이라고 해석하지 않는다. 변위 전류는 변화하는 전기장으로부터 정의하는 항이다. 일정한 ε·μ 모형에서 두 항을 더하면 자기 회전의 원천이 된다.

실제 물질의 자유·결합 전하, 분극과 자화, D·H의 구성 법칙은 별도 설명이 필요하다. 여기서는 전기장과 외부에서 지정한 전하·전류의 일관성을 검사한다.

$$\mathbf J_{\mathrm{disp}}=\epsilon\partial_t\mathbf E,\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu(\mathbf J+\mathbf J_{\mathrm{disp}}).$$

Maxwell 식에서 전하 보존 얻기

회전의 발산은0이다. Ampere–Maxwell 식에 발산을 취하고, 매끄러운 장에서 공간·시간 미분 순서를 바꾼 뒤 Gauss 법칙을 사용하면 연속 방정식이 나온다. 즉 이 유도에는 Gauss 제약도 필요하다. 변위 항을 빼면 일반적으로 변하는 전하와 맞지 않는 ∇·J=0만 남는다.

$$0=\nabla\cdot\mathbf J+\epsilon\partial_t(\nabla\cdot\mathbf E)=\nabla\cdot\mathbf J+\partial_t\rho.$$

닫힌 경계의 전하 수지

고정된 부피 V의 바깥 법선을 사용한다. 바깥으로 나가는 전류가 양수이면 내부 전하는 줄어야 하므로 음수가 붙는다. 전하 Q는 C, 전류는 A, 시간 적분한 전류는 C다. 부피가 움직이면 이 식을 그대로 적용하지 않고 수송 정리를 포함해야 한다.

$$\frac{dQ_V}{dt}=-\oint_{\partial V}\mathbf J\cdot d\mathbf S,\qquad Q_V(t_1)-Q_V(t_0)=-\int_{t_0}^{t_1}\oint_{\partial V}\mathbf J\cdot d\mathbf S\,dt.$$

유계 영역에 지정한 방사형 예제

좌표 상자 안에서 E=a(t)r, B=0을 지정하자. a의 단위는 V/m², a₁의 단위는 V/(m²·s)다. 전기장의 각 성분은 대응 좌표에 비례한다. 균일한 전하 밀도와 경계 전류를 함께 지정하면 네 식과 맞는 예제가 된다.

이 예제는 무한 공간의 유한한 고립 전하 장치가 아니다. 유계 영역에 필요한 경계 전류가 공급되는 제조해다. 운반자의 운동이나 재료 응답을 별도로 푼 것도 아니다.

$$a(t)=a_0+a_1t,\quad\mathbf E=a(t)(x,y,z),\quad\mathbf B=0,\quad\rho=3\epsilon a(t),\quad\mathbf J=-\epsilon a_1(x,y,z).$$

화살표로 이해하는 축적

a>0이면 E 화살표는 바깥을 향하고 원점에서 멀수록 길다. a₁>0이면 시간이 갈수록 화살표가 길어진다. 이때 J는 안쪽을 향한다. 구 경계로 전하가 유입되어 밀도가 증가하는 모습과 맞는다. 변위 전류 화살표는 바깥을 향하여 전도 전류와 상쇄한다.

여기서 전도 전류가 없다고 하면 같은 전기장 변화와 B=0을 유지할 수 없다. 전기장만 고르고 원천은 나중에 임의로 붙이는 방식의 문제를 보여주는 예다.

국소 방정식을 각각 검사하기

각 좌표 성분을 미분하면 ∇·E=3a이고 두 회전은0이다. ε∂tE와 J의 합이0이므로 B=0인 Ampere–Maxwell 식도 성립한다. 전하 밀도 시간 변화율은3εa₁, 전류 발산은−3εa₁이다. 서로 다른 식을 검사하는 것이며 하나의 상쇄를 모든 법칙의 검증이라고 부르지 않는다.

$$\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=3a=\rho/\epsilon,&\mathbf J+\epsilon\partial_t\mathbf E&=0,\\\partial_t\rho&=3\epsilon a_1,&\nabla\cdot\mathbf J&=-3\epsilon a_1.\end{aligned}$$

원점에서 장이0인 경우

원점에서는 E=J=0이지만 전하 밀도와 그 시간 변화율은0일 필요가 없다. 발산은 한 점의 화살표 길이가 아니라 주변 화살표의 차이를 측정하기 때문이다. 원점의 장 값만 보고 밀도0을 추론하는 오류를 피하자.

이는 신경장에서도 중요하다. 위치별 값을 잘 맞추는 것과 도함수 및 보존 관계를 잘 맞추는 것은 별도의 검증 대상이다.

구면 적분과 내부 전하

원점 중심 반지름 R인 구에서 E·n=aR이다. 구면적을 곱하면 전기 선속이 나온다. 균일한 ρ를 구 부피에 곱하면 내부 전하다. 전도 전류와 변위 전류는 같은 구에서 크기가 같고 부호가 반대다. 아래 Iout은 바깥 전도 전류다.

$$\Phi_E=4\pi aR^3,\quad Q=4\pi\epsilon aR^3,\quad I_{\mathrm{out}}=-4\pi\epsilon a_1R^3,\quad I_{\mathrm{disp,out}}=4\pi\epsilon a_1R^3,\quad\dot Q=-I_{\mathrm{out}}.$$

수치 예제를 끝까지 계산하기

정규화 ε=1, a₀=1, a₁=1/2, t=2, R=1을 택한다. a=2, 구면의 (1,0,0)에서 E=(2,0,0), J=(−1/2,0,0), 변위 전류 밀도는(+1/2,0,0)다. ρ=6이고 ∂tρ=3/2, ∇·J=−3/2다.

전기 선속은8π, 내부 전하는8π, 바깥 전도 전류는−2π, 바깥 변위 전류는+2π다. t=0에서2까지 전하는4π 증가한다. 일정한 유입 전류2π를2초 동안 적분해도4π다. 정규화 계산과 기본 SI 계수의 결과를 구별하자.

보존을 통과하지만 Gauss 법칙은 실패하는 장

장과 전류는 유지하고 ρ에 시간에 무관한 δρ를 더해 보자. ∂tρ는 변하지 않으므로 연속 방정식은 그대로 통과한다. 진화 식도 그대로다. 그러나 전기 발산과 전하 밀도의 관계는 어긋난다. δρ는 게이지 변환이 아니라 실제 원천을 바꾼 음성 대조다.

앞 예제에 δρ=0.3을 더하면 밀도는6.3, 구 내부 전하는8.4π가 된다. 전기 선속은 여전히8π이므로 완전한 Maxwell 해가 아니다. 이 차이를 숨기지 않고 초기 제약 위반으로 표시한다.

$$g=\nabla\cdot\mathbf E-\rho/\epsilon=-\delta\rho/\epsilon,\qquad \epsilon\Phi_E-Q=-\delta\rho\,\frac{4\pi R^3}{3}.$$

초기 제약은 왜 별도인가

일정 계수와 충분한 매끄러움 아래, Ampere–Maxwell 식과 연속 방정식은 g의 시간 변화를0으로 만든다. 이는 기존 오차를 보존할 수 있다는 뜻이며 자동으로0으로 고친다는 뜻이 아니다. 초기 g=0이 필요하다. 자기 Gauss 제약도 Faraday 식으로부터 같은 종류의 보존 관계를 갖는다. 경계 조건과 이산화가 있는 실제 계산에서는 별도 관리가 필요하다.

$$\partial_tg=\partial_t\left(\nabla\cdot\mathbf E-\rho/\epsilon\right)=0,\qquad\partial_t(\nabla\cdot\mathbf B)=0.$$

작은 값과 서로 다른 계산 경로

ρ=3에10⁻¹⁶을 더하면 저장된 합이 여전히3일 수 있다. 저장된 ρ를 다시 빼서 잔차0을 얻는 것과 지정한 편차가 정확히0인 것은 다르다. 모델은 편차에서 직접 계산한 Gauss 결함과 반올림된 끝값으로 계산한 잔차를 구별한다.

유한 시간 전하 변화도 큰 두 Q를 빼는 대신 a₁Δt를 사용한다. 구가 아주 작으면 선속은 표현 가능해도 ε를 곱한 전하는 수치 범위를 벗어날 수 있다. 물리적0으로 대체하지 않는다. R=0에서는 선속과 전하는0이지만 면적당 평균을 정의하지 않는다.

$$\Delta Q=4\pi\epsilon a_1R^3(t_1-t_0)=-I_{\mathrm{out}}(t_1-t_0).$$

AI 모형의 검증 설계

보존 손실만 줄인 생성 모형은 일정한 전하 편차를 놓칠 수 있다. 초기 Gauss 제약, 진화 관계, 전하 수지, 경계 자료를 나누어 검사하고 음성 대조를 넣자. 전기장으로부터 전하를 구조적으로 정의했다면 그 관계가 통과하는 것은 독립적인 검증이 아니다.

별도 검증은 실제 삼차원 구면 법선과 E·n, J·n을 합산하고, 전하와 전기장의 시간 차분 및 전류의 공간 차분을 비교한다. 방사 대칭 예제는 좋은 출발점이지만 일반 격자·경계·난해한 장에서의 정확도 보장을 제공하지 않는다.

연습과 해설

전류의 법선을 먼저 정하고 계산하자.

연습 1: 전류 부호

a₁>0이면 구의 바깥 전도 전류는 어느 부호인가? 해설: 음수다. J가 안쪽을 향하여 내부 전하를 늘린다. 변위 전류의 바깥 성분은 양수다.

연습 2: 원점의 밀도

a=2, ε=1일 때 원점의 E와 ρ는? 해설: E=0이지만 ρ=6이다. 주변의 공간 변화가 발산6을 만든다.

연습 3: 전하 수지

a₁=1/2, ε=R=1, Δt=2이면 ΔQ는? 해설: 4π다. 바깥 전류−2π에 시간2와 음수를 곱해도4π다.

연습 4: 전하 편차

δρ=0.3, ε=1이면 국소 Gauss 잔차는? 해설: −0.3이다. 연속 방정식은 여전히 통과할 수 있으므로 보존 통과만으로 이 결함을 찾지 못한다.

연습 5: 영전류와 정전기

a₁=0, a₀≠0이면 장과 전하도0인가? 해설: 아니다. 전도·변위 전류와 전하 변화율은0이지만 정적인 E=a₀r와 ρ=3εa₀가 남는다.

연습 6: 반지름을0으로 만들기

R=0에서 선속을 면적으로 나누어 평균장을 구할 수 있는가? 해설: 0/0이라 정의하지 않는다. 반지름을 줄이는 극한과 정확히 면적0인 기하를 구분한다.

참고 자료와 다음 연결

MIT 8.02T Chapter 13의 §13.1–13.3과 대조했다. 후속 유도·복사·전자기 에너지 단원에서는 경계와 물질, 공간적으로 더 복잡한 시간 의존 장을 확장한다.